[课件]概率与统计7.2估计量的优良性准则(精)

1、7.2估计量的优良性准则对于总体的参数，可用各种不同的方法去 估计它，因此一个参数的估计量不唯一.如X7/(O,0),0的矩法估计量为2片，极大似然估计量为niaxfXJlGQi在众多的估计量中选哪一个更好？选取的标准是什么？三个常用准则：无偏性、有效性.相合性.工 二估计量的优良性准则May 13L无僞牲定义7.2.1若参数的估计量d = T(XvX2Xn)对一切及OWQ ,有E( (a) )= ET(X“X2，.,X”) = 0称玄为的无僞估计童.若lim仇=limE( (a) )-0 = O则称玄为的渐进无僞传计童.估计量的优良性准则May-13估计量的优良性准則May-13若的实函数g

2、(“) )的无偏估计量存在，称g(“)是可估计函数.注当&是砒无偏估计量，g(3)不一定赶赶的无偏估计量样本均值是总体均值3)的无偏估计量.S2是戶的无偏估计估计量的优良性准则阿-门注意：1n_= Rd-龙尸不是/的无偏估计 M2 =丄土土(X：-X)2=S2nn=E(A/2) = Q2/已知疋(/)= “时，刀(匕-“)2是/的无偏估讨反例估计量的优良性准则May-132.有败牲思考：已知总体X的样本下列估 计量是否为总体均值“的无偏:估计量？哪个更好？1 F; 2 & 3 X】+X2；4 0 1 X|+0 2X2+0.7X3.参数的无偏估计量不惟一.无偏估计只能保证估计无系

3、统误差：加一&） =0v J修于科技:希望Q的取值在及其附近越密集越好,= 其方差应尽量小.都是未知参数e的无偏估计量，若估计童的优良性准则May-13定义7.2.2设0l(Xl,X2,.9Xll用玄（称玄比玄有玄有效（优效）_估计量的优良性准则May-13设玄是&的无偏估计，如果对。的任何一个 无偏估计量$都有称&为&的最小方差无偏估计量.ex|证明无偏性判断有效性证明无偏性判断有效性(2)片和V分别是和 H 的最小方差无偏估计V科技大呀估计量的优良性准则May-I33相合牲无偏性：反映估计量相对待估参数有无系 统偏差.有效性：在无偏类中反映估计量相对待估 参

4、数的偏离程度.例725问题：在“偏差性力和“离散性”两者 兼顾的原则下建立估计量为“最优为准则.估计量的优良性准则May-137.2.3定义设玄=g(X|,X2，,X“)是未知参 数的估计量，若对任意的00,有则称g为e的的和合估计量.相合估计量的证明v u 电子科技lim 一P0H一&|V相合估计量的证明估计童的优良性准则Wy 13= D(X) + E(X)2-卅D(牙)+E(牙)2= /t(a2+/2)-n(+ /2) =(n-l)a2nE(S2) =CT2.#H U M电子科技大拳估计量的优良性准则May-13例7 2 3设总体* 0,川0未知，（X】 ，XvX3）是取自X的一个

5、样本1）试证0 j = maxX/, 02 =4minX/31GS31VW3都是的无偏估计；2）上述两个估计量中哪个的方差最小？ 分析：要判断面量是抚芜偏囲量 需要计算统计量的数学期望.估计童的优良性准则Wy 13me itAM估计量的优良性准则May-13令Y= maxXz, Z = minXz匕注31GM3证1）先求x与丫的概率密度函数，已知分布函数0,x0;心（兀）=,0 x0 U 电子科技Fy(j) = Py j = PmaxX/My= PX1J,X2J3JPXxy-PX1yYPX3y=Fx(j)ffY(y) = F；(j) =2F(y)ffY(j)、R G) )2，o“e；/y( (

6、J) )= 0 0估计量的优良性准则May-130else.砂）=话【匕妇泊E(Z)谆“(&一讹 片从而， E(-niax Xf) = E(4min XJ = &3 2M31 彳门估计量的优良性准則May-13同理可得Jz（Z）=3a0,有VU A估计量的优良性准则May-13例7 2 8设总体X的数学期望存在,估计量是/二E(X)的无偏.相合估计量.证 样本构成的随机变量序列X,XvX,相互独立同分布，服从切比雪关大数定 理，对任给的0,有limP|X-E(X)|I 呵n= lim P-y-(X)s = 0TOOn告即二片为E(X)的相合估计量.P maxXi和4minX都是粥J无偏估计3匕活31GM32) )vD( (r) )=E( (y* 2 3 4) )