激光物理5-6.1-密度矩阵

1、 推导激光的电磁场方程，又称兰姆自洽场方程推导激光的电磁场方程，又称兰姆自洽场方程 求解兰姆方程，必须知道介质的宏观极化强度。求解兰姆方程，必须知道介质的宏观极化强度。 由于工作物质是由大量的、处于不同运动状态由于工作物质是由大量的、处于不同运动状态前粒子所组成所以在求宏观极化强度时，要前粒子所组成所以在求宏观极化强度时，要采用量子统计中的密度矩阵方法。采用量子统计中的密度矩阵方法。 5、6章给出密度矩阵的定义、性质及运动方程，章给出密度矩阵的定义、性质及运动方程，并给出二能级系统的密度矩阵及其同介质宏观并给出二能级系统的密度矩阵及其同介质宏观极化强度之间的关系。极化强度之间的关系。5.1 量

2、子力学的基本概念 若矢量波函数若矢量波函数 是二维的是二维的,则右矢表示为则右矢表示为 t bbaauCuCt(5.1.1) 是矢量空间的一组基矢是矢量空间的一组基矢,左矢表示为左矢表示为bauu 、 tuCuCtb*ba*a(5.1.2)定义: dVttttV*(5.1.3)nnnuauA算符算符A作用于波矢作用于波矢 的结果为的结果为nu(5.1.5) 本征波矢本征波矢 满足完备正交归一化条件满足完备正交归一化条件;当使用该组当使用该组本征波矢本征波矢 作为基矢时，波函数按基矢展开作为基矢时，波函数按基矢展开nu nnnuCt(5.1.8) tuCnn(5.1.9) nnCtt12归一化条

3、件归一化条件(5.1.13)本征值本征值an的的几率为几率为 22nnnCtuaP(5.1.12)(5.1.15)则测量平则测量平均值均值) tAtaaPAnnn5.2 电偶极矩近似 量子力学中的电偶极矩算符为量子力学中的电偶极矩算符为5.2.1 量子电偶极矩量子电偶极矩RPe（5.2.2） 若外界的扰动使电子处在两个能量本征态若外界的扰动使电子处在两个能量本征态 的叠加态，那么原子的波矢可以表示为的叠加态，那么原子的波矢可以表示为 btiEbatiEaueCueCtba00(5.2.4)bauu 与 若考虑若考虑z方向的线偏振光与物质相互作用时方向的线偏振光与物质相互作用时 电偶极矩的期待值

4、为电偶极矩的期待值为 tEEiab*batEEibab*abbbaaazababeueZuCtCeueZutCtCueZutCueZutCeZP00002020(5.2.5)eZzP 注意能级波函数具有奇偶性注意能级波函数具有奇偶性,注意固有偶注意固有偶极矩的矩阵元为零及极矩的矩阵元为零及得到若适当选取若适当选取ua和和ub的相位，使的相位，使Dab为实数，这样为实数，这样就有就有Dab=D*ba=D。将此结果代入式（将此结果代入式（5.2.7)，得到得到0aaaabb,aaueZuueZuDtiba*batiabb*azeDCCeDCC000000P(5.2.8)(5.2.7)式中式中 原子

5、在原子在a、b能级间的跃迁频率；而能级间的跃迁频率；而baEE 0 *babaabDueZuzD(5.2.6)5.2.2 电偶极矩近似电偶极矩近似VPmH2021当外场与原子相互作用时，原子系统的哈密顿算当外场与原子相互作用时，原子系统的哈密顿算符将发生改变。为符将发生改变。为 c . ctCtCDc . cetCtCD*abti*abz000P(5.2.10)HHH0（5.2.19）其中：（5.6.5） teEPHER5.2.275.4、单色场对有衰减的 二能级原子系统的作用原子总存在自发辐射，其它能级对两能级之间可能原子总存在自发辐射，其它能级对两能级之间可能存在的跃迁，杂散辐射等。使原子

