高一数学必修一知识点与习题讲解

1、必修 1 第章集合与函数根底知识点整理第1讲§集合的含义与表示O学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于关系；能选择自然语言、图形语 言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征O知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合(set),其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ 括起来，根本形式为ai,a2,a3, ,an，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，

2、根本形式为x A|P(x)，既要关注代表元素x，也要把握其属性 P(x)，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母 A,B,C,表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集N*或N，整数集乙有理数集 Q实数集 R4. 元素与集合之间的关系是属于(belongto )与不属于(notbelongto )，分别用符号 、 表示，例如3 N，2 N .O例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示以下集合：(1) 由方程x(x2 2x 3)0的所有实数根组成的集合；(2) 大于2且小于7的整数.解：(1)用描述法表示为：x R | x(x2 2x 3) 0；用列举法表示为0, 1,3.(

3、2)用描述法表示为：x Z |2 x 7；用列举法表示为3,4,5,6.【例2】用适当的符号填空：A x|x 3k 2,k Z，B x|x 6m 1, m Z，那么有：17A; 5A； 17B.解：由3k 2 17，解得k 5 Z，所以17 A ；由3k 25，解得k - Z，所以5 A ；3由6m 1 17，解得m 3 Z ,所以17 B.【例3】试选择适当的方法表示以下集合：(教材P6练习题2，P13A组题4)(1) 一次函数y x 3与y 2x 6的图象的交点组成的集合；(2) 二次函数y x24的函数值组成的集合；2(3) 反比例函数y 2的自变量的值组成的集合.xy x 3解：(1)

4、 (x,y)| yc丿(1,4).y2x 6(2) y| y x24 y | y 4.2(3) x| y x| x 0.x点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为1,4，也注意比照(2)与(3)中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心*【例4】集合A a|r-a 1有唯一实数解，试用列举法表示集合 A.x 2解：化方程 匕厂1为：x2 x (a 2) 0 应分以下三种情况：x 2方程有等根且不是. 2 :由 =0，得a ，此时的解为x丄，合.42方程有一解为2，而另一解不是.2 :将x 2代入得a 2，此时另一解x 12，合.

5、方程有一解为2，而另一解不是.2 :将x 2代入得a 2，此时另一解为 x 2 1，合.综上可知，A 9,2, 2.4点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示注意分式方程易造成增根的现象第2讲§集合间的根本关系o学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空 集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.o知识要点：1. 一般地，对于两个集合 A、B,如果集合 A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么说两个集合有包含关系，其中集合 A是集合B的子集subset，记作A B 或 B A，读作“ A含于B或“ B包含A.2. 如

6、果集合A是集合B的子集A B，且集合B是集合A的子集B A，即集合 A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作 A B.3. 如果集合 A B，但存在元素x B，且x A，那么称集合 A是集合B的真子集propersubset ，记作 A B 或 B A.，记作，并规定空集是任何集合的子集C ；，A.4. 不含任何元素的集合叫作空集emptyset：5. 性质：A A ;假设 A B， B C，那么 A 假设 AI B A，贝U A B ；假设 AU B A，那么 B O例题精讲：【例1】用适当的符号填空：1菱形平行四边形 ； 等腰三角形等边三角形.；N0.2x R|x 2 0 ；

7、 00 ；0解：1，二；2=，J 壬，亠.【例2】设集合A x|xZ, B个A.,易知A BB. C. 1 D. 1 -1, - 2BA,0, ,1,2 2 故答案选352A.另解：由Bx|x【例3】假设集合M解：由x2i 假设 ax 600时，得(ii )假设 a故所求实数，Bn2,n2n22x| x x1 一,n Z，那么以下图形能表示A与B关系的是.2A_B1 1 312,2,2, ，x |x n解:简单列举 集合的一些元素，1,nZ，易知0 ,N3，因此,NB A故答案选A.x | ax 1 0，且 NM，求实数a的值.2或，此时，1 .假设N M ,满足aa的值为0或-或230时，得

