信号与线性系统 第11讲

1、第第5 5章章 连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析 5.65.6拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质2022-4-7信号与线性系统第11讲2n收敛区包括虚轴的拉普拉斯变换可通过傅里叶变收敛区包括虚轴的拉普拉斯变换可通过傅里叶变换直接得到；换直接得到；n指数函数拉普拉斯变换；指数函数拉普拉斯变换；nt的正整幂次函数的拉普拉斯变换。的正整幂次函数的拉普拉斯变换。n部分分式展开方式求解部分分式展开方式求解n系数的两种计算方式，洛比塔方法；系数的两种计算方式，洛比塔方法；n无重根和有重根的系数计算。无重根和有重根的系数计算。n围线积分的方式求解围线积分的方式求解n理解约当引理和熟

2、练掌握留数计算方法。理解约当引理和熟练掌握留数计算方法。2022-4-7信号与线性系统第11讲3n复频率的概念，可积条件的放宽复频率的概念，可积条件的放宽n收敛区与可积条件，反变换与收敛区关系收敛区与可积条件，反变换与收敛区关系n频域函数的替代法，常用函数的计算频域函数的替代法，常用函数的计算n部分分式展开、系数计算、重根解的形式部分分式展开、系数计算、重根解的形式n留数计算方法、围线积分补充路径与解的关系留数计算方法、围线积分补充路径与解的关系n拉普拉斯变换的计算力求简单拉普拉斯变换的计算力求简单n掌握其性质对于简化计算有重要的作用。掌握其性质对于简化计算有重要的作用。2022-4-7信号与

3、线性系统第11讲4a1 和和a2为任意常数为任意常数n例：例：求求 f (t) = sin t 的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。n解：解：112211221122 ( )(), ( )() ( )( )()()ftFsftFsaftafta FsaFs设则LLLtttt22221 f(t)= s int=(-) 2 j11, 111s int2 jsc o stjjjjeeeesjsjsjsjss已 知同 理LLLL2022-4-7信号与线性系统第11讲5 ( )( )1 ()( )f tF ssf atFaa设则LL2022-4-7信号与线性系统第11讲6n例题：计算右图拉普拉斯变换例题：计

4、算右图拉普拉斯变换n解：解：n三个函数的原始变换三个函数的原始变换n根据时间平移性质根据时间平移性质00 ( )( ) ()( )stf tF sf ttF s e设则LLf (t) fa (t)fb (t)fc (t)0000ETTTTtttt)()()()()()()()(TtTtTETtEttTEtftftftfcba22( ),( ),( )abcEEEf tf tf tTssTsLLL222( )11s Ts Ts TEEEfteeT ssT sET seT sL2022-4-7信号与线性系统第11讲7计算半波正弦函数的拉普拉斯变换（计算半波正弦函数的拉普拉斯变换（P230例题例题5

5、7）n一个半波分解为两个相差半个周期（一个半波分解为两个相差半个周期（T/2）的正弦函数之和）的正弦函数之和n周期半波为上述合成函数的周期周期半波为上述合成函数的周期(T)重复重复n周期周期T，周期内函数，周期内函数fT(t)n如果如果n根据时移性质得到根据时移性质得到n结论结论( )( )()(2 )TTTf tf tf t Tf tT( )( )TTftF sL2( )( )( )( )( ) =1sTsTTTTTsTf tF sF s eF s eF seL1(1)sTe2sss( )()( )(1)2sTTftftFse单 个 半 波 ：L1122ss( )( )(1)(1)( )(1

6、)sTsTsTf tF seeF se周期半波：L 等比级数等比级数是否还是否还有其他有其他解法解法2022-4-7信号与线性系统第11讲8尺度变换与时间延迟的可交换性尺度变换与时间延迟的可交换性n解解：n（1）先时间延迟再尺度变换）先时间延迟再尺度变换n（2）先尺度变换再时间延迟）先尺度变换再时间延迟(0,0)( )( )() () ? abf tF sf atbatb，LL已已知知求求() ()() ()( )1bssbaf tbtbf atbatbF s esFeaaLL()()()()()()11bsafa ta tfa tba tbfatatsFaabbsFeaaaaLLL尺度变换后