6、的能量衰减。波函存在的跃迁，杂散辐射等。使原子的能量衰减。波函数数 bbaautCutC其中：其中： ttEiaaaaeeCtC20 ttEibbbbeeCtC20原子的哈密顿算符原子的哈密顿算符20 iHHHaaauubbbuu衰减算符衰减算符 满足满足5.2.46.2.145.4.195.4.20 将将 及哈密顿算符及哈密顿算符H的表达式代入到薛定的表达式代入到薛定谔方程中，得到二能级原子系统的薛定谔方谔方程中，得到二能级原子系统的薛定谔方程程 t tCeHtCitCibtiabaaa00002 tCeHtCitCiatibabbb00002(5.4.21）5.5 5.5 拉比强信号解拉比

7、强信号解令令a=b= tCetCDiEtCaatiba0000220 tCetCDiEtCbbtiab0000220(5.5.2）(5.5.4） taaetCtC200 tbbetCtC200(5.5.5）(5.5.3） 将（将（5.5.3）两端微分，有）两端微分，有 tCtCDiEietCDiEtCbbatiab00000002220 将（将（5.5.2）（）（5.5.4）、（）、（5.5.5）代入，有）代入，有 02020000tCDEtCitCbbb tibetC0(5.5.6） 一个二阶常数系数齐次微分方程，它有一个二阶常数系数齐次微分方程，它有eit这种形式的这种形式的 解。令解。令

8、 （5.5.4）（5.5.6）以及上式代入（）以及上式代入（5.5.2），），得到得到 titaottittieetCDiEeei020222212 tiaeDEtC0002 其解为：其解为： 将（将（5.5.4）（）（5.5.5）、（）、（5.5.6）代入）代入（5.5.3），有），有titieiDEeiDE0022000 其解为其解为0201DE(5.5.7）202002121DE,(5.5.8）可将Ca0(t)与Cbo(t)的通解表示为： tititiaeBeAeDEtC21021002 titiboBeAetC21 假定初始时刻原子处于假定初始时刻原子处于b态态 100000baCC得

9、到0121BABA tititiaeBeAeDEtC21021002 titiboBeAetC21(5.5.9）A与B的 解为：12BA(5.5.10）其中：202021DE(5.5.11） 24122000210202222002100tsineiDEeeeDEeDEeeeDEtCti/ti/titititititia(5.5.12）初始时刻原子处于下能态初始时刻原子处于下能态b态，在辐射场的作用态，在辐射场的作用下，下，t时刻已跃迁到上能态时刻已跃迁到上能态a能态的几率为：能态的几率为： 222020tsineDEtCtPtaa(5.5.13）这就是拉比强信号解的结果这就是拉比强信号解的结

10、果 202020202202DEDEtsineDEtPta(5.5.13） 跃迁几率的变化将包括在跃迁几率的变化将包括在exp(- t)指数衰减曲指数衰减曲线包络内。如图（线包络内。如图（5-4）无阻尼的情况无阻尼的情况 )t(sinDEtPa2220在强信号作用下，初始时刻处于在强信号作用下，初始时刻处于b态的原子，态的原子，跃迁到跃迁到b能态的几率是等幅周期性变化的。能态的几率是等幅周期性变化的。如图（如图（5-3）拉比频率拉比频率2020DE 强信号下的线性函数强信号下的线性函数 22020DEg2022DE线宽线宽功率加宽功率加宽(5.5.15）(5.5.13）(5.5.16）第6章

11、密度矩阵与自洽场理论 每一个原子可看做一个系统，大量全同系统组成每一个原子可看做一个系统，大量全同系统组成一个系综。一个系综。 纯粹系综：系综内的系统处于用波函数纯粹系综：系综内的系统处于用波函数 所描述所描述的相同的微观态。的相同的微观态。 混合系综：系综内的系统不是处于相同的微观态。混合系综：系综内的系统不是处于相同的微观态。 对于纯粹系综，力学量对于纯粹系综，力学量A的平均值为：的平均值为：量子统计系综和力学量的平均值 tAtdVtAtAA*(5.1.5)6.1. 密度算符与密度矩阵 6.1.1 6.1.1 算符的矩阵表达式算符的矩阵表达式 量子力学中量子力学中, ,系统的状态是用态矢系

