建筑力学课件14静定结构的位移计算

1、第十四章第十四章静定结构的位移计算静定结构的位移计算 141 概 述一、结构位移的定义一、结构位移的定义结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。 二、位移的分类二、位移的分类位移线位移：截面形心的直线移动距离角位移：截面的转角位移位移绝对位移绝对位移相对位移相对位移广义位移广义位移三、刚架的位移举例三、刚架的位移举例 A A 点的线位移点的线位移 A水平线位移水平线位移 AH竖向线位移

2、竖向线位移 AV截面截面A A 的角位移的角位移 AC C、D D 两点的水平相对线位移两点的水平相对线位移 C (D)H = C +D A A、B B两个截面的相对转角两个截面的相对转角 AB=A+B 四、引起位移的原因四、引起位移的原因一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变（如图（如图a a）、支座移动（如图）、支座移动（如图b b）材料收缩、）材料收缩、制造误差等制造误差等 五、五、 计算位移的目的计算位移的目的 有以下三个方面：有以下三个方面： 1 1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值超过允许的

3、位移限制值 2 2、为超静定结构的计算打基础。在计算超、为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。移。 3 3、在结构的制作、架设、养护过程中，有、在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。的施工措施，因而也需要进行位移计算。14.2 14.2 虚功原理和单位荷载法虚功原理和单位荷载法 一、变形体的虚功原理一、变形体的虚功原理功：

4、 力对物体在一段路程上累积效应的量度，力对物体在一段路程上累积效应的量度，也是传递和转换能量的量度也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功力在自身引起的位移上所作的功 当静力加载时，即：当静力加载时，即： F FP1P1由由0 0增加至增加至F FP1P1 1414 由由0 0增加至增加至 1414力力F Fp1p1在位移在位移 1414上作的实功上作的实功 12W14=FP11414虚功：虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小保持不变中，力的大小保

5、持不变梁弯曲后，再在点梁弯曲后，再在点2 2处加静力荷载处加静力荷载F FP2P2，梁产生新，梁产生新的弯曲。位移的弯曲。位移 1212为力为力F FP2P2引起的引起的F FP1P1的作用点沿的作用点沿F FP1P1方向的位移。力方向的位移。力F FP1P1在位移在位移 1212 上作了功，为虚上作了功，为虚功，大小为功，大小为 W W1212=F=FP1 12P1 12在小变形条件下，在小变形条件下， 1212由图示的原始形状、尺由图示的原始形状、尺寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，之相应， F FP1P1单独作用的状态单独作用的状

6、态 为虚功计算的力为虚功计算的力状态。状态。 当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功。作内力虚功。 根据功和能的原理可得变形体的虚功原理：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。 虚功原理也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功外力的虚功等于内力的虚变形功”。二、二、 单位荷载法单位荷载法 1 1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载、定义：应用虚功

7、原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。求实际位移的方法。2 2、计算结构位移的一般公式、计算结构位移的一般公式M K= duF K+RiCi=d+ N+QFFFdv式中，式中，F =1 =1 则则Md +Fdu N+FdvQ FRiCi 经进一步推导，可得经进一步推导，可得NNPPKF FMMdsdsEIEA QQPRiiF FdsFCGA式中：E 弹性模量； G 剪切模量；A 横截面积； I 截面惯性矩；k 截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。14.3 14.3 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算一、静定结构在荷载作用下的位移公式一、静定结

8、构在荷载作用下的位移公式 如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移体位移 0 0，位移公式则为，位移公式则为 Ci NNPPKPQQPF FMMdsdsEIEAkF FdsGA 对于曲杆（曲率半径对于曲杆（曲率半径r r），荷载作用下的位移公式为），荷载作用下的位移公式为QNQPNPPKPkF FF FMMdsdsdsEIEAGA NNPPMFF MdsdsEArEAr弯矩的影响 轴力的影响 剪力的影响 曲率的影响 图图a a 所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与所示矩形截面圆弧形钢杆，轴线的半径与截面高度之比截面高度之比r/h=10,r/h=10

