物理试题2答案

1、物理竞赛试题 2 参考答案一、解 (1)设入射波的方程为 上式中为波数。此波在处激起的振动方程为由题意知此振动方程为 ，故有得 于是得 设反射波的方程为 由于x=a处为固定端，因此为全反射，即有B=A在此固定端，反射波有半波损失，故有得 于是，得 (2)入射波与反射波叠加形成驻波，有由上式所示的驻波方程，可得波节的位置为 即 由于波数k为 于是波节位置为 而波腹的位置为 即 (3)在驻波上任取一小段dx，此小段驻波的动能为由驻波性质可知，相邻两波节间的总机械能守恒，且两波节间各点的相位相同，即同时通过平衡位置，此时，各质元的动能均达最大，而势能为零，其中dx段的动能为因此，相邻两波节间的总能量

2、为 二、解 将薄透镜看成两个单球面的组合。设位于主光轴上的物点S在透镜左方距透镜u处，经左球面折射后成像于S。由单球面物象公式有 其中v为S与透镜的距离。这里设S在透镜右方（如答图2-2）。S在成像前又被右球面折射，对右球面而言，S为虚物，代入单球面物象公式，有 式中v为S与透镜的距离。相加，得 此即透镜物象公式，u为物距，v为像距。物方焦距f1和像方焦距f2分别为用焦距表示，物象公式可写为 三、解 为解题方便，先来考察一电中性导体球在均匀外电场中的行为。导体球可看成两个带等量异号体电荷球体的叠加。设球的半径为R，体电荷密度为±。当有外电场E0存在时，两带电球将沿电场方向发生微小位移

3、，以在球内形成反向电场抵消外场，最终使球内合电场为零。设两球体的位移为l，现考虑球内任一点P的电场（如答图2-3）。设P与正电荷球中心O+距离为r+，与负电荷球中心O-距离为r-，由高斯定律，正电荷球在P点产生的电场同理，负电荷球在P点产生的电场 这里r+和r-分别为从O+和O-指向P点的矢量，于是合电场式中l为从O-指向O+的矢量。可见球内为一均匀场。只要令E=-E0,就可得到实际位移值l得 由于导体的很大，l为一小量，所以两带电球位移的结果，球内绝大部分交叠区域仍是电中性的，只在两边很薄的非交叠区出现薄层电荷，可视为面电荷，面电荷密度为角的函数（这实际上就是导体上的感应电荷）以l表式代入，

4、得 当时，；时，；时，。现在回到本题。设想一半径为R的导体球置于竖直向上的均匀电场E0中，则由上面讨论知，导体表面将出现感应电荷，其电荷面密度由表示，式中角现应理解为与竖直方向的夹角。这时过球心的水平面必为与导体球等势的等式面，若在此平面上放置导体平板，不影响导体球上部的电场分布。因而在本题的情况下，半球上的电荷分布仍有决定，而在导体平板上将出现感应电荷，它们在导体平板上方的效应犹如原下半球上的电荷产生的效应（下半球的电荷可看成上半球电荷的镜像电荷），而在导体平板下方则电场处处为零。这样，半球所受的电力即为半球表面电荷所受电力的合力。此合力必向上，其大小F可由各面元电荷所受法向力沿竖直方向的分

5、力的积分求得。我们知道，带电导体表面单位面积所受的力等于，故有以代入， 令，得 这就是能将半球从平板上拉起来的最小电场值。 四、解 令n表示接触点处沿表面法线方向的单位矢量，t表示沿切线方向的单位矢量，如答图2-4所示。令表示n与x轴间的夹角，则有 碰撞前A和B沿n和t方向的动量分量为碰撞后，若A和B的动量分别用mVAn 、mVBn 、mVAt 和mVBt表示，并令A和B分别表示碰撞后A和B绕通过各自中心的轴的角速度，IA和IB表示相应的转动惯量，则 ， 由动量守恒可得 由绕通过O的轴的角动量守恒可得 在碰撞期间，作用在B上的摩擦力的冲量引起沿t方向的动量变化mVBt。并同时产生角动量IBB。

6、它们之间的关系为 题中假定碰撞后接触点处A和B具有相同的切向速度，由此可知 题中又假定，碰撞前和碰撞后两盘沿法线方向的相对速度的大小是相等的，即 从和可得 ， 从和可得 ， ，碰撞后沿x，y方向的速度分量分别是(2)碰撞后，圆盘A的动能是圆盘B的动能是 五、解 如答图2-5-1，设沿回路1234561电流为I，这回路可以用同一电流I的两个回路12361和63456来代替。穿过回路1234561的磁通量是由回路12361和63456产生的两个同样大小磁通量组成。研究其中一个回路12361，根据法拉第电磁感应定律可知感应电动势和自感电动势，。穿过回路12361的磁通量等于L1I，方向指向外。同时这