12、统的状态是用态矢 描述的描述的; ; 进行某一物理量的测量进行某一物理量的测量, ,就是用相应的算符作用在就是用相应的算符作用在态矢上。态矢上。 在量子力学中可以选取不同的表象。在量子力学中可以选取不同的表象。 选择一种表象选择一种表象, ,意味着在矢量空间中选取一组满足意味着在矢量空间中选取一组满足正交归一化条件以及完备性的基矢正交归一化条件以及完备性的基矢 , ,该组基矢该组基矢可以是分立的可以是分立的, ,也可以是连续的。也可以是连续的。 在该组基矢下在该组基矢下, ,表示系统量子状态的态矢以及作用表示系统量子状态的态矢以及作用在态矢上的算符在态矢上的算符, ,都可以用一组数量表示都可以

13、用一组数量表示, ,即用矩阵即用矩阵表示。表示。 tiu 假设所选择的基矢用假设所选择的基矢用| u| ui i( (i,j=1,2,.),j=1,2,.)表表示示, ,它是分立的它是分立的, ,其所满足的正交性及完备性其所满足的正交性及完备性为为ijjiuu1iiiuu将将 (t)(t)向基矢向基矢u ui i展开，则展开，则 iiiutCt(6.1.3)(6.1.2)展开系数展开系数Ci(t)，相当于态矢在，相当于态矢在|ui上的投影上的投影, tutCii(6.1.4) 力学量力学量A的平均值为的平均值为 jjj*ii*i*dVuCAuCdVtAtAijjij*iCAC(6.1.6)dt

14、uAuAj*iij(6.1.7) 称称Aij为算符为算符A在表象中的矩阵元素。在表象中的矩阵元素。nnnnAAAAA1111 对于共轭算符对于共轭算符A+,其矩阵元其矩阵元Aij+为为*ji*i*jj*iijAdtuAudVuAuA(6.1.8) 当一个算符是厄米算符当一个算符是厄米算符(其本征值是实数其本征值是实数)时时,其对应的矩阵为厄米矩阵其对应的矩阵为厄米矩阵,即有即有:*iiii*jiijAAAA(6.1.9) 厄米算符的矩阵表达式中，对角元为实数，厄米算符的矩阵表达式中，对角元为实数，而以对角线为对称的两个元素互为共轭复数。而以对角线为对称的两个元素互为共轭复数。6.1.2 密度矩

15、阵密度矩阵 纯态，定义密度算符纯态，定义密度算符为为 AAtrAtuAtuCCuCAuCtAtAj , ijijjijj , iij*ijjjii*i称为密度矩阵称为密度矩阵,有上式可得到有上式可得到*jiijCC(6.1.12)密度矩阵的矩阵元密度矩阵的矩阵元 ttttttt tt算符算符A的期待值可表示为：的期待值可表示为：(6.1.11)AAtrtrA密度矩阵的性质（1）密度矩阵）密度矩阵 是厄米的是厄米的ji*ij*ji*ijCCCC（2）纯态的情况下）纯态的情况下,密度矩阵密度矩阵 的对角元之和的对角元之和=16.1.14 112NiiiiiCtr6.1.15 ijij*jill*l

16、*jill*jl*liljilijCCCCCCCCCC2（3）纯态的情况下）纯态的情况下,密度矩阵密度矩阵 是等幂的是等幂的2（4）、一个观察量的系综平均值为矩阵( P P)或(P P )的迹,即PtrPtrP jjjjiijjiijijjitrPPPPP6.1.176.1.166.1.20纯态的情况下该结论可推广到任意次幂纯态的情况下该结论可推广到任意次幂 同时也有同时也有 12trtrn 1trtrn(5) 在表象间是么正变换的条件下,密度矩阵的迹和观察量的系综平均值并不改变 设设S为从为从“L”表象到表象到“M”表象的变换矩阵，表象的变换矩阵，则则 trSStrSStrtr11)(PPP

