七上第2讲绝对值几何意义突破

1、百度文库-让每个人平等地提升自我i领先中考培优课程MATHEMATICS/ 绝对值几何意义突破知识目标目标熟练绝对值式子的几何意义-距离，理解最值的含义目标二掌握几何意义求多个绝对值之和的最小值的方法目标三掌握一般的绝对值式子求最值、疋值的方法零点分段法百度文库-让每个人平等地提升自我2思维引入最值的含义/、知识导航最大值与最小值统称为最值，一个代数式一般能取到无数个值，我们把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如：当 x 等于任意数时，代数式 x 2 能取到无数个值但其中最小的值是0 因此可以说，仅当 x= 2 时.x 2 取得最小值为 0;此时 x 2 可以无穷大.因此它没有最大

2、值.当 1 xw3 时，2x 3 能取到无数个值，但当 x= 1 时 2x 3 取得最小值为一 1 ;当 x= 3 时， 2x 3 取得最大值为 3 .这里也可以描述为.当 Iwx 3 时，1w2x 3w3.练习一一最值的含义的理解1.2x的最小值是 _ ，当 x= _时它取得最小值；2一3 x的最大值是 _ ，当 x=_时它取得最大值；当 x=_时，(1 3x)2+ 2 取得最小值为 _;当 x=_时，3 一x 1取得最大值为_ ;2先化简x 3 x 4，再求它的最值，并说明相应的 x 的取围.3. 先化简x 1 x 5，再求它的最值，并说明相应的 x 的取值范围总结归纳虽然“最值”这个概念

3、是代数层面上的，通过代数计算来找最值是最本质的方法，但通 过上面的练习不难发现，如果纯通过代数计算来找最值，有时过程会比较繁琐，计算量也较 大，耗时又易错.初中知识两大主线一一几何与代数各成体系又相辅相成，例如数轴就是用形来表示数, 后面学习坐标系与函数后会有更多数与形的结合.现阶段，绝对值的代数运算意义和它在数 轴上表示距离的几何意义，就架起了数与形的桥梁.灵活运用绝对值的代数意义与几何意义， 融会贯通，就能使二者相得益彰，不仅能为解题带来很大帮助，这种思维间的转换对以后的 学习也大有裨益.百度文库-让每个人平等地提升自我3模块一绝对值的几何视角一一距离知识导航通过前面的学习.我们对绝对值的

4、代数意义已经很熟悉.a ba b(ab)，这让我们看到/b a(a0B. ab 1C. ab 0D. ab 1模块二绝对值之和求最小值知识导航求x 1 x 2的最小值；x 1即数轴上 x 与 1 对应的点之间的距离，x 2即数轴上 x 与 2 对应的点之间的距离，离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值设 A、B、P 三点对应的数分别是当 I 2 时，即 P 点在 B 点右侧，此时x 1 x 2= PA+PB=AB+ 2PBAB;1 1Ar-1D12-1_13 H当 xV1 时，即 P 点在 A 点左侧，此时x 1 x 2= PA+PB=AB+ 2PA AB;人-AM丁40 1

5、2*3综上可知，当 IVxV2 时(P 点在线段 AB 上)，x 1 x 2取得最小值为 1.此结论可以推广：若已知以 avb，则当 a x b 时，x a x b 取得最小值为 ba. 题型一两个绝对值相加求最小值例 2(1)_ 当 x 满足_ 时，x 5 x 200 取得最小值为; /当 x 满足_ 时，x 3 x 4 取得最小值为 _;当 x 满足- 时，x 6 x 4 取得最小值为-(2)_ 当一 K xw6 时，x 2 |x 的最小值为,最大值把这两个距1、2、x.百度文库-让每个人平等地提升自我6为 _ .百度文库-让每个人平等地提升自我7(3)当 x 1 x 3 取得最小值时，试

6、化简x 5 x 5 =总结归纳挑战压轴题(2014 武昌七校七上期中压轴题) 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图所示，点 A、B 在数轴上分别对应的数为 a、b，则 A、B 两点间的距离表示为 AB a b，根据以上知 识解题：(1)若数轴上两点 A、B 表示的数为 x、一 1.1A、B 之间的距离可用含 x 的式子表为 _ ;2若该两点之间的距离为 2,那么 x 值为_ .x 1| |x 2 的最小值为 _，此时 x 的取值范围是 _;已知 x 1 x 2 |y 3 y 215，求 x-2y 的最大值和最小值.拓已知 x 21 x 9 y 5 1 y，求 x+y 的