8、Na2bax当a=0时，隹合 集合B中的元素均为0,故舍去;当x=1时,隹合 集合B中的兀素均相冋，故舍去卄 ab2 ax2假设2ax - ax- a=0.a2bax点评：在考察“ A B这一关系时，不要忘记“ 题中讨论的主线是依据待定的元素进行【例 4】集合 A= a, a+b, a+2b， B=a, ax, ax2.a b ax解：假设2a+ax2-2ax=0,所以 a(x-1) 2=0，即卩 a=0或 x=1.2, 3 .2或丄3，a，因为A1解得a 或a2假设A=B,求实数时存在A B.从而需要分情况讨论.x的值. 2因为 0,所以 2x-x-1=0,即(x-1)(2x+1)=0.又x

9、k 1，所以只有x12 .点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲§集合的根本运算(一)o学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.经检验，此时 A=B成立.综上所述xO知识要点:并集交集补集概念由所有属于集合 A或属于集 合B的元素所组成的集合， 称为集合A与B的并集(union set )由属于集合 A且属于集合 B 的元素所组成的集合，称为 集合A与B的交集(in ter

10、sect ion set)对于集合A,由全集U中不属于 集合A的所有元素组成的集合，称为集合 A相对于全集U 的补集(complementaryset )记号AU B (读作“ A并BAI B (读作“ A交B)euA (读作“ A的补集)符号图形 表示集合的根本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达 到掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种根本运算如下o例题精讲：【例 1】设集合 U R,A x| 1 x 5, B x|3 x 9,求AI B,eu(AUB) 解：在数轴上表示岀集合A、B,如右图所示：AI B x|3 x 5,Cu(AUB) x|x 1

11、,或x 9,【例 2】设 A x Z | |x| 6 , B 1,2,3 , C(1) AI (BI C) ;( 2) AI eA(BUC).解：Q A 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6.(1) 又 Q B I C(2) 又 Q B UC 得 CA(BUC) AI CA(B UC)【例3】集合A解：由AI B A，可得A在数轴上表示集合 A与集合B,如右图所示：由图形可知，m 4.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题【例 4】全集 U x|x 10,且x N* , A 2,4,5,8,(CuA)I

12、(CuB) , (CuA) U(CuB)，并比拟它们的关系.解：由 AU B 1,2,3,4,5,8，那么 Cu(AUB) 6,7,9.由 AI B 5,8，贝U CU(AI B) 1,2,3,4,6,7,9 由 CuA 1,3,6,7,9 , Cu B 2,4,6,7,9, 那么(CuA) I (CuB) 6,7,9, (CuA)U(CuB) 1,2,3,4,6,7,9.由计算结果可以知道，(CjAjUQuB) Cu (A I B),(CuA) I (CuB) Cu(AUB).6,3 ，二 AI (BI C) 3 ;1,2,3,4,5,6，5, 4, 3, 2, 1,0 .6, 5, 4,

13、3, 2, 1,0 .x| 2 x 4 , B x|xB .3,4,5,6m，且AX-1，求：o9AI B A，求实数m的取值范围.-24 mx1,3,5,8，求 Cu(AUB) , Cu(AI B),另解：作岀 Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察岀来结果点评：可用Venn图研究(Cu A) U (Cu B) Cu(AI B)与(Cu A)l (Cu B) Cu(AU B)，在理解的根底记住此 结论，有助于今后迅速解决一些集合问题第4讲§集合的根本运算(二)o学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法 .o知识

14、要点：1. 含两个集合的 Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过 Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形，我们还可以发现一些集合性质：Cu(AI B) (CuA)U(CuB), Cu(AUB) (Cu A)l (Cu B).2. 集合元素个数公式：n(AUB) n(A) n(B) n(AI B).3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.o例题精讲：【例1】设集合A 4,2a 1,a2 ,B 9,a 5,1 a，假设Al B 9，求实数a的值.解：由于 A 4,2a 1,a2

