通原4第4章傅里叶变换V2

1、信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-1页电子教案第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 一、傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式 二、傅里叶级数的指数形式二、傅里叶级数的指数形式4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 一、周期矩形脉冲的频谱一、周期矩形脉冲的频谱 二、周期信号的频谱二、周期信号的频谱 三、周期信号的功率三、周期信号的功率4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换 一、信号的傅里叶变换一、信号的傅里叶变换 二、常见信号、奇异信号的傅立叶变换二、

2、常见信号、奇异信号的傅立叶变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-2页电子教案第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6 4.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 一、正弦、余弦信号的傅立叶变换一、正弦、余弦信号的傅立叶变换 二、周期信号的傅立叶变换二、周期信号的傅立叶变换 三、傅立叶系数与傅立叶变换之间的关系三、傅立叶系数与傅立叶变换之间的关系4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析 一、频率响应一、频率响应 二、无失真传输与理想低通滤波器二、无失真传输与理想低通滤波器4.8 4.8 取样定理取样定理信号

3、与系统信号与系统西安邮电大学第4-3页电子教案第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 时域分析时域分析，以，以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输入为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和；而信号可分解为一系列冲激函数之和；而 yzs(t) = f(t)*h(t) 。 本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ej t为基本信号，为基本信号，任意输入信号可分解为一系列任意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号的正弦信号或虚指数信号之和。或虚指数信号之和。 用于系统分析的独立变量是用于系统分析的独立变量是频率频率， 故称为故称为频域频域分析分析 。4.

4、0 引引 言言信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-4页电子教案从本章开始由从本章开始由时域时域转入转入变换域变换域分析，首先讨论傅分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。三角函数或复指数函数的组合。频域分析将频域分析将时间时间变量变量变换成变换成频率频率变量变量，揭示了信，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其

5、频率特性之号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。波、调制等重要概念。 频域分析频域分析信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-5页电子教案发展历史发展历史 1822年年，法国数学家傅里叶，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传在研究热传导理论时发表了导理论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松泊松(

6、Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人等人把这一成果应用到电学中去，把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。得到广泛应用。 进入进入20世纪以后世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。阔的前景。 在在通信与控制系统通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。法具有很多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法

7、赋予了新的生命力。 信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-6页电子教案4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：正交的定义：其内积为其内积为0。即。即031iyixiTyxvvVV由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-7页电子教案如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（

8、0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。且完备。且完备。例如三维空间的矢量例如三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用正交矢量，可以用正交矢量集集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即分量的线性组合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间信号空间。在信。在信号空间找到若干个号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，作为基本信号，使信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。使信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。 4.1 4.1 信

9、号分解为正交函数信号分解为正交函数信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-8页电子教案二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1. 信号正交：信号正交： 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t)，若满足，若满足 210d)()(*21ttttt(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，当这些函数在区间当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 21, 0, 0d)()(

10、*ttijijiKjittt则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。 4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-9页电子教案3. 完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t) 之外，之外，不存在函数不存在函数 (t) (0) 满足满足 则此函数集为则此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如例如： 三角函数集三角函数集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间是两组典型的在

11、区间(t0，t0+T)(T = 2 /)上的上的完备完备正交函数集正交函数集。21( )( )d0titttt( i =1，2，n)4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-10页电子教案三、信号的正交分解三、信号的正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数集。将任一函数构成一个正交函数集。将任一函数f(t)(t1，t2)用这用这n个个正交函数的线性组合来近似，表示为正交函数的线性组合来近似，表示为f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何选择系数如何选择系数Cj使使f(t)与近

12、似函数之间误差在区间与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小？内为最小？通常选误差的方均值通常选误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)，使之最小。，使之最小。ttCtfttttnjjjd )()(121211224.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-11页电子教案为使上式最小，求导数为使上式最小，求导数0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展开上式中的被积函数，并求导。其中只有两项不为展开上式中的被积函数，并求导。其中只有两项不为0，210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()

