第四节 函数项级数与幂级数

1、高等数学高等数学主讲教师主讲教师 数学学院数学学院 魏毅强魏毅强 教授教授联系电话联系电话Email : Yiqiang Wei 2统计学第第七七章章 无穷级数无穷级数 Yiqiang Wei 4v 7.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质v 7.2 正项级数正项级数v 7.3 任意项级数任意项级数v 7.4 函数项函数项级数级数与幂级数与幂级数v 7.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数v 7.6 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用v 7.7 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的 基本性质基本性质v

2、7.8 傅里叶级数傅里叶级数v 7.9 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数v 7.10 以以2l为周期的周期函数的傅里叶级数为周期的周期函数的傅里叶级数目录目录 Yiqiang Wei 5学习学习的基本要求和预期的基本要求和预期目标目标v 1）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。v 2）熟悉几何级数与级数的收敛性。）熟悉几何级数与级数的收敛性。v 3）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法

3、，回用根式审敛法。敛法，回用根式审敛法。v 4）掌握交错级数的莱布尼兹定理。）掌握交错级数的莱布尼兹定理。v 5）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收敛的关系。和收敛的关系。v 6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。v 7）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。收敛区间及收敛域的求法。Yiqiang Wei 6学习学习的基本要求和预期的基本要求和预期目标目标v 8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会

4、求一）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。级数的和。v 9）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。v 10）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开为幂级数。开为幂级数。v 11) 了解幂级数在近似计算中的简单应用。了解幂级数在近似计算中的简单应用。v 12）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付氏级数的充分条件，

5、会将定义在上的函数展开为付氏级数，氏级数的充分条件，会将定义在上的函数展开为付氏级数，会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏级数和函数的表达式。级数和函数的表达式。Yiqiang Wei 77.4.1 函数项函数项级数级数的概念的概念7.4.4 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性7.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数7.4.2 函数项级数的一致收敛及其判别法函数项级数的一致收敛及其判别法7.4.5 幂级数的运算与和幂级数的运算与和 7.4.3 一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质Yiqiang Wei 87.4.1 函数项级数的

6、概念函数项级数的概念7.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数定义定义4.1 如果如果ui(x)(i=1，2， ，n， ) 是定义在是定义在I上函上函数列数列，则则u1 1(x)+ +u2(x) u3(x) un(x) 称为称为定义在定义在I上的上的函数函数项项无穷无穷级数级数，简称，简称函数函数项级数项级数。例如，几何级数例如，几何级数 就是定义在区间就是定义在区间 (-1,1)上的函数项级数。上的函数项级数。 ,120 xxxnn例如，几何级数例如，几何级数 就是定义在区间就是定义在区间 (-, +)上的函数项级数。上的函数项级数。 ,3sin2sinsinsin0 xxxnxnYiqi

7、ang Wei 97.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数定义定义4.2 设设x0 I I，且，且 收敛，则称收敛，则称函数项级数在该点收函数项级数在该点收敛，称敛，称x0为函数项级数的为函数项级数的收敛点收敛点，而所有收敛点的集合称为，而所有收敛点的集合称为收收敛域敛域。如果。如果 发散，发散，称称函数项级数在该点发散，称函数项级数在该点发散，称x0为为函数项级数的函数项级数的发散点发散点，而所有发散点的集合称为，而所有发散点的集合称为发散域发散域。 10)(nnxu10)(nnxu在收敛域上在收敛域上, , 函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数s(x), , 称称s(x)为函

8、数项为函数项级数的和函数，其定义域就是级数的收敛域，并写成级数的和函数，其定义域就是级数的收敛域，并写成s(x) 1nun(x)Yiqiang Wei 107.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数定义定义4.3 函数项级数的前函数项级数的前n项和记为项和记为sn(x), ,余项记为余项记为rn(x)，则在收敛域内则在收敛域内)()(limxsxsnn)()()(xsxsxrnn0)(limxrnn例例4.1 求级数的求级数的 收敛域收敛域收敛域收敛域(-(-,-2,-2)0,+)0,+) )Yiqiang Wei 117.4.2 函数项级数的一致收敛及其判别法函数项级数的一致收敛及其判别法