15、 ,B 9,a 5,1 a，且 Al B 9，那么有：当2a 1=9时，解得a=5，此时 A= -4, 9, 25，B=9, 0, 4，不合题意，故舍去；当a2=9时，解得a=3或一3 .a=3时,A= 4,5,9 , B=9, 2 2，不合题意，故舍去;a=3, A=-4, 7, 9, B=9,8, 4，合题意.所以,a= 3.【例2】设集合A x|(x 3)(xa) 0, a R , Bx|(x 4)(x 1)0，求 AU B , AI B .(教材 RB组题2)解：B 1,4.当a3时，A3，那么 AU B1,3,4 , AI B当a1时，A1,3，那么 AU B1,3,4 , AI B

16、1；当a4时，A3,4,贝U AU B1,3,4 , AI B4；当 a 3且 a 1 且 a 4时，A 3, a，贝U AU B 1,3,4, a，AI B .点评：集合A含有参数a，需要对参数 a进行分情况讨论.罗列参数a的各种情况时，需依据集合的性质 和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原那么【例 3】设集合 A= x| x2 4x 0，B=x|x2 2(a 1)x a2 1 0，a R，假设 A|B=B,求实数 a 的 值.解：先化简集合 A= 4,0.由AI B=B,那么B A,可知集合 B可为 ，或为0，或 4，或 4,0.(i)假设 B=，贝U 4(a 1)2 4(a

17、2 1) 0,解得 a v 1 ；(ii )假设 0 B,代入得 a2 1 =0 a =1 或 a = 1,当a=1时，B=A,符合题意；当a= 1时，B=0A,也符合题意.(iii )假设一4 B,代入得 a2 8a 7 0 a =7 或 a =1,当a=1时，已经讨论，符合题意；当a=7时，B= 12, 4，不符合题意.综上可得，a =1或a < 1 .点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法解该题 时，特别容易岀现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，

18、从而造成错误这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合 A与B,假设定义 A B x|x A,且x B，当集合 A x | x 8,x N*，集合 B x|x(x 2)( x 5)(x 6) 0时，有A B=.(由教材 甩补集定义“集合 A相对于全集U的补集为 Cu A x |x U,且x A"而拓展)解：根据题意可知，A 123,4,5,6,7,8 , B 0,2,5,6由定义A B x|x A,且x B，贝UA B134,7,8.点评：运用新定义解题是学习能力的开展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这 里新定义的含义是从 A中排除B的元素.如果

19、再给定全集 U,那么A B也相当于AI (CuB).第5讲§函数的概念o学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此根底上 学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求 一些简单函数的定义域和值域o知识要点：1. 设A B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f : A- B为从集合 A到集合B的一个函数(function )，记作y = f (x)， x A 其中，x叫自变量，x的取值范围 A叫作定义域(doma

20、in),与x的值对应的y值叫函数值, 函数值的集合f (x) | x A叫值域(range).2. 设a、b是两个实数，且 avb，那么：x| a< x< b = a, b叫闭区间；x| a<x<b = ( a, b)叫开区间； x| a< x<b = a,b)， x| a<x< b = (a, b，都叫半开半闭区间.符号："x"读"无穷大"；"X"读"负无穷大；"+x"读"正无穷大".那么x|x a (a,)，x|x a a,)，x|x

21、3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法那么b (,b)，x|x b (,b，R (,).当且仅当函数定义域、对应法那么分别相同时，函数才【例1】求以下函数的定义域：(1x1/c、x 321 ；( 2) y 3x 12.解：(1 )由x 210,解得x1且x3,所以原函数定义域为(,3)U(3,1)U( 1,).x 30(2)由，解得x3 且 x 9 ,比x 1 20所以原函数定义域为3,9) U(9,).【例2】求以下函数的定义域与值域:(1) y3x 2 ； (2) yx2x 25 4x是同一函数.O例题精讲:解：(1)要使函数有意义，那么555 4x 0,解得x -.所以原函数的定