9、,弹性模量之比弹性模量之比E/G=2.5E/G=2.5，曲杆曲杆B B端形心在竖向荷载端形心在竖向荷载F FP P作用下的竖向线位移作用下的竖向线位移 由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组由对应于弯矩、轴力、剪力、曲率的四部分组成：成：MNQrBP Q : N : r = 1200 : 1 : 3 : 2 设虚拟状态（图b）计算虚内力，用截面法计算实际状态的内力，代人位移公式运算，并注意矩形截面的不均匀系数 =1.2 ，计算结果为212124PBPF rrEkEAhG 1200 1 324PF rEA BP中弯矩、轴力、剪力、曲率对应的四部分之比 M : : =二、各类杆件结构在荷载作用下

10、的位移公式二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式（1 1）梁和刚架）梁和刚架 梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ，位移计算公式中取第一项便具有足够的工位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度程精度 PKPMMdsEI（2 2）桁架）桁架 各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式第二项并简化为实用的形式NNNPNPKPF FF FdsdsEAEANNPKPF F lEA（3 3）组合结构）组合结构 既有梁式杆，又有链杆，取用公式

11、中的前两项既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项 NNPPKPF F lMMdsEIEA（4 4）拱）拱 一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计略不计 NNPPKPF F lMMdsEIEA三、虚拟状态的选取三、虚拟状态的选取欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：1 1）欲求一点的线位移，加一个单位集中力）欲求一点的线位移，加一个单位集中力2 2）欲求一

12、处的角位移，加一个单位集中力偶）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶 3 3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力一对指向相反的单位集中力 4 4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中力偶单位集中力偶 5 5）欲求桁架某杆的）欲求桁架某杆的角位移角位移在杆的两端加一对在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成平行、反向的集中力，两力形成单位力偶单位力偶。力偶臂为力偶臂为d d ，每一力的大小为，每一力的大小为1/d1/d力和力偶统称为广义力，力和力偶统称为广义力， 单位广义力用

13、单位广义力用X=1=1表示表示线位移和角位移统称广义位移，用线位移和角位移统称广义位移，用表示表示单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分：广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反 （2 2）计算）计算F,F,FNPNP ; ; 四、四、 静定桁架的位移计算静定桁架的位移计算计算步骤为计算步骤为 （1 1）设虚拟状态；）设虚拟状态；（3 3）用桁架的位移计算公式计算位移。）用桁

14、架的位移计算公式计算位移。例例14-114-1 图示桁架各杆的图示桁架各杆的EAEA相等，求相等，求C C 结点结点的竖向位移的竖向位移vc 解解: : （1 1）设虚拟状态（如上图）设虚拟状态（如上图b b所示）所示） （2 2）计算）计算FN N 和和F FNPNP（标于上图（标于上图 b.ab.a ）22221211222242 2NNVCPPPPF F lEAFaEAFaFaF aEA （3 3）代公式求）代公式求C C点的竖向位移点的竖向位移例例14-214-2 图示钢桁架，图中括号内数值为杆图示钢桁架，图中括号内数值为杆件横截面面积（单位件横截面面积（单位cmcm2 2 ）。许可挠

15、度与跨）。许可挠度与跨长的比值长的比值18 0 0wl，试校核桁架的刚度。，试校核桁架的刚度。解 对称简支桁架在对称荷载作用下，最大挠度发对称简支桁架在对称荷载作用下，最大挠度发生在桁架的对称面处。生在桁架的对称面处。 须计算结点须计算结点3 3的竖向位移，然后进行刚度校核。的竖向位移，然后进行刚度校核。1 1）建立虚拟状态（如图）建立虚拟状态（如图b b 所示）所示）2 2）计算）计算FN N 和和F FNPNP，并标于图，并标于图b b、a a 上上 3 3）求）求3 3点的竖向位移，进行刚度校核点的竖向位移，进行刚度校核 31NNPNPNPF F llF FEAEA 计算半个桁架的计算半

16、个桁架的 NNPlF FA，列表如下，列表如下: : lAF/(/)NPNF F lN mmAmax312 142000013.5210000NPNPlwF FmmmmEA max13.51240001775wmmlmm1800wl根据上表，得根据上表，得 所以，桁架满足刚度条件所以，桁架满足刚度条件 五、梁的位移及刚度校核五、梁的位移及刚度校核 1 1、 梁的位移梁的位移 挠度：挠度： 横截面形心在垂直于轴线方向的线位移横截面形心在垂直于轴线方向的线位移 用用w w 表示，表示， 规定规定w w 向下为正。向下为正。 转角：转角： 横截面的角位移横截面的角位移 ，规定顺时针转为正，规定顺时针