13、(22ttiittittCtttf2121d)(d)()(2ttittiitttttfC4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数所以系数所以系数21d)()(1ttiitttfK信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-12页电子教案代入，得最小均方误差（推导过程见教材）代入，得最小均方误差（推导过程见教材）0d)(112212221njjjttKCttftt当用正交函数去逼近当用正交函数去逼近f(t)时，所取的项数越多，即时，所取的项数越多，即n越大，越大，则均方误差越小。当则均方误差越小。当n（为完备正交函数集）时，均（为完备正交函数集）时，均方误差为方误差为零零。此时有。此时有1

14、2221d)(jjjttKCttf上式称为上式称为(Parseval) 帕斯瓦尔公式帕斯瓦尔公式。表明。表明: 在区间在区间(t1,t2) f(t)所含能量所含能量恒等于恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的在完备正交函数集中分解的各正各正交分量能量的总和交分量能量的总和。 1)()(jjjtCtf4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-13页电子教案4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数小结小结21d)()(1ttiiitttfKC21d)(2ttiittK

15、1)()(iiitCtfl 函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和：可分解为无穷多项正交函数之和：12221d)(iiittKCttfl 帕斯瓦尔能量公式帕斯瓦尔能量公式:信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-14页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.2 傅里叶级数傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式1. 三角函数集三角函数集 在一个周期内在一个周期内是一个完备的正交函数集。是一个完备的正交函数集。22cossin0TTntmt dt22,2coscos0,TTTmnn tm t dtmn 22,2sinsin0,TTTmnn tm t dtmn由积分可

16、知由积分可知1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-15页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率 =2 /T，当满，当满足足狄里赫利狄里赫利 ( Dirichlet ) 条件时，它可分解为如下三角条件时，它可分解为如下三角级数级数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 。110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系数系数an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 2. 级数形式级数形式 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTn

17、ttntfTb可见，可见， an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-16页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数将上式同频率项合并，可得到将上式同频率项合并，可得到10)cos(2)(nnntnAAtf3. 其它形式其它形式 式中式中, A0 = a022nnnbaAnnnabarctan上式表明，上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 A0/2为为直流分量直流分量 A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，其角频率与原周，其角频率与原周 期信号相同期信号相同 A

18、2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波，其频率是基波的，其频率是基波的2倍倍一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波次谐波。 可见：可见：An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。 an = Ancos n， bn = Ansin n，n =1,2,信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-17页电子教案二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数)()(tftf1 . f(t)为偶函数为偶函数 对称纵坐标对称纵坐标22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn

19、=0，展开为，展开为余弦级数余弦级数。2 . f(t)为奇函数为奇函数 对称于原点对称于原点an =0，展开为，展开为正弦级数正弦级数。)()(tftf信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-18页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数3 . f(t)为奇谐函数为奇谐函数 f(t) = f (tT/2)此时此时 其傅里叶级数中其傅里叶级数中只含奇次只含奇次谐波分量，谐波分量，而而不含偶次不含偶次谐波分量谐波分量即即 a0=a2=b2=b4=0 4 f(t)为偶谐函数为偶谐函数 f(t) = f(tT/2)此时此时 其傅里叶级数中其傅里叶级数中只含偶次只含偶次谐波分量，谐波分量，而而不含奇次

20、不含奇次谐波分量谐波分量即即 a1=a3=b1=b3=0 信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-19页电子教案三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式 三角形式三角形式的傅里叶级数，含义明确，但系数运算多，的傅里叶级数，含义明确，但系数运算多，常感不便。因而经常采用常感不便。因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。的傅里叶级数。4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数 e)(jtnnnFtf22j1( )edTTn tnFf ttT系数系数Fn 称为称为复傅里叶系数复傅里叶系数 利用利用 cosx=(ejx + ejx)/2 可从三角形式推出：可从三角形式推出：虚指数函数集虚指数函数集e

21、jnt，n=0，1，2，信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-20页电子教案10)cos(2)(nnntnAAtf1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数上式第三项的上式第三项的n用用n代换，因为代换，因为A n=An， n= n,则则110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAAntjnjnnAtfee21)(所以：所以：令令00000ee,0jjtAA信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-21页电子教案令复数：令复数：1ee2nnjjnnnAFF4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数