7、最值.题型二多个绝对值相加求最小值以四个绝对值之和为例，求 x 1 x 2 x 3 x 4 的最小值;绝对值的最值问题多以选填题的形式考察，上述绝对值几何意义的方法能迅速求解，但此法不能作为大题的解题步骤，所以一旦要求写大题步骤，只能使用零点分段法化简，分别 求出每一段的取值范围，最后得到最值.(1)当 x 满足当 x 满足时,(2)时.已知 x 为整数，且满足1-取得最小值为24,则 x 的所有可能值之和为求 x 4 x 5 的最小值，并写出相应的 x 的范围.(3)百度文库-让每个人平等地提升自我8设 A、B、C、D、P 五点对应的数分别为 1、2、3、4、x，在数轴上画出各点，排 好序之

8、后由远及近依次两两一组求和。x 4 = PA+PD = 4 1= 3,取得最小值;与 x 2 x 3 之和，如果这两式能同时取得最小值，即PA+PD 与 PB+PC 同时最小，那么它们的和必然也取得最小值.设 A、B、C、P 四点对应的数分别为0、1、2、x.当 0Wx 2 时，|x x 2 PA PC 2 02，取得最小值;所求的|x 1 x 2 = PA+PB+PC 即上面两式之和，如果这两式x x 2 和 x 1能同时取得最小值，即 PA+PC 与 PB 同时最小，那么它们的和必然也取得最小值.故仅当 x= I 时，|x 1 x 2 的最小值为(2 -0) + 0= 2.若求更多的偶数个

9、或奇数个绝对值之和，可以用同样的方法求其最小值.例 3(1)_ 当 x 满足 _时，x 3 x 1 x 4 x 6 取得最小值为 _;当 x 满足_时，x 3 x 2 x 1 x 取得最小值为_ ;当 x 满足_ 时， 1 x x 3 x 7 |4 x 取得最小值为_ ;(2)当 x 满足 _时，x 2x 1x5 取得最小值为 _ ;当 1wx 4 时，x 12 x 3 |x 4 PA PB PC PD，即上面两式x 1故当 2 xw3 时，x 1 x 2 x 3 x 4 的最小值为(4- 1) + (3 2) = 4.再以三个绝对值之和 为例，求|x x 1 x 2 的最小值;n n人0H

10、121,取得最小值;所求的 x当 x= I 时，|x 1 PB 0,取得最小值;百度文库-让每个人平等地提升自我9当 x 满足 _时，x 26 x5x 取得最小值为 _ ;(3)当 x 满足_时，x 1 x 2x 2016 取得最小值为_百度文库-让每个人平等地提升自我10当 x当x 满足时，x 1 xx 101 取得最小值为(4)若 Ovav10,则当 x 满足总结归纳奇数个 x 取“中间点”右a!Va2vV Va2n 1，当 x 满足时,x时,10 的最小值是最小值为a2n 1a1a2na2a2n 1偶数个 x 取“中间段”右 a1va?v va?n,当 x 满足最小值为 a?naia2n

11、1a2x a2Xa2n 1取得最小值;a3时，xan 2an 2anai|xa2an 1an 1anx a2n取得最小值;(1)当 x 满足_时,x 4取得最小值为当 x 满足_时,x 取得最小值为求x6的最小值，并写出相应的 x 的范围.拓求x 1 2x 1 3x 1的最值;求-x 12模块三绝对值之差求最值知识导航求x 1 x 2的最大值：百度文库-让每个人平等地提升自我11设 A、B、P 三点对应的数分别为 I、2、X,当 1 2 时，即 P 点在 B 点右侧，此时|x 1 x 2= PAPB=AB=1.Ji_i_ 10 123当 xVI 时，即 P 点在 A 点左侧，此时x 1 x 2

12、= PAPB= 1.A.11w-10123综上可得：当 xwI 时(P 点在 A 点左侧).x 1 x 2取得最小值为一 I:当 x 2 时(P 点在 B 点右侧).x 1 x 2取得量大值为 1.1(x 2)用绝对值代数意义展开亦可知x 1 x 2=2x 3(1VxV2)1(x 2)此结论可以推广：x a x b的最大值为a b.最小值为a b,至于当 x 满足什么条件时分别取最大、最小值则可以画数轴分析或把绝对值展开计算.例 4 4(1)用绝对值的几何意义求x 3 x 5的最值.(2)用“零点分段法”化简4 x x 1，求出最值，并说明相应的 x 的取值范围.求x 5 x 7的最值.练（2

