理论力学-平面基本力系

1、平面基本力系22 平面共点力系合成的解析法平面共点力系合成的解析法 与平衡的解析条件与平衡的解析条件21 平面共点力系合成的几何法平面共点力系合成的几何法 与平衡的几何条件与平衡的几何条件23 两个平行力的合成两个平行力的合成24 平面力偶系的合成与平衡条件平面力偶系的合成与平衡条件第第二二章章 平平面面基基本本力力系系目录 平面力系的基本类型平面力系的基本类型21合成的几何法与平衡的几何条件21 平面共点力系合成的几何法平面共点力系合成的几何法与平衡的几何条件与平衡的几何条件平面共点力系平面共点力系合成的几何法合成的几何法平面共点力系平面共点力系平衡的几何条件平衡的几何条件汇交力系 各力的作

2、用线均汇交于一点的力系。各力的作用线均汇交于一点的力系。共点力系 各力均作用于同一点的力系各力均作用于同一点的力系。力 偶 作用线平行、指向相反而大小相等的两个力。作用线平行、指向相反而大小相等的两个力。平面力系 各力的作用线都在同一平面内的力系。否则各力的作用线都在同一平面内的力系。否则 为空间力系。为空间力系。1平面力系的基本类型1. 平面力系的基本类型平面力系的类型共点力系共点力系力力 偶偶 系系任意力系任意力系AF2F1F4F3F2F1FRF3F4BCDE表达式表达式：FR = F1+ F2+ F3+ F4A2. 合成的几何法 把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为把各力矢首尾相接

3、，形成一条有向折线段（称为力链力链）。）。FRF2F1F3F4BCDEA 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形力多边形。力的多边形规则力的多边形规则AF2F1F4F3 平面共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共平面共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。封闭边表示。矢量的表达式：F2FRF1F3F4BCDEA平面共点力系的合成结果平面共点力系的合成结果 AF2F1F4F3FR该该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢

4、量和于零。力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和于零。F5F2F1F3F4BCDEAAF2F1F4F3F5共点力系平衡的充分必要几何条件为：共点力系平衡的充分必要几何条件为：3. 共点力系平衡的几何条件F5F2F1F3F4BCDEAF5F2F1F3F4BCDEA比较下面两力多边形比较下面两力多边形A60FB30aaC例题2-1 例例 21 21 水平梁水平梁AB中点中点C作用着力作用着力F，其大小等于其大小等于2 kN，方向与梁的轴线成方向与梁的轴线成60角角，支承情况如图所示，试求固定铰链支承情况如图所示，试求固定铰链支座支座A和活动铰链支座和活动铰链支座B的约束力，梁的自重不计。的约

5、束力，梁的自重不计。 A60FB30aaC1. 取梁取梁AB作为研究对象。作为研究对象。FA=Fcos 30=17.3 kNFB=Fsin 30=10 kN2. 画出受力图。画出受力图。3. 应用平衡条件画出应用平衡条件画出F，FA 和和FB的闭合力三角形的闭合力三角形。解：解：FADBACFB3060FEFFBFA6030HK4. 解得解得例题2-2 例例22 如图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动如图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力蹬上的力F=212 N，方向与水平面成方向与水平面成=45。当平衡时，当平衡时，BC水平水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知铅直，试求拉

6、杆所受的力。已知EA=24 cm，DE=6 cm点点E在铅直线在铅直线DA上上，又又B，C，D都是光滑铰链，机构的都是光滑铰链，机构的自重不计自重不计。F246ACBOEDFDABFBOFDJFDKFBFI1. 取制动蹬取制动蹬ABD作为研究对象。作为研究对象。2. 画出受力图。画出受力图。3. 应用平衡条件画出应用平衡条件画出F，FB 和和FD的闭合力三角形。的闭合力三角形。解解：F246ACBOEDFDABFBOFDJFDKFBFI4. 由几何关系得由几何关系得F246ACBOEDcm 24 EAOE41246tan OEDE 21441arctanFFB sin180sin 5. 代入数