7、电流磁场的磁感线穿过回路63456.这磁通量等于L21I，方向指向里，这里L21为互感系数。所以穿过与这两个回路等效回路1234561的总磁通量等于 根据回路1234561自感系数定义，有得未知的互感系数 现在研究回路1234561，回路的电流为I（如答图2-5-2）。代替这回路的三个等效回路：12761、23472和67456。穿过它们之中任一回路的磁通量穿过三个回路的总磁通量 磁通量3穿过立方体的三个面：12761、23472和67456。就这磁通量又将穿过另外三个面，由于穿过任何封闭面的磁通量为零，所以磁通量3将穿过回路1234561.根据定义及，得出 六、解 首先要确定在什么位置线轴将

8、具有最大速度。任意时刻线轴受到三个力作用：线的张力T（大小等于F）、重力mg和全反力N（如答图2-6-1所示）。分析各个力相对支点的力矩：力mg和N的力矩为零，而T的力矩使线轴按顺时针加速转动。因而，它向右水平运动速度增加。可见当线的延长线通过支点D（如答图2-6-2）时，这个速度为最大，当继续运动时，T力矩起制动作用，不久线轴将停下而向后运动。然后应用功能原理计算线轴的最大速度。线轴的动能等于外力做功，这里唯一的能量来源是实验者，他以力F拉线端。这个力做功式中l为线轴从开始位置运动到速度最大位置时通过小孔所拉这段线的长度。接下来通过比较初末位置线的“自由”长度来求l（如图2-6-2）。设点O

9、是初始位置线的一端，点G是在末时刻线与线轴的切点。为了求在初始时刻这点的位置，想象线轴反向滚动。这时部分线缠在线轴上，点G移到点G1（将线轴从末位置平行地移到初始位置，则从G得到间隔点G2）。这样，所分析的一段线在末位置长度等于（BO+OG），在初位置长度等于。使这两式相等，得到计算上式中包含的量。从答图2-6-2直接得出， 计算缠在线轴上线的长度。将这段长分为两部分：当线轴从末位置滚回到初位置时，它转过的角度等于所以从G1到G2这段线长是 考虑到 所以 最后得到 又 整理得 现在再计算运动线轴的动能。线轴以速度v作无滑动的滚动，同时也以v的线速度转动，所以线轴的动能 最后根据动能定理 得到答

10、案 七、解 选择这样的参照系，它与第一个活塞一起以恒定速度v运动。于是在这个参照系中问题情境变为：管子一端封闭，而另一面是质量为M的活塞，最初使它具有向内的速度v（如答图2-7）。据题意，气体温度恒定（这可以由在气体和重管壁之间良好热交换来确保），而体积变化小（总共1%），这可简化计算。对该份气体列出初始状态方程 当活塞移动小量x后，有 忽略二阶小量，得到 ， 于是得到简谐振动方程回复力与偏移成正比，其振动角频率对于简谐振动最大位移xm与最大速度vm，有由此得出 八、解 (1)长为dz的螺线管在O点产生的磁场可由圆形线圈的磁场叠加而得。根据毕奥-萨法尔定律（如答图2-8），有但 ，上式化为（式

11、中）(2)在O点附近作高为dz，半径为（<<R）的圆柱面，如答图2-8。按题意，现，O点磁场 ，在轴上离O点dz的O点处，由上面结果以此圆柱面为高斯面，由磁场高斯定律 可得即 九、解 首先证实：在棱镜顶角很小的情况下，平行光束通过棱镜后，同样以平行光束射出，与水平线的倾角为。为此观察通过小顶角棱镜的任一条光线，如答图2-9-1，可见由此 研究两相干平行光束成角2交叉而产生的干涉图样（答图2-9-2）。在y=0平面内从x轴上任取一点C。在这点发生振幅A0、相位差为某一角度的两列光波的叠加.如果两列光波的相位从O点算起，那么第一列光波的相位式中是光的波长。第二列光波的相位 在C点两列光波的相位差为 这干涉图样中相邻最大强度的距离（干涉条纹的宽度）粒子以速度v沿x轴运动，周期性地穿过光的最强和最弱区域，同时也同样周期性进行光的散射。散射光振动强度的周期T等于粒子移动条纹宽度距离所需要的时间由此即得到粒子的速度 十、解 (1)如答图2-10