高中数学必修一专题复习

1、高一数学必修一专题复习第一章集合与函数概念知识架构集合与函数概念-13 - / 50集合映射合表示法列 举 法映 射 的 概 念函 数 及 苴 表 示函 数 基 本 性 质函 数 的 概 念函 数 的 表 示 法性值函 数 的 奇 偶 性第一讲 集合知识梳理一：集合的含义及其关系1 .集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性；2 .集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3 .集合中元素与集合的关系：文字语百符号语言属于不属于4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN咽N +ZQRC集合间的基本关系表小关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所

2、有元素 都相同AE B旦BE A uA =B子集A中任意 元素均为 B中的元 素A三B或B3A真子集A中任意 元素均为 B中的元 素，且B中至少有 元素不是 A的元素A呈B空集空集是任何集合的子集，是任 何非空集合的真子集三 A,B ( B0 )三：集合的基本运算两个集合的交集：AC B=(xxW A且xW B);两个集合的并集：AlJ B =x x w A或x亡B) ;设全集是U,集合AJU ,则CU A = xxU且x尧A交并补nuaDb =x | x w A,且x w BAU B = x | x 亡 A,或x 乏 BCU A = xx 匚 U 且x： A)方法:常用数轴或韦恩图进行集合的

3、交、并、补三种运算重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的 交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。重难点：1 .集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2 .集合的表示法(1)列举法要注意元素的三个特性；(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如&y = f(x)、yy=f(x)k4x, y) y = f (x)等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：(3)Venn图

4、是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。3 .集合间的关系的几个重要结论(1)空集是任何集合的子集，即 , A(2)任何集合都是它本身的子集，即 A A(3)子集、真子集都有传递性，即若 A= B , BE C ,则A£ C4 .集合的运算性质(1)交集： ABuBCa； aCIa = a； Ane=®； A，BA, aCI bc bAB =A= AE B ;=A; aUb=A, aUbmb(2)并集: aUb = bUa；aUa=a；AU*aUb =Au bg a；(3)交、并、补集的关系 AngA：个；AUcU A=U Cu(

5、AnB) =(CuA)U(CuB) ； Cu(aUb) = (CuA)D(CuB)热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1:集合元素的基本特征例1 （2008年江西理）定义集合运算：A* B = z|z = xy,xw A,yw B.设A = 1,2,B =0,2,则集合Aw B的所有元素之和为（）A. 0; B. 2; C. 3; D. 6解题思路根据A* B的定义，让x在A中逐一取值，让y在B中逐一取值，xy在值就是A* B 的元素解析：正确解答本题，必需清楚集合 A* B中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B = "0,2,4/,故应选择D【名师指引】这类将新定

6、义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型2:集合间的基本关系例 2.数集 X =42n +1）n,n w Z 与丫 =（4k ±1）n,k w Z之的关系是（）A. X 呈Y; B. Y" X ; C. X = Y; D. X #Y解题思路可有两种思路：一是将 X和Y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之 间的关系进行判断。解析从题意看，数集 X与Y之间必然有关系，如果 A成立，则D就成立，这不可能； 同样，B也不能成立；而如果 D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是

7、C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。新题导练1 .第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008年8月8日在北京举行，若集合A=参加北京奥 运会比赛的运动员,集合B=参加北京奥运会比赛的男运动员 ,集合C=参加北京奥运会比 赛的女运动员,则下列关系正确的是（）A . A±B B. B±C C. AB=C D. bUc = A解析D；因为全集为 A,而8=全集=人2 . （2006 ?山东改编）定义集合运算：A ® B = ，= x2y+ xy2,xW A, y w B），设集

8、合A = 1,0,B =也3上则集合A ® B的所有元素之和为 解析18,根据A®B的定义，得到 A®B =0,6,12,故A® B的所有元素之和为183 . （2007湖北改编）设 P和Q是两个集合，定义集合P -Q =（x|xw P,且x Q,如果P = & log3 x <1上 Q = xx <11 那么 P -Q 等于解析&1<x<3）;因为 P = log3 x <"= （0,3）, Q = © x < 1= （-1,1）,所以P -Q =（1,3）4 .研究集合 A =

9、qy = x24）, B=yy = x24）, C = x, y） y = x2-4 1 之间的关系 解析A与C, B与C都无包含关系，而 B A；因为A =4y = x2 -4）表示y=x24的定义域，故庆=； B = yy = x24表示函数y=x24的值域，B =<y)；C =I(x,y) y =x2 4)表示曲线y = x2 4上的点集，可见， B至A ,而A与C , B与C都无包含关系考点二：集合的基本运算例 3设集合 A = & x2 3x + 2 =01 B =x2 +2(a +1)x + (a2 5) = 0(1) 若AnB = 2,求实数a的值;(2)若AUB