22、义域是 x|x -.443x 2112x 813(4x 5)233235 4x45 4x45 4x45 4x21 29(2) y x x 2 (x ).所以原函数的定义域是4-0-，所以值域为y|y -.4441 x【例3】函数f ()1 xx.求：(1) f (2)的值；(2) f (x)的表达式解：(1)由12，解得x1，所以f(2)1x3(2)设1xt，解得x1t1-，所以 f (t)11x1t113 .-，即 f (x) t点评：此题解法中突出了换元法的思想.这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等2【例4】函数f(x) J,x R.1

23、 x、 1 1(1)求 f(x) f(-)的值；(2)计算：f(1) f (2)f(3)f(4) f()x21222 21 xx2x11 x解：(1 )由 f(x) f ()22221.x 1 x 4 丄 1 X 1 x 1 x1 2x(2)原式 f(1) (f(2) f(?)(f(3) f® (f(4) f(£) 1 3 7点评：对规律的发现，能使我们实施巧算 .正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键第6讲§函数的表示法o学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；

24、了解映射的概念o知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法(用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值)；图象法(用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反响变化趋势)；列表法(列岀表 格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看岀函数值)2. 分段函数的表示法与意义(一个函数，不同范围的X，对应法那么不同).3. 一般地，设 A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么f，使对于集合 A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射(mapping).记作 “ f : A B 判别

25、一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法那么 f.O例题精讲：x的小正，这个函数的【例1】如图，有一块边长为 a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 方形，然后折成一个无盖的盒子，写岀体积V以x为自变量的函数式是 定义域为.解：盒子的高为 x，长、宽为a2x，所以体积为 V= x(a 2x)2. 又由a-2x 0,解得x a .2所以，体积 V以x为自变量的函数式是2V x(a 2x)，定义域为x|0?.【例2】f(x)=(J1)，求ff(0)的值.解：T 0 (,1)，二 f(0)= 32 .又T 32>1，-f( 3 2 )=( 3 2 )3+( 3 2 )-3=2+l

26、 = 5，即 f f (0)= 5.2 2【例3】画岀以下函数的图象：(1) y |x 2| ;(教材P26练习题3)(2) y |x 1|2x 4|.解：(1)由绝对值的概念，有y |x 2 |所以，函数y |x 2|的图象如右图所示.3x 3, x 1(2) y |x 1|2x 4| x 5,2 xx 2, x 22x, x 21,3x 3, x 2所以，函数y |x 1|12x 4|的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作岀函数图象【例4】函数f(x) x的函数值表示不超过x的最大整数

27、，例如3.54，2.1 2，当x ( 2.5,3时，写岀f (x)的解析式，并作岀函数的图象.F"m的概念，抓住分段函数的对应函数式L y? ll JL y1A r£"：:.加)Ad国i3,2.5x 22,2x 11,1x 0解：f(x) 0, 0X1.函数图象如右1, 1X22, 2X33, x3点评：解题关键是理解符号第7讲§函数的单调性o学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解增区间、减区间等概念，掌握增(减)函数的证明和判别o知识要点：1. 增函数：设函数 y=f(x)的定

28、义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 XI，X2，当X1<X2时，都有f (Xi)vf(X2)，那么 就说f ( x)在区间D上是增函数(increasingfunction).仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说 f (X)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间 D叫f(x )的单调区间.在单调区间 上，增函数的图象是从左向右是上升的(如右图 1)，减函数的图象从左向右是下降的(如右图 2).由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单3.判断单调性的步骤：设 o例题精讲：X1、X 2