22、22222211( )cos()d( )sin()d1( )edTTTTTjntTf tn ttjf tn ttTTf ttT n = 0, 1, 2， 表明表明：任意：任意周期信号周期信号f(t)可可分解为分解为许多许多不同频率不同频率的的虚虚指数指数信号信号之和之和。 F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。)(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFnntnnFtfje)( n = 0, 1, 2， j221( )edTntTnFf ttT信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-22页电子教案傅里叶系数之间关系傅里叶系数之间关系:nnnnAbaF212122 nn

23、nabarctanjj11ee(j)22nnnnnnnFFAabn的偶函数：的偶函数：an ， An ， |Fn | n的奇函数的奇函数: bn ， n nnnAacosnnnAbsin4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-23页电子教案四、周期信号的功率四、周期信号的功率Parseval等式等式TdttfTP02)(1表明：表明：信号的平均功率等于直流和信号的平均功率等于直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和。电阻上消耗的平均功率之和。 n0时，时， |Fn| = An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，

24、其平均功率为将将f(t)的傅立叶级数展开式代入：的傅立叶级数展开式代入：4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数022220111( )()|22TnnnnAPft dtAFT这是这是Parseval定理定理在傅里叶级数情况下的具体体现。在傅里叶级数情况下的具体体现。信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-24页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数例例：将图示方波信号：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。展开为傅里叶级数。解：解：022022222( )cos()( 1) cos()1 cos()TTTTnaf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 12 sin()si

25、n()02Tn tn tTT nT n可得：可得：0na f(t)为周期信号，傅里叶系数为：为周期信号，傅里叶系数为：信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-25页电子教案4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数信号的傅里叶级数展开式为：信号的傅里叶级数展开式为：011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t022022222( )sin()( 1) sin()1 sin()TTTTnbf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 12cos() cos()02Tn tn tTT nT n21 cos() 1 cos()2TnnT n21 cos()nn0,2,4,

26、6,4,1,3,5,nnn 4111sin()sin(3)sin(5)sin(),1,3,5,35tttn tnn考虑到考虑到=2 /T，信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-26页电子教案周期信号周期信号分解演示分解演示信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-27页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变随信号频率变化的关系，称为化的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信，所画出的图形称为信号的号的频谱图频谱图。 周期

27、信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将An 和和 n 的关系分别画在以的关系分别画在以 为横轴的为横轴的平面上得到的两个图，分别称为平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位相位频谱图频谱图。因为。因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。 也可画也可画|Fn| 和和 n 的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Fn为实数，也可直接画为实数，也可直接画Fn 。信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-28页电子教案频谱图示（单边）频谱图示（单边）幅度频谱幅度频谱相位频谱

28、相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱An 曲线曲线 n 曲线曲线信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-29页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例：例：周期信号周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即263cos41324cos211)(tttf显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直

29、流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 812cos433t的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角频率，基波角频率=2 /T = /12信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-30页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图:34cos21t是是 f(t)的的( /4)/( /12 )=3次谐波分量；次谐波分量； 323cos41t是是 f(t)的的( /3)/( /12 )=4次谐波分量；次谐波分量；323cos4134cos211)(tttf323741212121122

30、P信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-31页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱 对于双边频谱，负频率，只是数学推导，而对于双边频谱，负频率，只是数学推导，而无物理意义。为什么引入负频率？无物理意义。为什么引入负频率？ f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnt和和e-jnt，只有正负频率分量相加，才代表一个，只有正负频率分量相加，才代表一个分量的值，分量的值，才能保证才能保证f(t)的实函数的性质不变。的实函数的性质不变。 比较比较|Fn| 与与An 的差别：的差别：(1) |Fn|=An/2；(2) |Fn| 为双边谱，为双边

31、谱， An 为单边谱；为单边谱；(3) An是实函数，是实函数， Fn一般是复函数一般是复函数信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-32页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点如图：以幅度为如图：以幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 、周期为周期为T 的周期矩的周期矩形脉冲，求频谱。形脉冲，求频谱。jj222211( )ededTn tn tTnFf tttTTsin()22nnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数取样函数)。 它是偶函数；当它是偶函数；当x=0, Sa(x)=1 j22sin()1122ejntnTnTn信号与

