2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程(共13页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离学习目标1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题知识点一点到直线的距离思考1如图，点P(x0，y0)到直线AxByC0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？答案d.思考2根据思考1的思路，点P到直线AxByC0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？答案d.思考3点到直线的距离公式对于A0或B0时的直线是否仍然适用？答案仍然适用，当A0，B0时，直线l的方程为ByC0，即y，d|y0|，适合公式

2、当B0，A0时，直线l的方程为AxC0，x，d|x0|，适合公式梳理点到直线的距离(1)定义：点到直线的垂线段的长度(2)图示：(3)公式：d.知识点二两条平行直线间的距离思考直线l1：xy10上有A(1,0)、B(0,1)、C(1,2)三点，直线l2：xy10与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？答案点A、B、C到直线l2的距离分别为、.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等梳理两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长(2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离(4)公式：两条平行直线l1：AxByC10与l2：

3、AxByC20之间的距离d.类型一点到直线的距离例1(1)求点P(2，3)到下列直线的距离yx；3y4；x3.解yx可化为4x3y10，点P(2，3)到该直线的距离为；3y4可化为3y40，由点到直线的距离公式得；x3可化为x30，由点到直线的距离公式得1.(2)求过点M(1,2)，且与点A(2,3)，B(4,5)距离相等的直线l的方程解方法一当过点M(1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，恰好与A(2,3)，B(4,5)两点距离相等，故x1满足题意，当过点M(1,2)的直线l的斜率存在时，设l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由点A(2,3)与B(4,5)到直线l的距离相

4、等，得，解得k，此时l的方程为y2(x1)，即x3y50.综上所述直线l的方程为x1或x3y50.方法二由题意得lAB或l过AB的中点，当lAB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，则kABkl，此时直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点(1,4)时，直线l的方程为x1.综上所述，直线l的方程为x1或x3y50.反思与感悟(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题：直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用直线方程AxByC0，当A0或B0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结

5、合求解(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意跟踪训练1(1)若点(4，a)到直线4x3y0的距离不大于3，则a的取值范围是_(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_答案(1)，(2)2xy20或2x3y180解析(1)由题意知3，解得a，故a的取值范围为，(2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x3与A、B两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知得，k2或k，所求直线l的方程为2x3y180或2xy20.类型二两平行线间的距离例2(1)两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间

6、的距离为_(2)已知直线l与两直线l1：2xy30和l2：2xy10的距离相等，则l的方程为_答案(1)(2)2xy10解析(1)由题意，得，m2，将直线3xy30化为6x2y60，由两平行线间距离公式，得.(2)设直线l的方程为2xyc0，由题意，得，解得c1，直线l的方程为2xy10.反思与感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：ykxb1，l2：ykxb2，且b1b2时，d；当直线l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2时，d.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等跟踪训练2(1)求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线方程；(

7、2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程解(1)方法一设所求直线的方程为5x12yC0，在直线5x12y60上取一点P0(0，)，则点P0到直线5x12yC0的距离为，由题意，得2，所以C32或C20，故所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.方法二设所求直线的方程为5x12yC0，由两平行直线间的距离公式得2，解得C32或C20，故所求直线的方程为5x12y320或5x12y200.(2)依题意，两直线的斜率都存在，设l1：yk(x1)，即kxyk0，l2：ykx5，即kxy50.因为l1与l2的距离为5，所以5，解得k0

8、或.所以l1和l2的方程分别为y0和y5或5x12y50和5x12y600.类型三利用距离公式求最值例3已知实数x，y满足6x8y10，则的最小值为_答案解析，上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，即为点N到直线l：6x8y10上任意一点M(x，y)的距离，S|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|mind.反思与感悟解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决跟踪训练3(1)动点P(x，y)在直线xy40上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程解(1)直线上的点到原

9、点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP1，OP所在直线方程为yx，由解得P点坐标为(2,2)(2)由题意知过P点且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，kOP2，所求直线方程为y2(x1)，即x2y50.例4两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(3，1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.(1)求d的取值范围；(2)求d取最大值时，两条直线的方程解(1)设经过A点和B点的直线分别为l1、l2，显然当时，l1和l2的距离最大，且最大值为|AB|3，d的取值范围为(0,3(2)由(1)知dmax3，此时k3，两直线的方程分别为3xy200或3