9、7.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数定义定义4.4 设设sn(x) 是定义在是定义在I上函数列上函数列，如果对于任意的正如果对于任意的正数数0 ，总存在正整数，总存在正整数N(仅与仅与有关有关)，使对于一切，使对于一切nN，以，以及及I上的一切上的一切x，恒有，恒有 |sn(x)-s(x)|，则，则称称函数列函数列si(x) 在在I上上的的一致收敛于一致收敛于函数函数s(x)。注注: 函数在函数在-1,1以及区间以及区间 (-, +)上并不一致收敛。上并不一致收敛。 例例4.2 证明函证明函数数 在区间在区间 (-a,a)(0a1)上一致收敛上一致收敛于于 nnxxs)(0)(xsYi

10、qiang Wei 127.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数例例4.3 证明证明级数级数 在区间在区间 (-a,a)上一上一致收敛致收敛(0a1)，在，在(-1, 1)内不一致收敛。内不一致收敛。 ,120 xxxnn定义定义4.5 设设sn(x) 是级数是级数 的部分和序列的部分和序列，如果序如果序列列sn(x) 在在I上一致收敛于函数上一致收敛于函数s(x)，则称该级数在，则称该级数在I上一致上一致收敛于函数收敛于函数s(x)。1)(nnxuYiqiang Wei 137.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数定理定理4.1(魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯Weierstrass定理定理

11、) 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 德国德国数学家数学家. 18151897如果如果函数项函数项级数级数 在在区间区间I上满足条件上满足条件 ：)(1xunn则函数项则函数项级数级数 在在I上一致收敛。上一致收敛。)(0 xunn, 3 , 2 , 1,| )(|naxunn1nna收敛收敛例例4.4 证明级数证明级数 在区间在区间 (-, +)上一致收敛。上一致收敛。 ,33sin22sin1sinsin2212xxxnnxnYiqiang Wei 147.4.3 一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质7.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数定理定理4.2 如果如果级数级数 的每一项的每一项un

12、(x)在在I上连续，且该级数上连续，且该级数一致收敛于和函数一致收敛于和函数s(x)，则，则函数函数s(x)在在I上也上也连续连续)(1xunn定理定理4.3 如果如果级数级数 在区间在区间I上上收敛于和函数收敛于和函数s(x)，每一，每一项具有连续的可导项具有连续的可导u(x)，且且 在区间在区间I上一致上一致收敛收敛, 则则 级数级数 在区间在区间I上的一致上的一致收敛和函数收敛和函数s(x) 可微，并且可可微，并且可逐项求导：逐项求导：)(1xunn)() )() )()(111xuxuxuxsnnnnnn)(1xunn)(1xunnYiqiang Wei 157.4 函数项函数项级数级

13、数与与幂级数幂级数其中，其中，ax0 xb，并且上式右端级数，并且上式右端级数在在a, b上上一致收敛一致收敛定理定理4.4 如果如果级数级数 的每一项的每一项un(x)在在a, b上连续，且该上连续，且该级数一致收敛于和函数级数一致收敛于和函数s(x)，则，则函数函数s(x)在在a, b上可积上可积, 且可且可以以逐项求逐项求积积)(1xunn 01)()()(000nxxnxxnnxxdxxudxxudxxsYiqiang Wei 167.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数7.4.4 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性定义定义4.6 形如形如 的函数项级数称为的函数项级数称为(x-x0

14、)的幂的幂级数级数；nnnxxa)(00若取若取x=0，则，则级数级数 收敛。说明至少有一个收敛点收敛。说明至少有一个收敛点00axannn若令若令 t=x-x0，则级数则级数 000)(nnnnnntaxxa形如形如 的函数项级数称为的函数项级数称为x的幂的幂级数级数。nnnxa0Yiqiang Wei 177.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数定理定理4.5(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理) 如果如果幂幂级数级数 在在点点x0处收敛处收敛, 则对则对满满足不等式足不等式|x|x0|的的x处处幂幂级数级数发散。发散。nnnxa0阿贝尔阿贝尔 挪威数学家挪威数学家. 18021829Yiq

15、iang Wei 18xo R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域说明：说明：存在点存在点x*，使得当，使得当|x|x*|时级数发散。时级数发散。7.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数定义定义4.7 记记 R=|x*| 称为幂称为幂级数级数的的收敛半径收敛半径，(-R, R)称为称为收敛区间收敛区间。 可能的收敛域为：可能的收敛域为：-R, R、(-R, R、-R, R)、(-R, R)。 Yiqiang Wei 197.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数注注; ; 若若0 +，则，则 若若 =0，则，则R =+若若 =+，则，则R =0nnnxa0