17、trPSStrPSSSStrPtr1116.1.3 统计混合状态下密度矩阵算符的推广 设系综由设系综由N个相同的量子力学系统所组成，其个相同的量子力学系统所组成，其中有中有N1，N2，Nm个系统处在个系统处在 态，态，且且N1+N2+Nm=N, pk=Nk/N为为 出现的几出现的几率。率。对与任意的子状态对与任意的子状态 ,令其密度矩阵令其密度矩阵k为为12mk1kkiikikuC6.1.236.1.24k ttkkk6.1.25其归一化条件为其归一化条件为 AAAkktrptrtrpdttAtpAkkmkkk*kmkk11(6.1.28)力学量力学量A的平均值为：的平均值为： 6.1.261

18、ktr 定义统计混合状态的密度算符定义统计混合状态的密度算符为：为： kkkp(6.1.27)k*kjkikijCCp 统计混合状态下的密度矩阵与纯态下的密度统计混合状态下的密度矩阵与纯态下的密度矩阵的区别在于矩阵的区别在于,密度矩阵密度矩阵 是不等幂的是不等幂的,而且而且满足满足:6.1.2932trtrtr6.1.4 密度矩阵元的意义6.1.30 （1）密度矩阵）密度矩阵 的对角元素具有几率的意义的对角元素具有几率的意义02kkikkikkikikkkkiiiCpuupupu 表示第表示第k个子状态的粒子处于个子状态的粒子处于|ui i 态的几态的几率，率， ii表示系综的粒子处在表示系综

19、的粒子处在|ui态的总几率态的总几率.若若单位体积内粒子数为单位体积内粒子数为N,那么那么N ii代表了处在代表了处在|ui态上粒子数密度态上粒子数密度2kiC 非对角元通常被认为是系综各本征态间相干非对角元通常被认为是系综各本征态间相干性的表现。性的表现。(2) 密度矩阵非对角元的意义 k*kjkikijCCp6.1.32 jiijjij , ijiiiiiijjijj , iij*imkkAAAtuAtuCCptAtA1 不仅取决于密度矩阵的对角元不仅取决于密度矩阵的对角元,而且还取而且还取决于非对角元决于非对角元. 各本征态|ui中相应的平均值|ui与|uj之间的干涉效应对平均值的贡献6

20、.2 密度矩阵的运动方程 密度矩阵的运动方程表示密度矩阵密度矩阵的运动方程表示密度矩阵 随时间随时间的变化关系。与时间有关的薛定谔方程为的变化关系。与时间有关的薛定谔方程为 0tt , xit , xHkk设“L”表象中基矢为un(x)，令 iikikxutCt , x 0iikiiikixuttCixutCH左乘u*l(x)，对整个空间积分，有： ikilikltCHittC5.1.23dxuHuHi*lli(a)(b) ikilikltCHittC lklilkitCHittC l*kllj*kjtCHittC 对上式时间微分对上式时间微分k*kjkikijCCp k*kjkiki*kjk

21、ijttCtCttCtCptt6.1.32lki*klljkkl*kjklilkkCCHpCCHpi同理并利用同理并利用H的厄米性，的厄米性，H*mn=Hnm，6.2.1ijijlilljljil,HiiHHi11HHlki*klljkkl*kjklilkkijCCHpCCHpit 密度矩阵的运动方程密度矩阵的运动方程:,Hit 二能级原子系综的密度矩阵(静止原子情形) 讨论二能级原子系综的密度矩阵及其运动方讨论二能级原子系综的密度矩阵及其运动方程的具体形式。激光有关的能级主要有两个。程的具体形式。激光有关的能级主要有两个。 讨论静止原子情形。讨论静止原子情形。1. 孤立原子系统的状态 设二能

22、级原子的两个能级的能量本征值分别为设二能级原子的两个能级的能量本征值分别为Ea和和Eb，相应的本征函数为，相应的本征函数为ua和和ub,则孤立原子系统的状则孤立原子系统的状态可用如下的波函数表示态可用如下的波函数表示 bbaautCutC其中：其中： tEiaaaetCtC0 tEibbbetCtC0原子的哈原子的哈密顿算符密顿算符 qUmH2202 quEuHb ,ab ,ab ,a05.2.46.2.146.2.35.2.192、 存在损耗原子系统的状态原子总存在自发辐射，其它能级对两能级之原子总存在自发辐射，其它能级对两能级之间可能存在的跃迁，杂散辐射等。使原子的能间可能存在的跃迁，杂散