7、，尺度变换后，新坐标下延时新坐标下延时2022-4-7信号与线性系统第11讲9n对于与指数函数相乘的函数，可以方便的求解对于与指数函数相乘的函数，可以方便的求解00 ( )( ) ( )()s tftFsft eFss设则LL222221sin()c o s()1( )()!( )()a ta ta ta tnnetsasaetsaettsanettsaLLLL2022-4-7信号与线性系统第11讲10n0为为t=0-时的函数及各阶导数取值。证明如下：时的函数及各阶导数取值。证明如下：n同理可以证明同理可以证明n阶导数情况下的拉普拉斯变换阶导数情况下的拉普拉斯变换n对于有始函数，对于有始函数，

8、t0时为时为0，上面的表达式将非常简单，上面的表达式将非常简单1211( ) ( )( ) ( )(0 )( )( )(0 )(0 )(0 )nnnnnndf tf tF ssF sfdtd f ts F ssfsffdt设则LLL000( )( )( )|( ) ( )(0 )stststdf tdf tedtf t esf t edtdtdtsF sfL分布积分方法分布积分方法( )( )() ()nnnd ftdftsFss Fsd td tLL2022-4-7信号与线性系统第11讲11f(t)的拉普拉斯变换为：的拉普拉斯变换为：n采用采用0-系统系统n直接时域求导得到：直接时域求导得到

9、：n对求导结果进行拉普拉斯变换对求导结果进行拉普拉斯变换n直接采用微分性质得到结果直接采用微分性质得到结果n两者结果一致两者结果一致n采用采用0+系统系统n直接时域求导得到直接时域求导得到n对求导结果进行拉普拉斯变换对求导结果进行拉普拉斯变换n直接利用微分性质得到结果直接利用微分性质得到结果n两者结果一致两者结果一致n采用采用0+、0-结果不同的原因结果不同的原因n函数函数f(t)求导以后在求导以后在0点有冲激点有冲激( )(t)a tfte1( t)a tesaL(t)( )(t)a ta tdeta ed t ()( 0)ss Fsfsa( )(t)1atastaesasaL(t)(t)a

10、 ta tdea ed t (t)ataaesaL( )(0)1sasFsfsasaf(0-)=00+系统不考虑系统不考虑冲激响应冲激响应f( 0+)=12022-4-7信号与线性系统第11讲12n一般单边信号，采用一般单边信号，采用0-系统系统nf(t)=f(t)u(t) 而而f(0-)=0 n根据微分性质有比较简单的结果根据微分性质有比较简单的结果n在分析单边信号时在分析单边信号时 f(t)，f(t)u(t)两者的拉普拉斯变换一两者的拉普拉斯变换一样样n但是但是 两者时域微分以后的拉普拉斯变换却不一定相等，因两者时域微分以后的拉普拉斯变换却不一定相等，因为两者的为两者的f(0-)可能不同可

11、能不同n上面两个函数的时域微分以后的拉普拉斯变换就不相同上面两个函数的时域微分以后的拉普拉斯变换就不相同( )( ) df tsF sdtL21 t0atf te1( )(t)atf te1( )dsftd tsaL2( )1dsftd tsaL2022-4-7信号与线性系统第11讲130101( ) ( )( ) ( )( )(0 )( ), (0 )( )ttF sf tF sfdsF sffdffdss设则LLL000000()()1()()( )tts ts tts tfdfded teFsfdfted tsssL0001()()()()()( 0)()ttfdfdfdfdFsfFss

12、sss LL本项为常数本项为常数本项积分为本项积分为0200()()tFsfdds L2022-4-7信号与线性系统第11讲140211( ),( )( )( )111( )! ( )tnnLtttdsF sL ttssssnL tts 而 2022-4-7信号与线性系统第11讲15 ( )()() ()( )() ()( )( ) ()nnnsftFsd Fstftd sdFstftd sftFs d st设则LLLL2022-4-7信号与线性系统第11讲162211 ( ,)( ,), ()( ,) ( ,)( ,)aaaaaft aFs aftaFs aaaft a d aFs a d

13、a为 参 变 量设，则LLL2022-4-7信号与线性系统第11讲17n设函数设函数f(t)及其导数存在，并有拉普拉斯变换，则及其导数存在，并有拉普拉斯变换，则f(t)初值为初值为n证明：通过时域微分性质证明证明：通过时域微分性质证明)(lim)(lim)0(0ssFtffst00000000000()( 0)() |( 0)( 0)s ts ts ts ts ts td fd fd fs Fsfed ted ted td td td td fd fd fd ted tfted td td td td fffed td t1|0tste0)0()(dtedtdffssFst0lim( )(0