7、据求得代入数据求得由力三角形可得由力三角形可得FB=750 N方向自左向右。方向自左向右。22 平面共点力系合成的解析法平面共点力系合成的解析法与平衡的解析条件与平衡的解析条件平面共点力系平面共点力系合成的解析法合成的解析法平面共点力系平面共点力系平衡的平衡的解析解析条件条件合力投影定理合力投影定理 反之，当投影反之，当投影Fx，Fy 已知时，则可求出力已知时，则可求出力 F 的大小和方向：的大小和方向：力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影cosFFxcosFFy22yxFFFFFFFyx cos , cosOxyFxbaFyFBAab1. 合力投影定理AF2F1(a)F3F1F2FF3xAB

8、CD(b)证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力共点力F1，F2，F3如图如图a。合力投影定理合力投影定理合力合力 F 在在 x 轴上投影得轴上投影得 Fx= ad由图知由图知 ad = ab + bc + (-dc) Fx= F1x+ F2x+ F3xF x= F1x+ F2x+ + Fnx = FxF1F2FF3xABCD(b)F1x= ab , 推广到任意多个推广到任意多个力力F1，F2， Fn组成的平面组成的平面共点力系，可得共点力系，可得abcd各力在各力在 x 轴上投影轴上投影F2x= bc , F3x= -dcixnxxxxFFFF

9、F21iynyyyyFFFFF21合力的大小合力的大小222iyix2yxFFFFF合力合力F的方向余弦的方向余弦FFFFFFFFiyyixx cos , cos根据合力投影定理得根据合力投影定理得yxBFyFxFOFxFyA2.平面共点力系合成的解析法平面共点力系平衡的充要解析条件是平面共点力系平衡的充要解析条件是 平面共点力系的平衡方程平面共点力系的平衡方程3. 平面共点力系平衡的解析条件 0 xF 0yF例题2-3 例例23 如图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动如图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力蹬上的力F=212 N，方向与水平面成方向与水平面成=45。当平衡时

10、当平衡时，BC水水平平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24 cm，DE=6 cm点点E在铅直线在铅直线DA上上，又又B，C，D都是光滑铰链，机构的都是光滑铰链，机构的自重自重不计不计。F246ACBOEDyxFDABFBOFD1. 取制动蹬取制动蹬ABD作为研究对象。作为研究对象。2. 画出受力图。画出受力图。3.列平衡方程。列平衡方程。解解：F246ACBOED, 0 xF 0 cos45 cosDBFFF, 0yF 045 sin sin FFD联立求解，得联立求解，得N750BF 969. 0 cos , 243. 0 sin 214已知已知例题2-4

11、 例例24 利用铰车绕过定滑轮利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重的绳子吊起一重W=20 kN的货的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB和斜刚杆和斜刚杆BC支持于点支持于点B (图图a )。不计铰车的自重，试求杆不计铰车的自重，试求杆AB和和BC所受的力所受的力。30BWAC30aFBCFDFABWxy3030bB解解：1. 取滑轮取滑轮B(带轴销带轴销）作为研究对象作为研究对象。2. 画出受力图画出受力图（b)。D3.列平衡方程。列平衡方程。联立求解联立求解, ,得得 0 xF030sin30 cosCDABBFFF030 cos60 cosDBCFWF 0yF反力反

12、力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆即杆AB实际上受拉力实际上受拉力。FAB= 54.5kN , FBC= 74.5kNFBCFDFABWxy3030bB例题2-5 例例25 如图已知如图已知W1=100 kN， W2=250 kN。不计各不计各杆自重杆自重，A，B，C，D各点均为光滑铰链各点均为光滑铰链。试求平衡状试求平衡状态下杆态下杆AB内力及与水平的夹角。内力及与水平的夹角。45W2A30W1DCB解解：1. 取销钉取销钉C作为研究对象作为研究对象。45W2A30W1DCBFBCFDW2xy4530C 0 xF045cos3

13、0 cosBCDFF054 sin60 cos2BCDFWF 0yF2. 取销钉取销钉B作为研究对象作为研究对象。45W2A30W1DCBFBCFAW1xy 45B 0 xF0 cos45cosABCFF054 sin sin1BCAFWF 0yF由式（由式（1 1）、（）、（2 2）解得）解得tan = 1.631 , = 58.5045cos30 cosBCDFF054 sin60 cos2BCDFWF0 cos45cosABCFF054sin sin 1BCAFWFFBCFDW2xy4530CFBCFAW1xy 45B（1）（2）（3）（4）FBC= 224.23 kN代入（代入（3 3