23、辐射等。使原子的能量衰减。波函数量衰减。波函数 bbaautCutC其中：其中： ttEiaaaaeeCtC20 ttEibbbbeeCtC20原子的哈密顿算符原子的哈密顿算符20 iHHaaauubbbuu衰减算符衰减算符 满足满足5.2.46.2.145.4.195.4.203、外场作用下原子的态 其中其中H1是描述原子与辐射场相互作用的哈密是描述原子与辐射场相互作用的哈密顿算符，此时顿算符，此时H与时间有关。与时间有关。原子的哈密顿算符原子的哈密顿算符20 iHHH0tiH bbaabbaabbbbaaaautCiutCiuHtCuHtCutCiEutCiE22左乘 ，对整个空间积分，有

24、： bbaautCutC5.4.20*au 这是二能级原子系统在外场作用下几率振幅这是二能级原子系统在外场作用下几率振幅随时间的变化方程。随时间的变化方程。 知知 ，可确定，可确定Ca(t)和和Bb(t)，即可得，即可得同理，左乘同理，左乘 ，对整个空间积分，有：对整个空间积分，有： tCidVuHutCdVuHutCEtCtCiaab*aba*aaaaa2 tCidVuHutCdVuHutCEtCtCibba*bab*bbbbb2H(c2)*bu(c1)4、关于 假设电场和原子的相互作用取偶极近似，那假设电场和原子的相互作用取偶极近似，那么么 就是电偶极子在外场中的能量就是电偶极子在外场中的

25、能量 HHeREeEPHER5.2.27 P为原子的电偶极矩。标量近似为原子的电偶极矩。标量近似.。 原子原子线度线度d，可以认为在原子体积中，可以认为在原子体积中E是常数。于是常数。于是式是式(c)中各微扰能的矩阵元为：中各微扰能的矩阵元为：aaa*aa*aaaEDdVeRuuEdVuHuVbbb*bb*bbbEDdVeRuuEdVuHuVabbab*ab*aabEDueRuEdVeRuuEdVuHuVbaa*ba*bbaEDdVeRuuEdVuHuV5.2.9Daa、Dbb、Dab、Dba电偶极矩矩阵元（固有、感生） r是奇宇称算符，如果是奇宇称算符，如果a态和态和b态都具有确定的宇称，态

26、都具有确定的宇称，必然有必然有Daa=Dbb=0， 另外，从式另外，从式(5.2.9）的积分看出，）的积分看出，Dab=D*ba。因为波。因为波函数可以相差一个相位因子，若适当选取函数可以相差一个相位因子，若适当选取ua和和ub的的相位，使相位，使Dab为实数，这样就有为实数，这样就有Dab=D*ba。所以。所以Vab=Vba=-EDab=-EDba=-ED。式式(c）可写成）可写成 tCiEDtCEtCtCiaabaaa2 tCiEDtCEtCtCibbabbb2(6.2.13a）(6.2.13b）5.二能级原子系综的密度矩阵 为了将上述方程表示成密度矩阵的形式，可做如下为了将上述方程表示成

27、密度矩阵的形式，可做如下变换：以变换：以Ca*右乘式右乘式(6.2.13a)，然后减去以，然后减去以Ca左乘式左乘式(6.2.13a)的复数共辄式，得到的复数共辄式，得到 ED)CCCC(iCC)CC(dtd*bab*a*aaa*aaCb*右乘式右乘式(6.2.13b)-Cb左乘式左乘式(6.2.13b)的复数共辄式，的复数共辄式，ED)CCCC(iCC)CC(dtd*bab*a*bbb*bb(d1)(d2) 以上（以上（d1d3)是单个原子几率振幅随时间变是单个原子几率振幅随时间变化所满足的方程化所满足的方程Cb*右乘式右乘式(6.2.13a)-Ca左乘式左乘式(6.2.13b)的复数共辄式