10、= A,求实数a的取值范围若An B=2,解题思路对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析因为 A = &x2 3x+2=0 = 1,2,(1)由 AB =2知，2w B ,从而得 22 +4(a +1) + (a2 5) =0 ,即2a 4 4a +3=0,国牛付 a = 1 或 a = 3当 a = -1 时，B= 4x2 4=0= 2,-2，满足条件；当a = -3时，B = «x24x+4 = 01=七上满足条件所以a = 1或a = 3(2)对于集合 B ,由 =4(a +1)2 -4(a2 5) =8(a +3) 因为aU B

11、= A,所以Bl A当 < 0 ,即a < 3时，B =金，满足条件；当 =0 ,即a = 3时，B =,满足条件；当A>。，即a 3时，B = A =11,2才能满足条件，由根与系数的关系得1 +2 = -2(a +1) _22 = a -55a 二 一 一2 ,矛盾a2 = 7故实数a的取值范围是a < -3【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要 注意集合的子集要考虑空与不空，不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.抢分频道基础巩固训练：1. (09年吴川市川西中学 09届第四次月考)设全集U =R, A =x x(x+3)

12、<0, B =x x <1,则右图中阴影部分表示的集合为()A.xx>。；B.x3<x<0； C.x3<x<仆；D.xxc1解析C；图中阴影部分表示的集合是AB,而人=卜3<x<0,故A B "x -3 : x 一 1)2. (韶关 09 届高三摸底考)已知 A = x x(1x) >0, B=xlog2x<0则 AljB =A. (0,1); B. (0,2); C. (-,0)； D. S0)|J(0, +s)解析A;因为 A =40<x<1, B =40<x<1,所以 aUb = x0&l

13、t;x<13. (苏州09届高三调研考)集合-1,0,1的所有子集个数为3解析8;集合 -1,0,1的所有子集个数为 23 = 84. (09年无锡市高三第一次月考)集合A中的代表元素设为 x ,集合B中的代表元素设为 y ,若三xwB且VywA,则A与B的关系是解析B J A或Ac B #0 ；由子集和交集的定义即可得到结论5. (2008 年天津)设集合 S =1x| x2 >3T = k|a <x <a+81SUT = R，则 a的取值 范围是()A. -3 <a <-1； B. -3 < a < -1C. a £ 3 或 a 2

14、1 ; D. a < 3 或 a a 1解析A； S = x| x2 >3)=xx M1 或x>5, T = xa<xca+8L sUt = R a < -1，“口所以,，从而得3ca c1© +8 >5综合提高训练：6. P =和-1 <m <0)，Q = t w Rmx2 +4mx-4 < 0对于任意实数x包成立 则下列主系中立的是_()A. P 星Q; B. Q" P;C. P=Q;D. pQq=4m < 0解析A ；当m # 0时，有，即1A =(4m)2 -4Mm"Y) <0Q =(m w

15、 R -1 <m <。；当 m = 0时，mx2 +4mx -4 < 0也恒成立，故Q =峪乏R 1 <m M0,所以p杂Q7 .设 f(n) =2n+1(n w N) , P = t|,2,3,4,5), Q = ),4,5,6,7,记? = %w N f (n) w p, d =WN*f(n)WQ L 则(而 CNQ?) U 砥 cn p)=()A. ，0,3); B. 1,2); C. ；3,4,5); D.，1,2,6,7；解析A ;依题意得 F=0,1,2, Q? = 1,2,3),所以(f?nCNd) =0,(Q? CnP)=3),故应选 A8 . (09届

16、惠州第一次调研考)设 A B是非空集合，定义AB=xxw AuBlxAcB,已知 A=x| y = J2x_x2 , B= y | y = 2x,x >0, 则AX B等于()A. 。B. 10,1】U2,y )； C. 0,1)J2,); D. I0,1|J(2,)2x解析D; 2x -x 之0= 0 <x <2 ,A=0, 2, x A0= 2 >1 , B= (1 ,+8),.AUB=0, +8), An B= (1, 2,则 AXB = 10.1 lu (2, 二)第2讲函数与映射的概念知识梳理1 .函数的概念 (1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集如果按照

17、某种对应法则f ,对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y = f (x), x A(2)函数的定义域、值域在函数y = f (x), x w A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做y = f (x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合"(x) x w A)称为函数y=f(x)的值域。(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2 .映射的概念设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f ,对于集合 A中的任意元素,在集合 B中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记

18、为f : A > B重、难点突破重点：掌握 映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1.关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1:已知函数y = f (x)的定义域为a, b,求y = f (x +2)的定义域误解因为函数y = f (x)的定义域为a, b,所以a<x <b,从而a+2Wx + 2wb + 2故y =f (x+2)的定义域是a+2,b+2正解因为y = f(x)的定义域为a, b,所以在函数y=f(x + 2)中，a<x + 2<b ,从而a2