17、转为正在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表（如表14.114.1所示），可供计算时查用。所示），可供计算时查用。表表14.1 14.1 梁的挠度与转角公式梁的挠度与转角公式 22PBF lEI3max3PF lwEIBMlEI2max2MlwEI续表36BqlEI4max8qlwEI2labA216PBF lEIab2l3max48PF lwEI时时A324BqlEI4max5384qlwEI6AM lEIB3M lEI2max9 3MlwEI3lx -（在处）续表续表-2 2梁的刚度校核梁的刚度校核梁的位移过大，则不能正常工作梁的位移过大

18、，则不能正常工作 对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比之比wl为标准 在工程上，吊车梁的在工程上，吊车梁的 1/600 1/600 wl铁路钢桁梁的铁路钢桁梁的 1/9001/900wl梁的刚度条件为梁的刚度条件为: :maxwwll 例14-3 图示简支梁由工字钢制成， 跨度中点处承受集中载荷 Fp。已知Fp=40KN，跨度l l=3m ，许用应力=160MPa，许用挠度w= /500，弹性模量E=2105MPa ，试选择工字钢的型号。解解 （1 1）按强度条件选择工字钢型号）按强度条件选择工字钢型号梁的最大弯矩为：梁的最大弯矩为： max

19、4PF lM3340 103 104Nmm 73 10 N mm按弯曲正应力强度条件选截面按弯曲正应力强度条件选截面m ax7m ax5333101601.87510187.5MWMNm mWM P am mcm查型钢表选用查型钢表选用20a20a工字钢工字钢, ,其弯曲截面系数为其弯曲截面系数为237cm3237cm3，惯性矩，惯性矩I=2370cm4I=2370cm4（2 2）校核梁的刚度）校核梁的刚度33357440 10(3000)4848 2 102.37 10pF lNmmwEIMPamm w30006500mmmm=4.75mm=4.75mm=梁的刚度足够梁的刚度足够 所以，选用

20、所以，选用20a20a工字钢工字钢 3 3、提高梁抗弯刚度的措施、提高梁抗弯刚度的措施梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI EI 、梁的跨、梁的跨度度L L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：抗弯刚度可以采取以下措施：(1)(1) 增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI EI 增大梁的增大梁的EIEI值主要是设法增大梁截面的惯性矩值主要是设法增大梁截面的惯性矩I I 值，一般不采用增大值，一般不采用增大E E 值的方法。值的方法。 在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形在截面面积不变的情况下，采用合理的截面

21、形状，可提高惯性矩状，可提高惯性矩I I 。 （2 2）减小梁的跨度）减小梁的跨度L L梁的变形与其跨度的梁的变形与其跨度的n n次幂成正比。设法减小次幂成正比。设法减小梁的跨度梁的跨度L L ，将有效地减小梁的变形，从而提，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用高其刚度。在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小两种办法减小L L 值：值： 增加中间支座增加中间支座 45384aqlfEIbf 38af而两端支座内移两端支座内移 如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减成外伸梁，一方面减小

22、了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图（图c c），从而使梁中段在荷载作用下产生），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。的最大挠度值。(3) (3) 改善荷载的作用情况改善荷载的作用情况在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所示，将集中力分

23、散作用，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用，甚至甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。变形减小，刚度提高。 14.414.4图乘法图乘法一、图乘法原理一、图乘法原理1 1、图乘法的适用条件：、图乘法的适用条件：（1 1）杆段的轴线为直线）杆段的轴线为直线 （2 2）杆段的弯曲刚度）杆段的弯曲刚度EIEI为常数为常数 直梁和刚架的直梁和刚架的位移公式则为位移公式则为001llppMMdsMM dxEIEI （3 3） M MP P图和图和图中至少有一个直线图形图中至少有一个直线图形 图乘法原理图乘法原理 dPMMsEI1dPMMsEI1

24、tandPxMxEItandPxMxEItan1BDcBDcAxAyEIEI图乘法求位移的一般表达式为图乘法求位移的一般表达式为1CAyEI 注意：注意：1. 1. 应取自直线图中应取自直线图中2.2.若若 与与 在杆件的同侧在杆件的同侧, , 取正值取正值; ;反之反之, ,取负值取负值3. 3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. .cyAcy3.3.图乘法的步骤图乘法的步骤: :(1).(1).设虚拟状态；设虚拟状态；PMM(2).(2).画画图图、图图；(3).(3).图乘求位移图乘求位移下面介绍几个规则图形的面积和形心位置 当图形的面积和形心不便确定时，可