28、，的复数共辄式，ED)CCCC(iCCEEi)CC(dtd*bb*aa*bababa*ba2(d3)*bab*aCCCC(d4)又又 考虑统计混合系综时考虑统计混合系综时,为求得整个系综的宏观为求得整个系综的宏观统计行为统计行为,可对式可对式(d1）(d2）中的各项取系）中的各项取系综平均值，即用综平均值，即用*ba*kbkakkab*bb*kbkbkkbb*aa*kakakkaaCCCCpCCCCpCCCCp按密度矩阵定义，可将二能级结构的原子按密度矩阵定义，可将二能级结构的原子系综的密度矩阵写成系综的密度矩阵写成(6.1.11),(6.1.31),(6.1.32)*abbabbaaabab

29、abbaabbbbbbbaabaaaaaEDiiEDiEDi0(6.2.16) 式中式中 0原子在原子在a、b能级间的跃迁频率；能级间的跃迁频率； ab两个能级的平均衰减率。两个能级的平均衰减率。 baEE 0baab21(6.2.17)6、有激发时的密度矩阵 可写成矩可写成矩阵方程阵方程21,Hi(6.2.20)babababbaabaEEDEDEEVVEHba00 考虑当原子系综在外界激励作用下，它们的考虑当原子系综在外界激励作用下，它们的密度矩阵随时间的变化规律。密度矩阵随时间的变化规律。(6.2.7)(6.2.16a)a(t0)dt0是单位体积中，在时间间隔是单位体积中，在时间间隔(t

30、0，t0+dt0) 内激发到内激发到a态的平均原子数，定义态的平均原子数，定义(a,t)代表代表t时刻被激发到时刻被激发到a态的单位体积的粒子数矩阵态的单位体积的粒子数矩阵或称为集居数矩阵或称为集居数矩阵 tadtttatta000,(e1)t0时刻原子处于时刻原子处于a态以后，态以后，t时刻（不存在激发时刻（不存在激发)的的密度矩阵，它遵从运动方程密度矩阵，它遵从运动方程(6.2.16）。初始条件）。初始条件为为 0001,00atta(e2)两端对时间求导两端对时间求导 用运动方程式用运动方程式(6.2.16)代入，有代入，有 taadtttattttattat000, 0001,atta

31、(e3)(e4) 000000,21,dtttattaHttattaHitattataaH、提出积分提出积分号外号外 同样可以导出在有外界激励的情况下系综处同样可以导出在有外界激励的情况下系综处于状态于状态b的集居数矩阵的集居数矩阵 tataHtataHiattaa,21,(e5) tbtbHtbtbHibttbb,21,(e6) 由于在外界激励作用下，原子可分别被激发由于在外界激励作用下，原子可分别被激发到二能级的任一能级之上，因此描述系综的到二能级的任一能级之上，因此描述系综的总的集居数矩阵应表为两种能级状态的集居总的集居数矩阵应表为两种能级状态的集居数矩阵的线性叠加数矩阵的线性叠加 10

32、00,00bttb(e7) tbtatitbai,(e8) 将式（将式（6.2.21）详细写出来，就是）详细写出来，就是 ttt,Hit21(6.2.21)ba00(6.2.19)其中其中代表激发矩阵代表激发矩阵式（式（e5）+式（式（e6)，可得总的集居数矩阵的，可得总的集居数矩阵的运动方程为运动方程为(6.2.18)baab21baEE 0(6.2.18)在单位时间内，由于外界激发而使得上能级的原子数得增加率（a），由于自发辐射或其它弛豫过程使该能级上得原子数目得衰减（-aaa），以及由于受激辐射而使得上能级数目的减少能级a的原子数随时间的变化来源于 密度矩阵元运动方程可以用微扰迭代法求解

33、密度矩阵元运动方程可以用微扰迭代法求解. 若原子初始处在上能级上若原子初始处在上能级上,则有则有 0010bbaa(6.2.22) 代入代入(6.2.18)中中ab运动方程得一阶近似运动方程得一阶近似 将将 代入代入(6.2.18)中中aa、aa运动方程得二运动方程得二阶近似阶近似 以此类推，可以得到以此类推，可以得到 1ab 1ab 22bbaa、 531420ababababaaaaaaaa(6.2.23)2.4 二能级原子系综的密度矩阵（运动原子情形） 静止原于的密度矩阵一般只适用于固态工作物质。静止原于的密度矩阵一般只适用于固态工作物质。 本节讨抡二能级运动原子酌密度矩阵，其结论可以本