32、系统信号与系统西安邮电大学第4-33页电子教案)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， (1)包络线形状：包络线形状：抽样函数抽样函数(3)离散谱（谐波性）离散谱（谐波性） 时取值时取值当当n 。T n处，为处，为 其最大值在其最大值在0(2) 2)4 第第一一个个零零点点坐坐标标：（T 222令nn。相位为相位为，相位为，相位为, 000 nnFF 5 T图中图中4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱(5)Fn是复函数是复函数(此处为实函数此处为实函数)，幅度，幅度/相位相位信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-34页电子教案 周期信号频谱的周期信号频谱的特点：特点：(1)

33、幅度谱幅度谱代表谐波分量的幅度；代表谐波分量的幅度；(2) 幅度谱的幅度谱的包络线包络线反映了幅度随反映了幅度随n的变化；的变化；(3) 相位谱相位谱反映了各频率分量的初相位；反映了各频率分量的初相位；(4) 频谱具有频谱具有离散离散(谐波谐波)性性。谱线位置在基频。谱线位置在基频 的的 整数倍的频率点上；整数倍的频率点上；(5) 一般具有一般具有收敛性收敛性，总趋势减小。，总趋势减小。4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-35页电子教案 谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系： T 一定一定， 变小：变小：此时此时 （谱线间隔）不变

34、。两零点之间的谱线数目：（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目： / =(2 / )/(2 /T ) =T/ 增多。增多。4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-36页电子教案4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱T( 一定一定)时，会出现什么现象？时，会出现什么现象？ 一定一定，T 增大：增大：间隔间隔 减小，第一零点位置不变，频谱变密。减小，第一零点位置不变，频谱变密。 / T 减小，减小，幅度减小。幅度减小。信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-37页电子教案如果如果周期周期T无限增大（这时就成为无限增大（这时就成为非周期信号非周期信号），

35、），那么，那么，谱线间隔将趋近于零谱线间隔将趋近于零，周期信号的，周期信号的离散频离散频谱谱就过渡到非周期信号的就过渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。的幅度也趋近于无穷小。 4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-38页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换)(tf：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号22jde )(1TTtnnttfTF频谱频谱连续谱连续谱, 幅度无限小幅度无限小离散谱离散谱引出:T0再用再用F

36、n表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数频谱密度函数。T2 谱线间隔谱线间隔0信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-39页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换(j )limlim1/nnTTFFFTT称称F(j )为为频谱密度函数频谱密度函数，简称为频谱函数。，简称为频谱函数。j221()( )edTntTnF nf ttT ()nTF n单位频率上单位频率上的频谱值的频谱值()()2()1nnnF nF nF nfT信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-40页电子教案4.4 4.

37、4 傅里叶变换傅里叶变换22jde)(TTtnnttfTFntnnTTFtf1e)(jT，无穷小，记为无穷小，记为d ；n （由离散量（由离散量变为连续量）变为连续量）2d21T同时，同时， 得到得到j(j )lim( )edtnTFF Tf ttj1( )(j )ed2tf tF傅里叶变换式傅里叶变换式”-”傅里叶反变换式傅里叶反变换式”+”F(j )称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱 f(t)称为称为F(j )的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-41页电子教案4

38、.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换F(j )一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j ) = | F(j )|e j ( ) = R( ) + jX( ) 说明：说明： (1)推导未遵循严格的数学步骤。可证明，函数推导未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)傅里叶变换存在的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:ttfd)(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分ttfFd)()0(1(0)(j )d2fF也可简记为也可简记为或或F(j ) = F f(t) f(t) = F 1F(j )j ()(Ftf信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-42页电子教案1.矩形脉冲矩

39、形脉冲 (门函数）门函数）记为记为g (t)jj22/2j/2ee(j )edjtFt2sin()sin()22Sa()22二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-43页电子教案频谱图频谱图21fBB或幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱频宽：频宽： 20 4 2 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-44页电子教案2单边指数函数单边指数函数f(t) = e t (t)， 0j1ej1dee)(j0)j(0jttttF4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统西安邮电