29、 给疋区间，且 X1 <X2 ；T计算f ( X1 ) - f ( X2 ) T判断符号T下结论2x【例1】试用函数单调性的定义判断函数f(X) 二在区间(0, 1) 上的单调性X 1解：任取 X ,X2 (0,1)，且 x1由于 0 X1 X21， X110，2x所以，函数f (X) 丝在X 1【例2】求二次函数 f (X)解：设任意X| ,x2 R，且：2f (x1) f (x2) (ax1bx1假设a 0，当X1 X2时,2aX2(0,2axc)2x12x2X 1 x2 11 0，X2 X1 0，故 f(xj f (X2) 0，X2 .那么 f (xjf(X2)1) 上是减函数.b

30、xX2 .那么(ax22有X1f(xj f (X2) 0，即 f(xj f (X2)，所以递减.【例(1)3】求以下函数的单调区间:|x 1|(1)y |x|2x 4| ;( 2) y3x1|2x 4| x由图可知,函数在2,X2(X12(X2 X1)1)(x2 1).即 f(xj f (X2).c (a 0)的单调区间及单调性22bx2 c) a(x1 x2 ) b(x1 x2)bX2，即 a(为 X2) ba,上单调递增.同理可得2aX20，X1f(x)在(X2(X1X2)a(X1 X2) b.0，从而f (x)在(2) y2x 2|x|3, x5,23x 3, x)上是增函数，在2x2x

31、 3, x2x2x 3, x2|x|13.1，其图象如右.2,2上是减函数.，其图象如右.由图可知，点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数 可以由偶函数的对称性，先作 y轴右侧的图象，并把 y轴右侧的图象对折到左侧，得到 研究单调性，关键在于正确作岀函数图象函数在 (1、0,1上是增函数,在1,0、1,)上是减函数.f(|x|)的图象.由图象3x 1【例4】f(x)1，指岀f(x)的单调区间.x 2解： f(x) 3(x2)5x 25把g(x)的图象沿x轴方向向左平移 2个单位，再沿y轴向上平移x得到f (x)的图象，如下图.由图象得f (x)在(，2

32、)单调递增，在(2,)上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象第8讲§函数最大(小)o学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大图像理解和研究函数的性质 .能利用单调性求函数的最大(小)值.需知值(小)O知识要点：1.定义最大值：设函数 y f (x)的定义域为I，如果存在实数 存在x° I，使得f(x)=M那么，称 M是函数y f(x)的最大值( 岀最小值(MinimumValue )的定义.2.配方法：研究二次函数 y3个单位,f(x a) b平移变换规律.值及其几何意义；学会运用函数M满足：对于任意的 x I，都有f (x)

33、 < M.仿照最大值定义，可以给MaximumValue)9ax bx c (a 0)的最大(小)值，先配方成 y2, b、2 4ac b 二a(x )后,a4a2 2；当a 0时，函数取最大值 4ac b . 4a4a3. 单调法：一些函数的单调性，比拟容易观察岀来，或者可以先证明岀函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作岀其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值当a 0时，函数取最小值为4acO例题精讲:6的最大值.x x 1J，由/1、2324所以函数的最大值为 8.【例2】某商人如果将进货单价为【例1】求函数解：配方为y(x12332)

34、4 4，8元的商品按每件 出价，减少进货量的方法增加利润，这种商品每件提价 为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求岀最大利润 解：设他将售岀价定为 x元，那么提高了 (x 10)元， y (x 8)g100 10g(x 10).即 y10x2 280x 1600所以，他将售出价定为【例3】求函数y解：此函数的定义域为10元售岀时，每天可售岀100件.现在他采用提高售1元，其销售量就要减少10件，问他将售岀价定减少了 10c(x 10)件，所赚得的利润为2x1,10(x 14)2 360.当 x 14时，ymax 360.14元时，才能使每天所赚得的利润最大，最大利润为360元.X1的最小

35、值.，且函数在定义域上是增函数，所以当x 1时，ymin点评：形如y ax也可以用换元法研究.【另解】令1 12，函数的最小值为 2.cx d的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究,2y 2t t 2x 112(t-)4那么t 0 ,15, 在 t82x t 1，所以0时是增函数，当t 0时，ymin2，故函数的最小值为2.【例4】求以下函数的最大值和最小值：25 3(1) y 3 2x x , x 2，? ;( 2) y |x 1| |x 2|.解：(1) 二次函数y 32x2x的对称轴为x，即 x 1. 2a画岀函数的图象,由图可知,x 1时,ymax4 ；当x所以函数y 35 3，-的