19、 Mx Eb_2,故 y = f (x+2)的定义域是a 2,b2即本题的实质是求 ax+2Mb中x的范围问题2：已知y = f (x+2)的定义域是a, b,求函数y = f (x)的定义域误解因为函数y = f (x+2)的定义域是a, b,所以得到aEx + 2Eb,从而a -2 <x <b-2,所以函数y = f(x)的定义域是a2,b2正解因为函数y = f (x +2)的定义域是a, b,则aWxEb,从而a + 2Wx + 2b + 2所以函数y = f(x)的定义域是a+2,b+2即本题的实质是由a Ex Wb求x+2的范围即f (x)与f (x +2)中x含义不同

20、2.求值域的几种常用方法(1 )配方法：对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数.222y =-sin x2cosx+4 ,可变为 y =-sin x -2cosx+4 = (cosx -1) +2解决(2)基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数22y=logi(x +2x+3)就是利用函数 y = log1 u u = -x +2x + 3的值域来求。 22,. 一，. 2x 1(3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数y = 的值域x2 -2x 2, 2x 1o1由 y 得 yx2 2(y+1)x + 2y 1=0,若 y

21、= 0,则得 x = ,所以 y = 0是x -2x 22函 数值域 中的一个值；若y #0 ,则由 =2(y +1)2 -4y(2y-1)之0得3-13313 厂3-13w y w且y丰0 ,故所求值域是 222(4)分离常数法：常用来求 分式型”函数的值域。如求函数丫 = 2cosx 3的值域,因为cosx 12cosx - 35_ y =2 ,而 cosx+lw (0,2,所以cosx 1cosx 1一 1,y (-:，-23x(5)利用基本不等式求值域：如求函数y = -x-的值域x 455,(_«,_,故cosx 12当 x=0时，y=0；当 x=0时，y34 xx一 4

22、一 4,若 x >0,则 x +之 2 x，一 = 4 x , x4.4 一 . . . 4 、,则x+_ = Tx +)<2J(-x)() =4,从而得所求值域是 x- x .- x4,4(6)利用函数的单调性求求值域：如求函数y=2x4 x2+2(xw1,2)的值域1因 y =8x 2x=2x(4x -1),故函数 y=2x -x +2(xW1,2)在(一1,一一)上递减、在2(-1,0)上递增、在(0,工)上递减、在(1,2)上递增，从而可得所求值域为15,302228(7)图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域(求某些 分段函数的值域常用此法)

23、。热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数例1试判断以下各组函数是否表示同一函数?(1) f(x)=Vx2, g(x)=3/x3；|x|1(2)f (x) = ，g(x)=x1x - 0,x : : 0; f(x)=2n#x2n书,g(x) = (2ndx)2n,(nCN*);(4) f (x) = Ux Jx +1 , g(x)=Jx2+x； f (x) = x2 -2x -1, g(t)=t2-2t-1解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析(1)由于f (x) =vx2 = x , g(x) =Vx3 = x,故它们的值域及对应法则都不相同, 所以它

24、们不是同一函数.高一数学必修一专题复习一. X 一 一,、1 X20,、(2)由于函数f(x)=U的定义域为(_g,0)U(0,+a),而g(x)=的定义x-1 x<0;域为R,所以它们不是同一函数.(3)由于当nCN*时，2n十为奇数， f(x)=2n：5L = x, g(x)=(2n志)2n= x, 它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数(4)由于函数f (x) = jx Jx+1的定义域为xx占0,而g(x) =x2 +x的定义域为xx 一0或乂 一 -1),它们的定义域不同，所以它们不是同一函数1. )函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数 答案(

25、1)、(2)、(4)不是；(3)、(5)是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应 关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函 数。第(5)小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如f(x)=x2+1,22f (t) =t2 +1 , f (u +1) = (u +1)2 +1 都可视为同一函数 新题导练2. (2009佛山)下列函数中与函数 y=x相同的是()2“，23 .32xA .y = ( - x ) ;

26、 B. y = '一 t ; C. y = , x ; D. y= x解析B;因为y =所以应选择 B3. (09年重庆南开中学)与函数y =0.11g(2x,)的图象相同的函数是()1、 一A. y =2x -1 (x >-) ； B. y =;C. y =2x -12x -1d. y =|2x-1lg 一解析C;根据对数恒等式得y=011g(2x ) =10 2x,-,且函数y = 0.1lg(2x )的定义2x -1，1 域为(一，+gC),故应选择 C2考点二：求函数的定义域、值域题型1:求有解析式的函数的定义域例 2. (08 年湖北)函数 f (x) =1ln(Jx2