25、以将其当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分解成几个简单的图形，分别与另一图形相分别与另一图形相应的纵坐标相乘。应的纵坐标相乘。4.4.图形的分解图形的分解梯梯- -梯同侧组合：梯同侧组合：1122111112121()()233233CCCAyA yA yEIEIlaedlbedEI同侧组合：同侧组合：1122111111()( -b) (d( -d)223CCCAyAyA yEIEIlbd el aeEI1122111121121()()233233CCCAyAyA yEIEIladelbedEI异侧组合由区段叠加法作的弯矩图由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩图可，其

26、弯矩图可以看成一个梯形和一个规则抛物线图形以看成一个梯形和一个规则抛物线图形的叠加的叠加 。曲曲- -折组合折组合1122331cccA yA yA yEI阶梯形截面杆阶梯形截面杆1122331 12 23 3cccA yA yA yE IE IE I二、二、 图乘法计算直梁和刚架的位移图乘法计算直梁和刚架的位移 下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移 例例14.4 14.4 试求图试求图a a所示外伸梁所示外伸梁C C点的竖向位移点的竖向位移 CVCV。梁的。梁的EI=EI=常数常数 解解 MP、 M 图分别如图图分别如图 (b).(c)(b).(c)所示所

27、示。 BC BC 段的段的M MP P图是标准二图是标准二次抛物线；次抛物线； ABAB段的段的M MP P图较复杂，图较复杂， 但可将其分解为一个但可将其分解为一个三角形和一个标准二三角形和一个标准二次抛物线图形次抛物线图形 。由图乘法得 1122332111()11328342cvA yA yA yEIlAqlly221128Alql2232ly 232138Alql3122ly 代入以上数据代入以上数据, ,于是于是33313488163124CVqlqllqlllEI 4128qlEI例例14.514.5 试求图试求图a a所示伸臂梁所示伸臂梁C C点的竖向位移点的竖向位移 cv cv

28、 。 设设EI=EI=521.5 10 KN m解: 荷载弯矩图和单位弯矩图如图荷载弯矩图和单位弯矩图如图 b cb c所示。所示。 在在ABAB段段, M, MP P和和M图均是三角形；图均是三角形； 在在BCBC段，段，M MP P图图 可看作是由可看作是由B.C B.C 两端的弯矩竖标所连成的三角形两端的弯矩竖标所连成的三角形与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图 即图即图b b中虚线与曲线之间包含的面积中虚线与曲线之间包含的面积 叠加而成。叠加而成。 将上述各部分分别图乘再叠加，即得将上述各部分分别图乘再叠加，即得11122300 6 44

29、5 6 323CVEIEI 5666066600.04444.441.5 10mcmEI例例14.6 14.6 试求图试求图 (a)(a)所示刚架结点所示刚架结点B B的水平的水平BH。 位移位移 设各杆为矩形截面，截面尺寸设各杆为矩形截面，截面尺寸为为bxhbxh，惯性矩，惯性矩l= ,l= ,312bhE E为常数，只为常数，只考虑弯矩变形的影响。考虑弯矩变形的影响。 解: 先作出先作出M MP P图和图和M图图, , 分别如图分别如图 (b) (c)(b) (c)所示。所示。 应用图乘法求得结点应用图乘法求得结点B B的水平位移为的水平位移为：1122331BHyyyEI22211121

30、1221223223382lqlllqlllqllEI 438qlEI14.5 14.5 静定结构由于支座位移所引起的位移静定结构由于支座位移所引起的位移静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。只发生刚体位移。 如图如图 a a所示静定结构所示静定结构, ,其支座其支座 发生水平位移发生水平位移C C1 1 、竖向位移、竖向位移C C2 2 和转角和转角C C3 3， 现要求由此引起的任现要求由此引起的任一点沿任一方向的位一点沿任一方向的位移，例如求移，例如求k k点竖向位点竖向位移移K。 因为从实际状态中取出的微段因为从实际状态中取