14、）、（）、（4 4）解得）解得FA= 303.29 kN投影法的符号法则：投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。际指向相反。符号法则解析法求解平面共点力系平衡问题的一般步骤:1. . 选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设的已知选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设的已知条件条件。2. . 在力系平面内选坐标系。在力系平面内选坐标系。3. . 将各力向二坐标轴投影，并应用平衡方程将各力向二坐标轴投影，并应用平衡方程 Fx=0，Fy=0 求解求解。 应用解析法求解平面

15、汇交力系平衡问题，取不同的直应用解析法求解平面汇交力系平衡问题，取不同的直 角坐标系时，所求合力是否相同？角坐标系时，所求合力是否相同？ 应用解析法求解平面汇交力系平衡问题时，所取的投应用解析法求解平面汇交力系平衡问题时，所取的投 影轴是否一定要互相垂直？影轴是否一定要互相垂直？力沿两轴分力的大小和在该两轴上的投影大小相等吗？力沿两轴分力的大小和在该两轴上的投影大小相等吗？OyxFFyFxFyFx 滑轮的两种分析方法：滑轮的两种分析方法：-带销钉带销钉-不带销钉不带销钉FFbFF 复习复习-受力分析和受力图（受力分析和受力图（3个基本步骤）个基本步骤）-平面力系的基本类型平面力系的基本类型 共

16、点力系共点力系 力偶系力偶系 任意力系任意力系-平面共点力系问题求解的基本步骤平面共点力系问题求解的基本步骤-平面共点力系合成的几何法平面共点力系合成的几何法-平面共点力系合成的解析法平面共点力系合成的解析法23 23 两个平行力的合两个平行力的合成成同向平行力的合成两同向平行力的合成两同向平行力的合成 两大小不等反向平行力的合成两大小不等反向平行力的合成两同向平行力的合成F2ABF1EDF1F21. 两同向平行力的合成两同向平行力的合成 沿直线沿直线AB在点在点A和和点点B上各加一个力上各加一个力F1 1和和F2 2。令令F1 1 = =F2 2 ，这这一平衡力系的加入不影一平衡力系的加入不

17、影响响F1 1，F2 2对刚体的作用效对刚体的作用效果。果。 (1) 大小大小即合力的大小等于原有两力之和。即合力的大小等于原有两力之和。F2ABEDF1F1F2CKFFBFABAFAFB求出力求出力F1与与F1 1的合力的合力FA，力力F2与与F2的合力的合力FB。, 11FFFA22FFFBBAFFF2211FFFF)(2121FFFF21FF (2) 作用线的位置作用线的位置由三角形的相似由三角形的相似，ACKADA和和BCKBEB，可得可得F2ABEDF1F1F2CKFFBFABAFAFBBEEBADADCKCBCKACCBAC ( (内分反比关系内分反比关系) )因为因为 F2ABE

18、DF1F1F2CKFFBFABAFAFBBEEBADADCKCBCKACCBACEBADFBEFAD , , 21所以所以 12FFCBACFABFFABFCBFAC2112, 212ABFFFACABFFFCB211两同向平行力的合成定理两同向平行力的合成定理： 两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力大小之和，作用线与原两力平行，并内分原两力的作原两力大小之和，作用线与原两力平行，并内分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力的指向与原两力相同。的指向与原

19、两力相同。 设作用刚体上的两平行力设作用刚体上的两平行力F1、F2，指向相反，大小不等。假指向相反，大小不等。假设设F1F2。F1F2AB两大小不等反向平行力的合成FF1C2. 两大小不等反向平行力的合成 先将较大的一个力先将较大的一个力F1分解成两个同向平行力分解成两个同向平行力F，F1，其其分力分力F1的大小等于的大小等于F2的大小，且作用点在点的大小，且作用点在点B。舍去平衡力系舍去平衡力系F2、 F1，则知则知F 就是力就是力F1、F2的合力。的合力。FF1F1F2CAB(1) 大小大小211FFFFF21FFF故得故得（外分反比关系外分反比关系） 则则FF1F1F2CABF1是是F与

