ch2线性控制系统的分析-3至4节

1、第三节第三节 状态转移矩阵状态转移矩阵满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：满足初始状态满足初始状态 的解是：的解是：线性定常系统的齐次状态方程：线性定常系统的齐次状态方程：Axx )()(0)(0txetxttA )0(| )(0 xtxt )0()(xetxAt )(| )(00txtxtt ： )()(0)(0ttetettAAt 令：令： 则有：则有： 线性定常系统的状态转移矩阵线性定常系统的状态转移矩阵 )()()()0()()(00txtttxxttx ：状态转移矩阵必须满足以下两个条件，不满足则不是状态转移矩阵。：状态转移矩阵必须满足以下两个条件，不满足则不是状态转移矩阵。)

2、()(00ttAtt 1 1）状态转移矩阵初始条件：）状态转移矩阵初始条件：Itt )(00 2 2）状态转移矩阵满足状态方程本身：）状态转移矩阵满足状态方程本身：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。：状态转移矩阵的物理意义：状态转移矩阵的物理意义： 从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移在不断地作坐从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移在不断地作坐标变换，也就是不断在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。标变换，也就是不断在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。)0(x)(1tx)0(1 t

3、 )(2tx)(12tt t1x2x01t2t仍可以得到满足初始状态仍可以得到满足初始状态 的解是：的解是：选下列基向量作为初始条件：选下列基向量作为初始条件：线性时变系统的齐次状态方程：线性时变系统的齐次状态方程：)()()(txtAtx )(| )(00txtxtt ：)(),()(00txtttx 100)(,010)(,001)(0022011txetxetxenn线性时变系统的状态转移矩阵线性时变系统的状态转移矩阵：对于线性时变系统来说：对于线性时变系统来说： 状态转移矩阵不仅是时间状态转移矩阵不仅是时间t t的函数，同时也是时间的函数，同时也是时间t t0 0的函数。的函数。1 1

4、、对于线性定常系统：、对于线性定常系统： 对于线性时变系统：对于线性时变系统：IettA 000)0()( Itt ),(00 ：此性质的含义是，从：此性质的含义是，从t t0 0到到t t0 0的转移，相当于不转移，转移后的的转移，相当于不转移，转移后的状态转移矩阵仍是它自己。状态转移矩阵仍是它自己。2 2、对于线性定常系统：、对于线性定常系统： 对于线性时变系统：对于线性时变系统：)()(00ttAtt ),()(),(00tttAtt 3 3、对于线性定常系统：、对于线性定常系统： 对于线性时变系统：对于线性时变系统：)()()(020112tttttt ),(),(),(020112t

5、ttttt 传递性传递性：此性质表明，从：此性质表明，从t t0 0到到t t2 2的转移可以分为两步：的转移可以分为两步： 先从先从t t0 0转移到转移到t t1 1，再从，再从t t1 1转移到转移到t t2 2。不变性不变性4 4、对于线性定常系统：、对于线性定常系统： 对于线性时变系统：对于线性时变系统：)()(001tttt 可逆性可逆性),(),(001tttt ：此性质表明，状态转移过程在时间上可以逆转。由性质：此性质表明，状态转移过程在时间上可以逆转。由性质1 1、3 3证明证明5 5、对于线性定常系统：、对于线性定常系统：)()()()()(122121tttttt 分解性

6、分解性：由：由 去证明去证明。)(2121)(ttAett 6 6、对于线性定常系统：、对于线性定常系统： )()(nttn )(0tx)(tx)(0tt )(0tt 1 1、已知齐次状态方程的解，求状态转移矩阵：方法是利用、已知齐次状态方程的解，求状态转移矩阵：方法是利用 直接求解。直接求解。：关于线性时变系统的状态转移矩阵，在线性时变系统求解一节中讲。：关于线性时变系统的状态转移矩阵，在线性时变系统求解一节中讲。)0()()(1 xtxt 2 2、利用矩阵指数函数的求解方法求。、利用矩阵指数函数的求解方法求。由由 可得可得 3 3、已知状态转移矩阵，求系统矩阵、已知状态转移矩阵，求系统矩阵

7、A A阵。阵。：利用状态转移矩阵性质：利用状态转移矩阵性质2 2求解：求解：)()(00ttAtt 0| )(tttA 4 4、已知某时刻系统状态，求其它时刻的状态。、已知某时刻系统状态，求其它时刻的状态。)()()(00txtttx 第四节第四节 线性定常非齐次状态线性定常非齐次状态方程的解方程的解 ttdButtxtttx0)()()()()(00 若线性定常系统的非奇次状态方程若线性定常系统的非奇次状态方程的解存在，则解形式如下：的解存在，则解形式如下：)(,0txBuAxx初初始始状状态态 tttAttAdBuetxetx00)()()()(0)( ：与线性定常系统齐次状态方程的解不同

8、，齐次状：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。3）对上式在）对上式在 区间内进行积分，得区间内进行积分，得:2）两边左乘）两边左乘 ，利用，利用 的性质的性质1）先把状态方程）先把状态方程 写成写成 tttttAttAttAAtAtttAttAdButtxttdBuetxetxdBuetxetxedBuexe0000000)()()()()()()()()()()()(00)(0)(0 Ate BuexeAxxeAtAtdtdAt BuAxx BuAxx tt ,0直接求解法的关键：求状态转移矩阵或矩阵指数函数直接求解法的关键：求状态转移矩阵或矩阵指数函数AteAeAeedtdAtAtAt )(对非齐次状态方程对非齐次状态方程 两边进行拉氏变换得：两边进行拉氏变换得：BuAxx