40、大学第4-45页电子教案221jF0j,1j, 0FF( )arctan 0,( )0,( )2,( )2 幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱：频谱图频谱图4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-46页电子教案3双边指数函数双边指数函数0jj022(j )e edeed112jjttttFttf(t) = e | |t| | ， 04.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-47页电子教案4冲激函数冲激函数 (t)、 (t)1j( )( )edttttj( )( )edtttt4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换j0dejdt

41、tt 冲激函数之频谱覆盖所有频段，各种工业中产冲激函数之频谱覆盖所有频段，各种工业中产生的瞬间电火花，其造成的干扰是全频段的。生的瞬间电火花，其造成的干扰是全频段的。信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-48页电子教案5直流信号直流信号1有一些函数有一些函数不满足绝对可积不满足绝对可积这一充分条件，如这一充分条件，如1， (t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数可构造一函数序列序列f(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而f(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且f(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成

42、的序列F(j )是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F (j )为为)(lim)(tftf(j )lim(j )FF这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 讨论：讨论：4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-49页电子教案推导推导 1?构造构造 f (t)=e- t ， 0 222(j )F)(lim1)(0tftf所以所以22000,02(j )lim(j )lim,0FF又又22200022limdlimdlim2arctan21因此，因此， 12 ( )4.4 4.4 傅

43、里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-50页电子教案求求F 1另一种方法另一种方法将将 (t)1 代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有)(de21jtt将将 t，t- ，有，有)(de21jtt再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得)(2)(2de1jtt4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-51页电子教案6. 符号函数符号函数0, 10, 1)sgn(tttet et不满足绝对不满足绝对可积条件可积条件e,0( )0e,0tttftt )(lim)sgn(0tft2211j2( )(j )jjftF2200j22sgn(

44、 )lim(j )limjtF4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-52页电子教案频谱图频谱图j2222sgn( )jejt 是是偶偶函函数数jF 是奇函数是奇函数 O 22 222jF 0,20 ,202arctan 4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-53页电子教案7. 阶跃函数阶跃函数11( )sgn( )22tt4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换1( )j 信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-54页电子教案4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：归纳记忆： (t) (t) 1( )j e - t (t)

45、 1jg (t) Sa2sgn (t) 2je |t|222 1 12 ( )j(j )( )dtFf t etj1( )(j )d2tf tFe1. 变换变换对对F2. 常用函数常用函数 变换对：变换对：F信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-55页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性性质一、线性性质 (Linear Property)If f1(t) F1(j )， f2(t) F2(j )thenj12( )( )edtaf tbf ttjj12( )ed( )edttaf ttbf tt= a F1(j ) + b F

46、2(j ) a f1(t) + b f2(t) a F1(j ) + b F2(j ) Proof: F a f1(t) + b f2(t)信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-56页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j ) = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2 ( )g2(t) 2Sa( ) F(j ) = 2 ( ) - 2Sa( )0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11-信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-57页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变

47、换的性质二、奇偶虚实性二、奇偶虚实性(Parity)If f(t) is real function, thenj(j )( )ed( )cos()dj( )sin()dtFf ttf tttf ttt22|(j )|( )( )FRX)()(arctan)(RXSo that(1) R( )= R( ) , X( ) = X ( ) |F(j )| = |F( j )| , ( ) = ( )(2) f (t) F (j ) = F*(j ) (3) If f(t) = f(-t) ,then X( ) = 0, F(j ) = R( ) If f(t) = -f(-t) ,then R(

48、) = 0, F(j ) = jX( )j ()( )j ( )(j ) eRXF 信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-58页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、对称性三、对称性(Symmetrical Property)If f (t) F( j ) thenProof:j1( )(j )ed2tf tF（1）in (1) t ， t thenj1( )(j )ed2tfFtt （2）in (2) - - thenj1()(j )ed2tfFtt F( jt) 2 f ( ) endF( jt ) 2 f ( )信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-59页电子教案4

49、.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j ) = ?211)(ttfAns:22| |2etif =1,2| |12et|2e212 t|2e11t?sin)(1tttf?1)(2tttf练习练习: :信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-60页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四、尺度变换性质四、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f (t) F(j ) then where “a” is a nonzero real constant.Proof:F f (a t ) =j()dtf at et