20、F1的合力，由前面情况的合力，由前面情况1 1可知可知(2) 作用线位置作用线位置又因为又因为21FF 11FBCFABFCA12FFCBCA 大小不同的两个反向平行力的合成大小不同的两个反向平行力的合成结果是一个力，这合力的大小等于原两结果是一个力，这合力的大小等于原两力大小之差，作用线与原两力平行，且力大小之差，作用线与原两力平行，且在原两力中较大一个的外侧，并且外分在原两力中较大一个的外侧，并且外分原两力的作用点为两段，使这两段的长原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比。合力的指向度与原两力的大小成反比。合力的指向与较大的外力相同。与较大的外力相同。平行力系中心 上述两

21、种情况下，合力作用线通过上述两种情况下，合力作用线通过AB连线上的连线上的C点，称为点，称为平行力系中心。平行力系中心。FF1F1F2CAB两反向平行力的合成定理：24 平面力偶系的合成平面力偶系的合成与平衡条件与平衡条件平面内力偶的等效定理平面内力偶的等效定理平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件平面力偶系的合成平面力偶系的合成力偶和力偶矩力偶和力偶矩F1F2d力偶 大小相等的二反向平行力。大小相等的二反向平行力。 作用效果：引起物体的转动。作用效果：引起物体的转动。 力和力偶是静力学的二基本要素。力和力偶是静力学的二基本要素。 力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），

22、因力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。而也只能与力偶平衡。力偶特性一： 力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。1.力偶和力偶矩工工 程程 实实 例例工工 程程 实实 例例工工 程程 实实 例例力偶矩 力偶中任何一个力的大小与力力偶中任何一个力的大小与力偶臂偶臂d 的乘积，加上适当的正的乘积，加上适当的正负号。负号。力偶臂 力偶中两个力的作用线之间的力偶中两个力的作用线之间的距离。距离。 力偶矩正负规定：若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号

23、。反之，取负号。F1F2d 必要性证明 即二力偶等效即二力偶等效 力偶矩相等。力偶矩相等。 平面力偶间的等效定理2. .平面内力偶的等效定理 作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。件是二者的力偶矩代数值相等。 设在刚体的同一平面上作用着二设在刚体的同一平面上作用着二力偶力偶（F1、F1）、（F2、F2）。假假设两力设两力偶偶等效。等效。Bd2DF1F2F2F1d1ACBd2DF1F2F2F1d1AC=Bd2DF1F2F2F1d1AC=FFCBDF1F2F2F1ACA为了便于比较，将力为了便于比较，将力F2，F

24、2分别沿着其作用线移到点分别沿着其作用线移到点B和和D。将将F1分解成两个力，使其中一个分力等于分解成两个力，使其中一个分力等于F2 ，而另一个力而另一个力则是则是F。同样分解同样分解F1。由于这两的力偶是等效的，力由于这两的力偶是等效的，力F和和F必须构成平衡力系，即必须构成平衡力系，即这两个力等值、反向，并沿同一直线这两个力等值、反向，并沿同一直线BD。因为因为 ABD BA C ，又因为平行四边形又因为平行四边形ABCD面积面积 = d1 AB = d2 DA 即二等效力偶的力偶矩相等。即二等效力偶的力偶矩相等。M ( F1 , F1 ) = d1 F1 = ( d1 AB ) F1 /

25、 ABM ( F2 , F2 ) = d2 F2 = ( d2 DA ) F2 / DAFFCBDF1F2F2F1ACADAFABF21所以所以则则 M ( F1 , F1 ) = M ( F2 , F2 )，计算这两个等效力偶的力偶矩计算这两个等效力偶的力偶矩。FdF d因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。=力偶特性三： 力偶可以在其作用面内任意搬移。即力偶在作用面内的位力偶可以在其作用面内任意搬移。即力偶在作用面内的位置不是力偶效应的特征。置不是力偶效应的特征。力偶特性四： 唯一决定平面内力偶效应的特征量是力偶矩的代数值。即唯一决定平面内力偶效应