34、节讨抡二能级运动原子酌密度矩阵，其结论可以用于气体工作物质。用于气体工作物质。 必须注意运动原子的速度分布和位置变化所带来的必须注意运动原子的速度分布和位置变化所带来的复杂性。复杂性。 由于原子具有由于原子具有z方向的运动速度方向的运动速度v，所以在，所以在t0时刻位时刻位置置z处如被激发到处如被激发到a态的原子在时刻态的原子在时刻t已不在已不在z处，这处，这部分原子对部分原子对z处处t时刻的密度矩阵没有贡献。时刻的密度矩阵没有贡献。 只有那些满足条件只有那些满足条件z+z0+v(t-t0)的原子，即在的原子，即在t0时刻时刻位置位置z0处被激发，以速度处被激发，以速度v运动并在时刻运动并在时

35、刻t恰好到达恰好到达z的原子才对的原子才对(z,t)有贡献。有贡献。 设设(a，z0，t0，v，t) 表示在无外界激励作用时，表示在无外界激励作用时，由轴向速率为由轴向速率为v的原子系统组成的系综在的原子系统组成的系综在t时刻的时刻的密度矩阵。密度矩阵。 系综内的原子在系综内的原子在t0时刻位于时刻位于z0处并且处干处并且处干a态态(或或在时刻在时刻t0被激发到被激发到a态态t0以后就不受到激发作以后就不受到激发作用），则用），则(a,z0,t0,v,t)遵从运动方程（遵从运动方程（2.3.30）。）。 用用a(z0，t0，v)表示在时刻表示在时刻t0位置位置z0附近单位时间附近单位时间单位体

36、积内向单位体积内向a态激发的、速度在态激发的、速度在v附近单位速度附近单位速度间隔内的乎均原子数。间隔内的乎均原子数。 (z，v，t)表示速度在表示速度在v附近单位速度间隔的原子附近单位速度间隔的原子所组成的系综在所组成的系综在t时刻位置时刻位置z处的集居数矩阵，则处的集居数矩阵，则有有初始条件初始条件 0000000,00,dzvtvtzztvtzivtzdttvzibaiLt0001,000tvtza1000,000tvtzb 式式(2.4.1)包含了对激发时间、激发地点的积包含了对激发时间、激发地点的积分以及对状态分以及对状态a、b的求和。其中的求和。其中函数保证函数保证只计及在只计及在

37、t时刻能够进入考察位置时刻能够进入考察位置z附近单位附近单位体积之内的那些原子，体积之内的那些原子，z=z0+v(t-t0)。 (2.4.1)将式（将式（2.4.1）对）对t求导求导利用利用函数性质及初始条件函数性质及初始条件(2.4.2)、（、（2.4.3），），并利用并利用上式可写成00vtvtzzuzvtuu利用了式利用了式(2.4.1)（2.4.4）将它代人式将它代人式(2.4.4)，由干，由干H、均不是均不是t0、z0的函数，的函数，故提出积分号外，其他不能提出部分对故提出积分号外，其他不能提出部分对dt0、dz0积积分，即为分，即为(z，v，t)。于是方程。于是方程(2.4.4)可

38、写成可写成密度矩阵密度矩阵 应遵守应遵守tvtzi,0021,Hi(2.3.30)tvtzitvtzitvtziHitvtzi,21,00000000上式即为运动原子的集居数矩阵的运动方程，上式即为运动原子的集居数矩阵的运动方程，式中的式中的均指均指(z，v，t)。这一方程和静止原于。这一方程和静止原于的式（的式（2.3.41）或式（）或式（2.3.44）有完全相同的形）有完全相同的形式，所不同的是：式，所不同的是：对于运动原子，对于运动原子，的变化率的变化率包括由时间推移直接产生的变化率包括由时间推移直接产生的变化率 和由和由于原子运动造成的变化率于原子运动造成的变化率 两部分，静两部分，静止原子因为是不动的，