50、For a 0,F f (a t ) j1( )edatafa1jFaafor a 0,F f (a t ) jj111( )ed( )edjataaffFaaaa That is,f (a t ) 1j|FaaAlso, letting a = - -1,f (- t ) F( - -j ) 1()j|f atFaa信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-61页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example f(t) = F(j ) = ?1j1t Ans:1e( )j1tt12 e()j1t12 e( )j1t Using symmetryUsing scal

51、ing property with a = -1,so thatf(t) = F(j ) =1j1t )(e2信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-62页电子教案尺度变换意义尺度变换意义(1) 0a 1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。 (3) a = - -1 时域反转，频域也反转。时域反转，频域也反转。 ot4 4 tf 2Eo 2 E 4 221 F 4持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降带展宽，各分量的幅度下降a倍。倍。4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与系统信号与系统西安邮

52、电大学第4-64页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五、时移性质五、时移性质(Timeshifting Property)If f (t) F(j ) thenwhere “t0” is a real constant.0j0()e(j )tf ttFj0()edtf ttt00jj( )edet ttf 0je(j )tFProof: F f (t t0 ) 信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-65页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Example 1 F(j ) = ?Ans: f (t) = f1(t) + f2(t) f1(t) = g6(

53、t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j ) =j56Sa(3 )ej52Sa( )ej56Sa(3 )2Sa( )e0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-66页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Example 2：时移尺度：时移尺度 Given that f (t)F( j ), find f (at b) ?Ans: f (t b) e - -j b F( j )f (at b) j1ej|baFaaorf (

54、at) 1j|Faaf (at b) =)(abtafj1j|baeFaa信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-67页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质六、频移性质六、频移性质(Frequency Shifting Property)If f (t) F(j ) thenProof:where “ 0” is a real constant.00jjje( )e( )edtttf tf ttF F0j()0( )edj()tf ttF0j0e( )j()tf tFFor example 1f(t) = ej3t F(j ) = ?Ans: 1 2 ( ) ej3t 1 2

55、 ( - -3)信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-68页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t) = cos ( 0t) F(j ) = ?Ans:00jj11( )ee22ttf tF(j ) = ( - - 0 )+ ( + 0 )For example 3Given that f(t) F(j ) The modulated signal f(t) cos( 0t) ? f(t) = sin ( 0t) F(j ) = ?信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-69页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七、卷积性质七

56、、卷积性质(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t) F1(j )， f2(t) F2(j )Then f1(t)*f2(t) F1(j )F2(j )Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j )， f2(t) F2(j )Then f1(t) f2(t) F1(j )*F2(j )21信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-70页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Proof:d)()()(*)(2121tfftftf F f1(t)*f2(t) 121

57、2( )()ded( )()eddjtjtff ttff ttUsing time shiftingjtjjFttfe)(de)(22 F f1(t)*f2(t) 1221( )()ed()( )edjjfFjFjf = F1(j )F2(j )信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-71页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example?)j (sin2FttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20F(j)2- -20信

58、号与系统信号与系统西安邮电大学第4-72页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质八、时域的微分和积分八、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain)If f (t) F(j ) then ( )( )(j )(j )nnftF(j )( )d(0) ( )jtFf xxF 0(0)(j)( )dFFf ttProof: f (n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j ) f (- -1)(t) = (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-

59、73页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质?For example 1Ans:j2)sgn(t)sgn(2j2t)sgn(j1t)sgn()sgn(j )j (1ddtt|)sgn(12t21( )f tt信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-74页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j )f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)Ans:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j )= F f ”(

60、t) = e j2 2 + e j2 = 2cos(2 ) 2 F (j ) =222)2cos(22)j ()j (FNotice:d (t)/dt = (t) 1 (t) 1/(j )已知已知f (t) F1(j ) f (t) F (j )=?信号与系统信号与系统西安邮电大学第4-75页电子教案4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质九、频域的微分和积分九、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j ) then ( jt )n f (t) F (n) (j ) 1(0) (