13、012 武昌七校七上期中）百度文库-让每个人平等地提升自我12当 x 在何范围时，x 1 x 2有最大值，并求出最大值当 x 在何范围时，x 1 x 2 x 3 x 4有最大值，并求出它的最大值.代数式x1x2x3x4x 99 x 100最大值是_模块四定值问题知识导航定值即指代数式的值恒为某一个数.1(x 2)例如用“零点分段法”化简可得x 1 x 2、2x 3(1 x 2).可见当 x 2 时x 11(x 1)值恒为 1 .即定值为 1 ;当 x I 时x 1 x 2的值恒为一 1，即定值为一 1./2x 3(x1)百度文库-让每个人平等地提升自我13再如，令 s =x 1 |x 2，化简

14、可得 s=|x 1 |x 2=1( 2 x1)，可见对于/2x 3(x2)2 x- I 范围内的任意 x 值，s 的值恒为常数 1，我们就说当一 2 x- 1 时 s 为定值. 综上可知，要让某式有定值，必须使它在某一条件下的取值与x 无关.因此，定值问题的核心任务是，找到 x 的某个取值范围，使得代数式中的x 正好可以相互抵消.例5(1) 如果对于某一给定范围内的 x 值，p=x 1| |x 3为定值，则此定值为 _，相应的 x 的范围是_.(2)如果对于某一给定范围内的_ x 值，p=x 5 x 2为定值，则此定值为.(3)如果对于某一给定范围内的 x 值，p =5-2x |2x 9为定值

15、，则此定值为 _,相应的 x 的范围是_ .练如果对于某一给范围内的x 值，m=|2-3x 3x 7为定值，则此定值为 _ ，相应的 x 的范围是_ .总结归纳定值问题虽然也可以用绝对值的几何意义一一转化为距离来求解，但它并不是此类题型的本质解法，仅在 x 的系数都为 I 时此法较为便捷.产生定值的根本原因是 x 相互抵消了，因此定值问题的本质解法是用类似“零点分段法”的思路，将式子中的每个绝对值拆开，配x 的系数使它为 0,从而迅速找到相应的 x 的范围，并求出定值当然，上述方法都针对的是选填题，能迅速找到答案.如果是需要写过程的大题，无论是求最值还是定值，都只能用“零点分段法，分类讨论求解

16、.例6(1)若2x 4 5x 1 3x 4的值恒为常数，则 x 应满足怎样的条件？此常数的值为少？(2昌七校中)如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，s =2 2x 2 3x 2 5x的值恒为一常数，刚此常数值为()(2014 武百度文库-让每个人平等地提升自我14（3）已知对于某一特定范围内 a 的任意允许值，6a 7 5 2a 4a的值恒为一常教.则此常数值为（）.A. 12C. 12D. 12 或12（4）如果对于某一特定范围内x 的任意允许值， s=x 1 x 2x 3x 2016的值恒为一常数，则相应的 x 的取值范围是 _.练若3 a 3 4a 3a的值是一个定值，求 a 的取值

17、范围.拓（2012 外校七上期中）已知 x 为正数，且对于 x 在某一范围内任意取值，代数式,x 2 2x 2 3x 2 4x 2 5x 2 6x 2 7x 2 8x 2的值恒为定值，试求出 x 的取值范围及这个定值.1不相等的有理数第2讲绝对值几何意义突破（a、b、c 在数轴对应的点分别为A、B、C,如果课后作业）那么点 A、B、A .点 A 在点 B、C 之间C .点 C 在点 A、B 之间2. 已知 0vC 在数轴上的位置关系是（ ）B.点 B 在点 A、C 之间D.以上三种情况均有可能20,当pwxw20 x p 20的最小值是（).A. 40C. 203.如果对于某一特定范围内的任意

18、允许值,D .一个与 p 有关的代数式P=1 4x 1 5x/1 6x 1 7x8x的值恒为一常数，则此值为A. 1B. 0( ).C. 1D.1 或一 14.如果对于某一给定范围内的x 值，p =3 2x x 7 3x为定值，则此定值为百度文库-让每个人平等地提升自我15相应的 x 的范围是_5根据绝对值的几何意义可知：3 3 0,它在数轴上的意义是表示3 的点与原点之间的距离；又如式子8 3，它的几何意义是表示 8 的点与表示 3 的点之间的距离，那么：/ （1）x 5在数轴上的意义是_ ；/ （2）x 1 x 4的最小值为_；、/ / （3）|x 1 x 2 |x 3 x 4 |x 5 x 6的最小值为 _.6.如果对于某一特定范围内 x 的任意允许值，S=x 1 x 2 x 3|x 100的值恒为一常数，则此常为 _，相应的 x 的取值范围是 _ .7/已知 a 为整数，且满足a 2 a 35，则 a 的值为 _ ./ x 3取得最小值为 _ ;42 x取得最大值为_;1 x 5 x取得最小值为_ ;x 7 x 8 x 9取得最小值为 _ ;x 4 x 5取得最大值为_ ;x 4 x 5取得最小值为 _ .x b x