10、xy100.反思与感悟两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值跟踪训练4已知P，Q分别是直线3x4y50与6x8y50上的动点，则|PQ|的最小值为()A3 B. C. D.答案D解析两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x4y50可化为6x8y100，则|PQ|.1已知点(a,1)到直线xy10的距离为1，则a的值为()A1 B1 C. D±答案D解析由题意知1，即|a|，a±.2直线x2y10与直线x2yc0的距离为2，则c的值为()A9 B11或9C11 D9或11答案B解析两平行线间的距离为d2，解得c9或11

11、.3已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2xy10上，则|MP|的最小值是()A. B.C. D3答案B解析点M到直线2xy10的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为.4两平行直线3x4y50与6xay300间的距离为d，则ad_.答案10解析由两直线平行知，a8，d2，ad10.5直线3x4y270上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是_答案(5，3)解析由题意知过点P作直线3x4y270的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小，直线MP的方程为y1(x2)，解方程组得所求点的坐标为(5，3)1点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注

12、意把直线方程化为一般式当直线与坐标轴垂直时可直接求之2利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰3已知两平行直线，其距离可利用公式d求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离课时作业一、选择题1点(1，1)到直线y1的距离是()A. B.C3 D2答案D解析d2，故选D.2两平行线3x4y70和6x8y30之间的距离为()A. B2C. D.答案C解析3x4y70可化为6x8y140，由两平行线间的距离公式可得.3已知点A(3，4)，B(6,3)到直线l：axy10的距离相等，则实数a的值等于()A. BC或 D或答案C解析由点到直线的距离公式可得，化

13、简得|3a3|6a4|，解得实数a或.故选C.4到直线2xy10的距离等于的直线方程为()A2xy0B2xy20C2xy0或2xy20D2xy0或2xy20答案D解析根据题意可设所求直线方程为2xyc0，因为两直线间的距离等于，所以d，解得c0或c2，故所求直线方程为2xy0或2xy20.5点P(2,3)到直线：ax(a1)y30的距离d为最大时，d与a的值依次为()A3，3 B5,2C5,1 D7,1答案C解析直线恒过点A(3,3)，根据已知条件可知当直线ax(a1)y30与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a1.故选C.6两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满

14、足的条件是()A0<d3 B0<d5C0<d<4 D3d5答案B解析当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|5，所以0<d5.7过两直线xy10和xy10的交点，并与原点的距离等于1的直线共有()A0条 B1条C2条 D3条答案B解析联立得两直线交点为(0,1)，由交点到原点的距离1，故只有1条8若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是()A3 B2C3 D4答案A解析由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为xy60，M到原点的

15、距离的最小值为d3.二、填空题9点P(x，y)在直线xy40上，则x2y2的最小值是_答案8解析由x2y2的实际意义可知，它代表直线xy40上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x2y2)min28.10若点(2，k)到直线5x12y60的距离是4，则k的值是_答案3或解析d，由题意知4，即1，k3或k.11经过点P(3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为_答案x3或7x24y750解析(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x3的距离等于3，满足题意；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y4k(x3)，即kxy3k40.原点到直线l的距离

16、d3，解得k.直线l的方程为7x24y750.综上，直线l的方程为x3或7x24y750.三、解答题12如图，已知直线l1：xy10，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程解设l2的方程为yxb(b>1)，则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，|AD|，|BC|b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h(b>1)，由梯形面积公式得×4，b29，b±3.但b>1，b3.从而得到直线l2的方程是xy30.四、探究与拓展13已知入射光线在直线l1：2xy3上，经过x轴反射到直线l2上，

17、再经过y轴反射到直线l3上若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为()A6 B3 C. D.答案C解析如图所示，结合图形可知，直线l1l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y2x3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y2x3.由两平行线间的距离公式得l1与l3间的距离d，即点P到直线l3的距离为.14已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，求一点P，使|PA|PB|，且点P到l的距离等于2.解AB的中点坐标为(3，2)，kAB1，所以线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50，设点P(a，b

18、)，则P在直线xy50上，故ab50，又2，解得或故所求的点为P(1，4)或P(，)风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间，为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口，直到你归了土；因为你是从土而出的。你本是尘土，仍要归于尘土。 我始终相信，开始在内心生活得更严肃的人

19、，也会在外表上开始生活得更朴素。在一个奢华浪费的年代，我希望能向世界表明，人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情，最忌讳的就是个十全十美，你看那天上的月亮，一旦圆满了，马上就要亏厌；树上的果子，一旦熟透了，马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺，才能持恒。 只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老，不解多情，长恨离亭，滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急，淡月朦胧，好梦频惊，何处高楼雁一声？ 如果你长时间盯着深渊，深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也都已启程 却忽然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如