26、的特征量是力偶矩的代数值。即保持力偶矩不变，可以改变其力或力臂的大小。保持力偶矩不变，可以改变其力或力臂的大小。由上述证明可以看出：由上述证明可以看出：M = F d=F d 假定两力偶的力偶矩相等，我们总可以适当地改变两力假定两力偶的力偶矩相等，我们总可以适当地改变两力偶中任一力偶的力偶臂和力的大小（保持原力偶矩不变），偶中任一力偶的力偶臂和力的大小（保持原力偶矩不变），使二力偶的力偶臂及力的大小相等，又二力偶转向相同，所使二力偶的力偶臂及力的大小相等，又二力偶转向相同，所以两力偶等效。以两力偶等效。(2) 充分条件证明即二力偶即二力偶矩相等矩相等 二力偶二力偶等效。等效。三力偶的矩分别为三

27、力偶的矩分别为 设刚体上作用着三设刚体上作用着三力偶力偶（F1、F1）、（F2、F2）、（F3、F3），力偶臂分别为力偶臂分别为 d1， d2， d3 ，转向如图，现求转向如图，现求其合成结果。其合成结果。3F3F2F2F1F1Fd1d2d3M1=F1d1 , M2=F2d2 , M3=F3d33.平面力偶系的合成经等效变换后，各力偶中力的大小分别为经等效变换后，各力偶中力的大小分别为dAB3F3F2F2F1F1Fd1d2d3M1=F1d1 , M2=F2d2 , M3=F3d3,11ddMF ,22ddMFdMF33dd1Fd1Fd2Fd2Fd3Fd3F假定假定Fd1+ Fd2 Fd3，其合

28、力其合力合力偶的力偶合力偶的力偶矩矩为为推广到由任意多个力偶组成的平面力偶系推广到由任意多个力偶组成的平面力偶系, ,合力偶矩为合力偶矩为,3d2d1dFFFF3d2d1dFFFFdABd1Fd1Fd2Fd3Fd2Fd3FFFM=Fd= (Fd1+ Fd2 Fd3)d= Fd1 d + Fd2 d +(Fd3)d= M1 + M2 +M3 M = M1 + M3 + +MniMFF4.平面力偶系平衡条件平面力偶系平衡条件在上面讨论中在上面讨论中，若若Fd1+ Fd2=Fd3 ，则其合力则其合力 F=0，从而有从而有推广到由任意个力偶组成的平面力偶系推广到由任意个力偶组成的平面力偶系, ,有有

29、结论：作用在刚体上的平面力偶系的平衡条件是力偶系中结论：作用在刚体上的平面力偶系的平衡条件是力偶系中各力偶的矩之代数和等于零。各力偶的矩之代数和等于零。 结论：平面力偶系合成的结果是一个力偶，它的矩等于原结论：平面力偶系合成的结果是一个力偶，它的矩等于原来各力偶的矩的代数和。来各力偶的矩的代数和。M1 + M2 +M3 = 0M = M1 + M3 + +Mn0iM4.平面力偶系平衡条件例题2-6 例例2-62-6 一简支梁一简支梁AB=d，作用一力偶作用一力偶 M ，求二支座约束力。求二支座约束力。 解：解： 梁上作用力偶梁上作用力偶 M 外，还有约束力外，还有约束力FA，FB。dMBAFA

30、因为力偶只能与力偶平衡，所以因为力偶只能与力偶平衡，所以 FA = FB。M FAd = 0 FB0iM由由即即FA = FB = M/d例题2-7解：杆杆AB为二力杆。为二力杆。 例例2-72-7 如图所示的铰接四连杆机构如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆在杆OA和和BD上上分别作用着矩为分别作用着矩为 M1 和和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知平衡。已知OA= r，DB= 2r，= 30，不计杆重，试求不计杆重，试求 M1 和和 M2 间的关系。间的关系。DM2BFDFBAFOFABOM1AOBDM1M2A由于力偶只能与力偶平衡由于力偶只能与力偶平衡，则则AO杆与杆与BD杆的受力如图所示。杆的受力如图所示。M1 r FAB cos= 0 M2 = 2 M1 DM2BFDFBAOM1FOFABA分别写出杆分别写出杆AO和和BD的平衡方程：的平衡方程： M2 + 2r F