36、最大值为2 4,最小值为 y |x 1|x 2|32x3-时,294 .ymin.含绝2(x(1(x3,3.所以函数的最大值为2)x 2).1)作岀函数的图象，点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作岀第9讲§函数的奇偶性o学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性由图可知,3,最小值为-3.理解奇函o知识要点:1. 定义：一般地，对于函数(evenfunction ).如果对

37、于函数定义域内的任意一个(oddfunction ).2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于 对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比拟法、计算和差、比商法等判别 关系.O例题精讲：【例1】判别以下函数的奇偶性：31(1) f(x) x - ； (2) f(x)x解：(1)原函数定义域为x |x(x3 Hf(x)定义域内的任意一个X,都有f( x) f (x)，那么函数都有f( x) f(x)，那么函数x,f (x)叫偶函数 f (x)叫奇函数y轴轴f ( x)与 f (x)的2|x 1| |x 1| ； (3) f(x) x

38、0，对于定义域的每一个x,都有31f( x) ( x)x(2) 原函数定义域为 f( x) I x(3) 由于f(1| I xx)x2【例2】解：T f (x) f( x)f(x)，所以为奇函数.R,对于定义域的每一个1| |xx3f(x)是奇函数,x，都有1| |x 1| f(x)，所以为偶函数f(x)，所以原函数为非奇非偶函数g(x)是偶函数，且f (x)g(x)1，求 f(x)、g(x).是奇函数，g(x)是偶函数, f (x) , g( x) g(x).1f (x)' x 1 ，即1x)f(x)x 1f (x)¥；两式相加,x 1【例3】f(x)是偶函数， 解：作岀函

39、数y 2x2 4x / f(x)是偶函数，.其图象关于 作岀x 0时的图象，其顶点为 x 0 时，f(x) 2(x 1)2点评：此题中的函数实质就是f(x)那么f( x)g(x)g(x)g(g(x)1x 11x 1两式相减，解得解得1x2122x 4x，求g(x)x 0时，22(x 1) y轴对称.(1,2)，且与右侧形状一致，22 2x 4x.2f(x)2, xx 0时f (x)的解析式.0的图象，其顶点为(1,2).y 2x 4|x|.注意两抛物线形状一致，那么二次项系数a的绝对值相同.此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下【另解】当x 0时，x 0，又由于f(x)是偶函

40、数，那么f(x) f( x), 所以，当 x 0 时，f(x) f( x) 2( x)24( x) 2x2 4x.【例4】设函数f (x)是定义在R上的奇函数，且在区间(，0)上是减函数，实数a满足不等式2 2f (3a a 3) f (3a2a)，求实数a的取值范围.解： f (x)在区间(，0)上是减函数， f (x)的图象在y轴左侧递减.又 f(x)是奇函数， f (x)的图象关于原点中心对称，那么在y轴右侧同样递减.又f ( 0)f(0)，解得f (0)0,所以f(x)的图象在 R上递减. f(3a2 a 3) f (3a22a)，22二 3a a 3 3a 2a，解得 a 1.点评：

41、定义在 R上的奇函数的图象一定经过原点.由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反集合与函数根底测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1. 函数 y = = x2 6x + 10在区间(2，4) 上是()A.递减函数B.递增函数C.先递减再递增D.选递增再递减.x y 22. 方程组 x y 0的解构成的集合是()A. (1,1) B. 1,1 C. ( 1，1)D. 13. 集合A=a，b，c,以下可以作为集合A的子集的是(). a，cC. a，eD. a，b，c，d4. 以下图形中，表示M N的是()参加蛙泳的7. 集合 A=x x 2k,k Z,B