数列题型及解题方法归纳总结90474

1、文德教育i知识框架数列的概念数列的分类数列的通项公式一函数角度理解 数列的递推关系”等差数列的定义an等差数列的通项公式 等差数列2等差数列的求和公式、等差数列的性质an-an j= d(n丄2)an= ai(n - 1)dn ,、n(n -1),Sn(aia.)二naid2 2am二apaq(m n二p q)数列两个基本数列等比数列广等比数列的定义an亍q( n 2)an A等比数列的通项公式ann A.yq. .anq等比数列的求和公式等比数列的性质 i - qn ai(q =1)anam=apaq(m n = p q)古(q=1)求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就

2、有可 能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法i、求通项公式（i）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等 差数列或等比数列问题。（i） 递推式为 an+i=a+d 及 an+i=qan（d，q 为常数）例 i、已知 an 满足 an+i=an+2，而且 ai=i。求 an。例 i、解/an+i-an=2 为常数 an是首项为 i，公差为 2 的等差数列-an=i+2 （n-i ）即 an=2n-ii例 2、已知an满足anian，而a - 2，求q=?之12解V是常数% 2二佃是以2为首项，公比为的等比数列公式法分组求和

3、错位相减求和裂项求和倒序相加求和累加累积_ 归纳猜想证明分期付款数列的应用 廿儿I其他数列求和(2)递推式为 an+i=an+f (n)1例 3、已知an中a-2an ian解：由已知可知an d- an掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、(2n+i)(2ni)=i(k-k令 n=i，2，,(n-i )，代入得(n-i )个等式累加，即(a2-ai) + (a3-a2) + +(an-an-i)=-(1-) +2L KX 5,1_ 1_2u-32-文德教育1、4n-3ai一(1)=2 2n -1 4n2只要和 f (1) +f (2) +f ( n-1 )是可求的，就可

4、以由a”1=an+f (n)以 n=1, 2，(n-1)代入，可得 n-1 个等式累加而求 an。递推式为 an+1=p+q (p, q 为常数)例 4、an中，a1，对于 n 1 (n N)有a3anj2，求a.解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2, an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3 (an-an-1)因此数列an+1-an是公比为 3 的等比数列，其首项为 a2-a1= (3X1+2) -1=4n-1n-1厂“n-1an+1-an=4 3- an+1=3an+23an+2-an=4 3 即 an=2 3 -1解法二：上法得an+1-an是公比为 3 的等比数列，于

5、是有：a2-a1=4, a3-a2=4 -3,2n-2a4-a3=4 3，, an-an-1=4 3 ,把n-1个.一.-等 . 式累一力得： an=2 3n-1-1-说明对于递推式张广P兀+qS可两边除以广得聽二q-*鼻+丄引棘助数列,(bn=),得也二Eg+丄后用q q qqaq q(5)递推式为 an .2二 pan 1qan思路：设an .2二pan 1qan,可以变形为：an .2-an .1二：.1-an),f CL + P p就是 3= 3 + 3) S-ctB 看则可从匚:卩解得 J 4 I * P = -q想于是an+1-aan是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。bna

6、n说明递推式为 an+1=p an+q n (p, q 为常数)【例5】己知aj中，=-, aA+l= -an+(-)叫求智 略解在砧=扫+4)的两边乘以丹】得2n+L- an+1= -+1,令b厂2壮丄屯-七22bn 1二一(6斗) 由上题的解法，得：g = 3 - 2(广332 1【例6】已知数列J中，日二1, a2=2,=-an+1+-an,a +分析解在仏2Cl + p =3= 1、a B =-2叮塲=an+l+-an边减去 j得扌a廿1-耳)p-pP = -q-an+l文德教育33，十扌I，（冷）递推式为 S 与 an 的关系式(n = l)(n2):/关系;(2)试用 n 表示 a

7、n。 J数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数 列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果 祐等差，g 等比，那么:anbn/叫做差比数列）即把每一项都乘以的公比q，向后错一项，再对应同次 项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几 项，可求和。解(1)由s严4*得S+i 二 4an+1-TJTT,、丄，1 1乙(an-an 1)(2 -尹)(an+lJ是公比为百项为衍二啲等比数列克n-l此类型可利用養可裂项为Sn 1-Sn（其中订等差）1anan 11an 1文德教育41an 1an2上式两