20、何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的扉页 命运将它装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇，永远不会败落。 我也要求你读书用功，不是因为我要你跟别人比成就，而是因为，我希望你将来会拥有选择的权利，选择有意义，有时间的工作，而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间 三千年读史，不外功名利禄；九万里悟道，终归诗酒田园。 这是一个最好的时代，这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代，这是一个愚蠢的年代；这是一个光明的季节，这是一个黑暗的季节；这是希望之春，这是失

21、望之冬；人们面前应有尽有，人们面前一无所有；人们正踏上天堂之路，人们正走向地狱之门。 我有所感事，结在深深肠。 你一定要“离开”才能开展你自己。所谓父母，就是那不断对着背影既欣喜又悲伤，想追回拥抱又不敢声张的人。 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围，就是他的世界。因为爱过，所以慈悲；因为懂得，所以宽容。 刻意去找的东西，往往是找不到的。天下万物的来和去，都有他的时间。 与善人居，如入芝兰之室，久而自芳也；与恶人居，如入鲍鱼之肆，久而自臭也。 曾经沧海难为水，除却巫山不是云。 回首向来萧瑟处，归去，也无风雨也无晴。 半生闯荡，带来家业丰厚，儿孙满堂，行走一生的脚步，起点，终点，归根到

22、底，都是家所在的地方，这是中国人秉持千年的信仰，朴素，但有力量。风吹不倒有根的树我能承受多少磨难，就可以问老天要多少人生。心，若没有栖息的地方，到哪里都是流浪.如果有来生，要做一只鸟，飞越永恒，没有迷途的苦恼。东方有火红的希望，南方有温暖的巢床，向西逐退残阳，向北唤醒芬芳。如果有来生，希望每次相遇，都能化为永恒。不乱于心，不困于情。不畏将来，不念过往。如此，安好。 笑，全世界便与你同声笑，哭，你便独自哭。 一辈子，不说后悔，不诉离伤。上帝作证，我是真的想忘记，但上帝也知道，我是真的忘不了 如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了，一半一半，选哪一半都很困难，所以这才是选择。跟着你，

23、在哪里，做什么，都好。眠。我倾尽一生，囚你无期。择一人深爱，等一人终老。痴一人情深，留一世繁华。断一根琴弦，歌一曲离别。我背弃一切，共度朝夕。 人总是在接近幸福时倍感幸福，在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过，留下的且当珍惜 我相信，真正在乎我的人是不会被别人抢走的，无论是友情，还是爱情。我还是相信，星星会说话，石头会开花，穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后，你终会抵达！ 每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光，提醒我，若不学会遗忘，就背负绝望。 那一年夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你

24、到最后的最后。 如果一开始就知道是这样的结局，我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。 黄昏是一天最美丽的时刻，愿每一颗流浪的心，在一盏灯光下，得到永远的归宿。 因为有了因为，所以有了所以。既然已成既然，何必再说何必。想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。你受的苦，会照亮你的路。 我希望有个如你一般的人。如这山间清晨一般明亮清爽的人，如奔赴古城道路上阳光一般的人，温暖而不炙热，覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚，由山野到书房，一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人，贯彻未来，数遍生命的公路牌。 岁月极美，在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生，风雪是你，成多每内淡是你，清贫是

25、你，荣华是你，心底温柔是你，并用光所内为界，也是你。个人的遭遇，命运的多舛都使我被迫成熟，这一切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏,是一个关于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过很多的朋友,没有谁像你一样的温柔,每当你牵起我的手,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。 有些人，有些事,是不是你想忘记,就真的能忘记?也许有那么一个时侯，你忽然会觉得很绝望，觉得全世界都背弃了你，活着就是承担屈辱和痛苦。这个时候你要对自己说，没关系，很多人都是这样长大的。风平浪静的人生是中年以后的追求。当你尚在年少，你受的苦，吃的亏，担的责，扛的罪，忍的痛，到最后都会变成光，照亮你的路。 你要做一个不动声色的大人了。不准情绪化，不准偷偷想念，不准回头看。去过自己另外的生活。你要听话，不是所有的鱼都会生活在同一片海里。有人说，鲁迅是杂文，胡适是评论；鲁迅是酒，胡适是水。酒让人看到真性情，也看到癫狂，唯有水，才是日常所需，是真生活。有时候会很自豪地觉得，我唯一的优势就是，比你卑微。于是自由