31、出的微段dsds的变形为的变形为d d这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计算的一这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计算的一般公式般公式 KMNdFQduFRiCidvFdv0=du= 于是上式可简化为于是上式可简化为RiFK= -Ci 这就是静定结构在支座位移时的这就是静定结构在支座位移时的位移计算公式位移计算公式。 式中式中RiF 为虚拟状态图为虚拟状态图b b的支座反力的支座反力， CiCi为实际状态的支座位移，为实际状态的支座位移， RiFC Ci i为反力虚功。为反力虚功。 当当RiF与实际支座位移与实际支座位移C Ci i 的的方向一致时其乘积取正，方向一致时其乘积取正，相反时取负。

32、相反时取负。 此外，上式右边前面还此外，上式右边前面还有一个有一个负号负号，不可漏掉。，不可漏掉。cHcH、竖向位移、竖向位移例例14.714.7 图图 (a)(a)所示静定刚架，若支架所示静定刚架，若支架A A发生图示的位发生图示的位移移:a=1.0cm,b=1.5cm. :a=1.0cm,b=1.5cm. Cv。试求试求C C点的水平位移点的水平位移解解 在在C C 点处分别加一水平和竖向的单位力，点处分别加一水平和竖向的单位力，求出其支座反力如图求出其支座反力如图 (b) (c) (b) (c) 所示。所示。 由公式由公式K= -RiFCi 得：得： cH=-(11.0-11.5)=0.

33、5cm cv=-1.51=-1.5cm14.6 14.6 互等定理互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理图示结构的两种状态，分别作用图示结构的两种状态，分别作用F FP1P1和和F FP2P2， 称之为第一状态和第二状态。称之为第一状态和第二状态。 虚功 W12为121212112QQNNPkF F dsF F dsM M dsFEAGAEI虚功 W21为212121221QQNNPkF F dsFF dsM M dsFEAGAEI112221PPFF比较，得功的互等定理比较，得功的互等定理: :W W1212=W=W2121即即: :功的互等定理一般形式为功的互等定理一般形式为: : Pk

34、kiPiikFF因此得到功的因此得到功的互等定理互等定理： 第一状态的外力在第二状态的相应位第一状态的外力在第二状态的相应位移上所作的外力虚功，等于第二状态移上所作的外力虚功，等于第二状态的外力在第一状态的相应位移上所作的外力在第一状态的相应位移上所作的外力虚功。的外力虚功。 二、位移互等定理二、位移互等定理条件：在结构的条件：在结构的两种状态中都只两种状态中都只作用一个荷载，作用一个荷载， 且为单位荷载。且为单位荷载。 单位荷载所引起单位荷载所引起的位移称为位移的位移称为位移系数，用系数，用ij表示（图表示（图a.ba.b）1221 根据功的根据功的互等定理互等定理121211即即1221这

35、就是这就是位移互等定理位移互等定理： 第二个单位力所引起的第一个单位力作用点第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。的第二个单位力作用点沿其方向的位移。 上述定理中，上述定理中，单位力可以是广单位力可以是广义单位力，相应义单位力，相应的位移系数亦为的位移系数亦为广义位移。广义位移。 2121与与1212可能含可能含1221即CAf义不同，但二者义不同，但二者数值相等。数值相等。三、反力互等定三、反力互等定理理反力互等定理也是功的互等定理的一种应用，反力互等定理也是功的互等定理的一种应用

36、，它反映在超静定结构中如果两个支座分别发它反映在超静定结构中如果两个支座分别发生单位位移时，两个状态中相应支座反力的生单位位移时，两个状态中相应支座反力的互等关系。单位位移引起的支座反力称为反互等关系。单位位移引起的支座反力称为反力系数，用力系数，用r rijij表示表示 根据功的互等定理，有即这就是这就是反力互等定理反力互等定理，它表明支座，它表明支座1 1发生单位位发生单位位移所引起的支座移所引起的支座2 2的反力，等于支座的反力，等于支座2 2发生与上发生与上述反力相应的单位位移所引起的支座述反力相应的单位位移所引起的支座1 1的反力。的反力。r211=r121r21=r12应注意支座的位移与该支座的反力在作功关系上的对应关系，即线位移与集中力相对应，角位移与集中力偶相对应。 可能r12与 r21 一个是反力偶，一个是反力，但二者的