8、边同乘以丄2n = (7071_庙).an Ian 1d2n+1得 2n+1an+i=2nan+2 则2 5是公差为 2 的等差数列。 2nan= 2+ (n-1 ) 2=2n-.=-等差数列前 n 项和的最值问题：1、若等差数列a,的首项a 0,公差d0，则前n项和&有最大值。文德教育5(i)若已知通项an,则Sn最大二an阳兰0(ii)若已知Sn二pn2qn，则当n取最靠近-丄 的非零自然数时Sn最2p大；2、若等差数列:a/f的首项ai：0,公差d 0，则前n项和Sn有最小值(i)若已知通项為，则Sn最小二an、lA 八0(ii)若已知Sn= pn2qn，则当n取最靠近-的非零自

9、然数时Sn最2p小;数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn(即a1a2an= f (n)求an,用作差法：a=0(n=)、。3nSn-Sn4,( n一2)口 -|f(1),(n=1)已知aLa-_a f (n)求a.,用作商法：a f (n)(2)。f (n-1),(2)已知条件中既有Sn还有an，有时先求Sn，再求a；有时也可直接求an。 若ani-an=f( n)求a.用 累力口法 ：an=(an-an4) (an4-anJ HI 2-冃)ai(n -2)。已知也=f(n)求an，用累乘法：an色1虽川更 (n一2)。anan Jan_2ai已知递推关系求an

10、,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地，(1)形如a*= kanb、aka* bn(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列 后，再求an；形如a.= kankn的递推数列都可以除以kn得到一个等差数列后，再求an。a(2)形如an匸的递推数列都可以用倒数法求通项。kan_i+b(3) 形如and= ank的递推数列都可以用对数法求通项。(7) (理科)数学归纳法。(8)当遇到an彳- an_二d或旦口二q时，分奇数项偶数项讨论，结果可anJ能是分段形式。数列求和的常用方法：(1) 公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有

11、困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与 组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是 等差数列前n和公式的推导方法)(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的文德教育6通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n和公式的推导方文德教育7求数列通项公式的常用方法:1、 公式法2、由 Sn求 an(n =1 时，a1=S1，n 一 2 时，a.=Sn-SnJ3、求差(商)法如: :an满足知 土 a2*an= 2n 5：11解：n =1 时，

12、a2 1 5, a1=141 1 1n-2 时，2a122a2 尹an4=2n-1 5- (2n - 1)已1-x1-x_ 1 + X - (2n + px11+ (2n -=Frf -(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法：n(n+k)1 1n n + kn(n + l)(n + 2)n + 21 11111 1 1 1 1二s =n +- + + +- +-1A4L53 75 92n-3 2n +1 2n -1 2n + 3J_ lri111 .4L3 2n + l 2n + 3Jn(4n+5) 3(2n + l)(2n + 3)注：在消项时一定

13、注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题 时的应用。二、常用数学思想方法1 函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】等差数列an的首项 ai0，前 n 项的和为 S,若 S=S0 Si=Sk(I丰k),. dv0 故此二 次函数的图像开口向下 当掘二二布(最大，f (n)中，圧N。 f(1) =f (k).二当1+k为偶数时，n =-时最大。当1+k为奇数班n二兰三时S联最大。文德教育11 x=1ogak, y=logbk, z=logck b2=ac a, b, c 成等比数列(a, b, c 均不为 0)/ qz1坷K) |坷( (l q) _ 2at(1-q)363整理得 q ( 2q -q -1 ) =0/qz0 2q6-q3-l = 0 q；= l 舍，Qa此题还可以作如下思考：33336S6=S3+q S3= (1+q ) S。S9=S+q S6=Ss(1+q +q ),由 S3+S=2S 可得 2+q3=2 (1+q3+q6), 2q6+q3=0m 1 V43换元思想【例 15】 已知 a, b, c 是不为 1 的正数，x, y, z R+,且1 1 2有|/二和 + - = x z y求证：a, b, c 顺次成等比数列。2.