16、定理定理4.6 设幂设幂级数级数 ，且，且an0，设，设nnnaa1limnnnalim或或1RYiqiang Wei 207.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数举例举例例例4.5 求下列幂级数的敛散半径与收敛域求下列幂级数的敛散半径与收敛域12nnnxnnnnxn2112) 1(1122) 1(nnnnxnnnnxn)2(211Yiqiang Wei 217.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数7.4.4 幂级数的运算及其性质幂级数的运算及其性质记记R=minR1，R2，则在，则在(-R, R)内内注：注：定理只给出了等式右边级数定理只给出了等式右边级数在在(-R, R)内收敛，但

17、不一定内收敛，但不一定是收敛域。是收敛域。定理定理4.7 设幂设幂级数级数 ， 的收敛半径分别是的收敛半径分别是R1和和R2nnnxa0nnnxb0nnnnnnnnnnxbaxbxa)(000nnnnnnnnnnxbaxbxa)(000nnknnkknnnnnnxbaxbxa0000Yiqiang Wei 227.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数定理定理4.8 设幂设幂级数级数 的收敛半径是的收敛半径是R(R0)，则收敛和函，则收敛和函数数s(x)在区间在区间(-R, R)内连续内连续 如果幂级数在如果幂级数在x=R (或或x=-R)也也收敛，则和函数收敛，则和函数s(x)在在(-R,

18、 R(或或-R, R)连续连续nnnxa0定理定理4.9 设幂设幂级数级数 的收敛半径是的收敛半径是R，则收敛和，则收敛和s(x)在区在区间间(-R, R)内内可导可导 且且可可逐项求导：逐项求导：nnnxa01100)()()(nnnnnnnnnnxaxaxaxs注：注：逐项求导所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径逐项求导所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径，但在端点的敛散性可能会发生改变但在端点的敛散性可能会发生改变Yiqiang Wei 237.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数定理定理4.10 设幂设幂级数级数 的收敛半径是的收敛半径是R，则收敛和，则收敛和s(x)在在区间区间(

19、-R, R)内内可积可积 且且可可逐项求逐项求积积：nnnxa011000001)()()( nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs注：注：逐项求导所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径逐项求导所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径 ，但在端点的敛散性可能会发生改变但在端点的敛散性可能会发生改变Yiqiang Wei 247.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数举例举例例例4.6 求求下列下列级数的和函数级数的和函数.1) 1(nnnxn12) 1(nnnn01nnnx并求并求01) 1(nnnYiqiang Wei 257.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数常用已知和函

20、数的幂级数常用已知和函数的幂级数xxnn11020211) 1(xxnnn2021xaaxnnxnnenx0!)1ln(1) 1(01xnxnnnxnxnnnsin)!12() 1(1121Yiqiang Wei 267.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数一一、 求求下下列列幂幂级级数数的的收收敛敛区区间间: :1 1、 )2(424222nxxxn；2 2、 nnxnxx125222222；3 3、 122212nnnxn；4 4、)0,0(1 babaxnnnn. .Yiqiang Wei 277.4 函数项函数项级数级数与与幂级数幂级数二二、 利利用用逐逐项项求求导导或或逐逐项项积

21、积分分, ,求求下下列列级级数数的的和和函函数数: :1 1、 11nnnx；2 2、 12531253nxxxxn. .Yiqiang Wei 28 Yiqiang Wei 29阿贝尔阿贝尔（Niels Henrik Abel） 1802年年8月月5日，阿贝尔出生在挪威一个小村庄里，日，阿贝尔出生在挪威一个小村庄里，1829年年4月月6日得了肺结核病死，年仅日得了肺结核病死，年仅26岁零八个岁零八个月。克雷尔在月。克雷尔在1826年创办了世界上第一个专门从事年创办了世界上第一个专门从事数学研究的定期刊物纯数学与应用数学杂志。阿数学研究的定期刊物纯数学与应用数学杂志。阿贝尔在该杂志前三卷上共发表了贝尔在该杂志前三卷上共发表了22篇论文。论文的内篇论文。论文的内容涉及广泛，包含了方程论、无穷级数、椭圆函容