14、)lim(0 )stssdfsF sfedtfdt此处可见此处可见时域微分时域微分性质对性质对0和和0系统系统的关系的关系2022-4-7信号与线性系统第11讲18n如果函数如果函数f(t)在在0时刻突变时刻突变n此时计算初值没有结果此时计算初值没有结果n因为因为n所以当所以当 f (t) 中包含冲激时，中包含冲激时，可先把可先把 (t) 移去后，再应用移去后，再应用初值定理初值定理( )( )( )afttft)(lim)(limssFsssFass(0 )(0 )(0 )(0 )aafff)(lim)0()0(ssFffasa101p01( )( )( )( )( )( )()( )s()

15、pppppppftatatatftLftFsLftaaasFs 则n同理，若同理，若 f (t) 在在 t=0 处有冲激及其导数，设其形式为处有冲激及其导数，设其形式为n初值定理应表示为初值定理应表示为)(lim)0()0(ssFffpsp2022-4-7信号与线性系统第11讲191( )( )1(0)lim( )lim1ssstsssss L1)(sssF1lim)(lim1111)(sssssFssssFss111lim)(lim)0()0(ssssFffsasa2022-4-7信号与线性系统第11讲20n设函数设函数f(t)及其导数存在，并有拉普拉斯变换，且及其导数存在，并有拉普拉斯变换

16、，且F(s)的所有极点的所有极点都在都在S左半平面（包括原点处的单极点），则左半平面（包括原点处的单极点），则f(t)终值为终值为n证明：利用时域微分性质，在证明：利用时域微分性质，在s 0, 可以推导得到结果可以推导得到结果)(lim)(lim)(0ssFtffst0)0()(dtedtdffssFst000000lim()(0)lim(0)lim(0)( ) |()stssstsd fsFsfed td td ffed td tfftf2022-4-7信号与线性系统第11讲21在如图所示电路中输入一单位阶在如图所示电路中输入一单位阶跃电压跃电压 (t)，n求求 uR(t) 初值初值 uR(

17、0+) 和终值和终值 uR( )。由由KVL列方程列方程n由初值定理由初值定理n由终值定理由终值定理n物理解释物理解释u(t)uR(t)cR+-i(t)R( )( )( )( )( )ccu tutututi t R( )( )( )( )ccd ututR Cuttd t)(1)(tetuRCtc)()()()()()()(tetetttututuRCtRCtcR1()()11tR CRR CutetS R CsR CL11lim)0(sRCsRCusR01lim)(0sRCsRCusRs 0 (j 0)，得终值，得终值 f ( ) ，相当于直流状态；，相当于直流状态；s (j )，得初值，

18、得初值 f (0+) ，相当于接入瞬间的高频分量。，相当于接入瞬间的高频分量。2022-4-7信号与线性系统第11讲22n终值定理在时域函数终值定理在时域函数f(t)终值存在时有意义终值存在时有意义n根据根据F(s)的极点分布特点的极点分布特点n右半平面的极点，时域信号指数增长右半平面的极点，时域信号指数增长n虚轴上非原点的极点，时域信号振幅正弦振荡虚轴上非原点的极点，时域信号振幅正弦振荡n原点的高阶极点，时域信号按照原点的高阶极点，时域信号按照t整数幂增长整数幂增长n终值定理在上述极点存在时无法应用终值定理在上述极点存在时无法应用n可以简单判定时域信号的初始情况和最终稳定情况可以简单判定时域

19、信号的初始情况和最终稳定情况2022-4-7信号与线性系统第11讲23n时域卷积时域卷积n频域卷积频域卷积n证明：证明：11221212 ( )( ), ( )( ) ( )*( )( )( )f tF sf tF sf tf tF s F s设则LLL11221212 ( )( ), ( )( )1 ( )( )( )*( )2f tF sf tF sf t f tF sF sj设则LLL111221110()1121011211121( )( )( )()21()( )21()()21()()2js tstjjsstjjjftftft eFsed sd tjFsft ed td sjFsF

20、ssd sjFsFsjL2022-4-7信号与线性系统第11讲24n例：已知指数函数拉普拉斯变换例：已知指数函数拉普拉斯变换n用卷积定理求用卷积定理求F(s)的反变换的反变换f(t)n解：复频域的乘积转化为时域两解：复频域的乘积转化为时域两个指数函数的卷积，令个指数函数的卷积，令1( )()()F sss111( )( )tef tsF sL= L1a tesaL 122( )( )tef tsF sLL112()()00()1()()()() ()11()ttttttttftftftsseedeedeeee L若若 = ，求上式的极限（分子分母对，求上式的极限（分子分母对 求导），得求导），得 s 重根时的反变换式重根时的反变换式12()1()l