27、 3x+2+dx2 3x + 4)的定义域为() x从(”2尸)旦(-4,0) U (0,1)； c. ,-4,0)U(0,1;D. ,-4,0)U(0,1)解题思路函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数f (x)有意义，必须并且只需-18 -/ 50h 2 一 一x2 3x +2 >02-x 一3x 4 _ 0x2 -3x 2 + ； -x2 -3x 4 0nxwH,0)U(0,1),故应选择x #0【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意： 分母不能为0;对数的真数必须为正； 偶次根式中

28、被开方数应为非 负数；零指数哥中，底数不等于0;负分数指数哥中，底数应大于0;若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要 漏写。题型2:求抽象函数的定义域例 3 (2006 湖北)设 f (x )= lg 2 + x ,贝U f 2Sf 2 的定义域为()2 -x2 xA (-4,0p(0.4); B. (-4,-1p(1.4); C (-2,-1p(1.2 ); D (-4,-2)U(2,4 ) 解题思路要求复合函数f i x 1+ f 2 ；的定义域，应先求f

29、 (x)的定义域。2 x2 x解析由2- A0得，f (x)的定义域为2 -x-2 :二 土二 2,2-2 :二-：2.解得 xJW1 )|J(1,4 )。故 fr 2 'f -的定义域为(4,1产(1,4).选B. d【名师指引】求复合函数定义域，即已知函数f(x)的定义为a,b,则函数fg(x)的定义域是满足不等式a <g(x) <b的x的取值范围；一般地，若函数fg(x)的定义域是a,b,指的是xwa,b,要求f(x)的定义域就是xwa,b时g(x)的值域。题型3；求函数的值域例4已知函数y =x2 4ax+2a +6(a= R),若y至0恒成立，求f (a) = 2

30、 a a+3的值 域解题思路应先由已知条件确定 a取值范围，然后再将f (a)中的绝对值化去之后求值域 .23解析依题意，y 2 0恒成立，则 =16a 4(2a+6) E0,解得1 Ma E,23 217一一所以 f (a) =2 a(a+3) =-(a+)+一，从而 f (a) max = f (-1) = 4 ,2 43 19 19f (a) min = f (一)=一一，所以 f (a)的值域是 ,44 44【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。新题导练、一、一，,一J x 2 1 心 j、,4. (2008安徽文、理)函数 f(x)=的定义域为

31、.log2(x -1)lx -2 -1 >0- c解析3,)；由？解得x至3x -1 >0,x -1 =15. .定义在R上的函数y = f (x)的值域为a,b,则函数y = f (x 1)的值域为()A. a_1,b_1； b. a,b ； c. a+1,b+1； d.无法确定解析B；函数y= f(x-1)的图象可以视为函数 y = f (x)的图象向右平移一个单位而得至L所以，它们的值域是一样的5. (2008江西改)若函数y = f (x)的定义域是1,3,则函数g(x) = f(2x)的定义域是x -113解析,1)U(1,;因为f(x)的定义域为1,3,所以对g(x)

32、, 1W2xW3但x*1故 221 3x -,1) (1,-2 2、一一，一一一，21,一6. (2008江西理改)若函数y = f (x)的值域是,3,则函数F(x)=f(x)+的值域3f(x)是101 2解析2,; F(x)可以视为以f(x)为变量的函数，令t = f(x),则F =t+-( MtM3) 3t 31 t2 -1 (t 1)(t -1)12F' = 1»= = ()()，所以，F=t+1在£,1上是减函数，在1,3上是增函 t2t2t2t 3数，故F(x)的最大值是,最小值是23考点三：映射的概念【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：(1)集

33、合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体系统；(2)对应法则有 方向性”，即强调从集合 A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的 对应关系一般是不同的；(3)集合A中每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯二.的，这是映射区别于一般 对应的本质特征；(4)集合A中不同元素，在集合 B中对应的象可以是同一个；(5)不要求集合B中的每一个元素在集合 A中都有原象.新题导练7 .集合A=3, 4, B=5, 6, 7,那么可建立从 A至U B的映射个数是 ,从B到A的 映射个数是.解析9,8 ;从A到B可分两步进行：第一步 A中的元素3可有3种对应方法(可对应 5 或6或7),第二步A中的元素4也

34、有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数 N1 = 3W =9.反之从B到A,道理相同，有 N2= 2X2X2= 8种不同映射.8 .若f :y=3x+1是从集合A=1 , 2, 3, k到集合B=4 , 7, a4, a2+3a的一个映射,求自然数a、k的值及集合A、B.解析a=2, k=5, A=1, 2, 3, 5, B=4, 7, 10, 16;,. f （1） =3X1 + 1=4, f （2） =3X2+1=7, f （3） =3X3+1=10, f （k） =3k+1 ,由映射的定义知（1）a4 =10, a2 +3a=10, 或（2） J,a2 +3a =3k +1,a4

35、=3k +1.1 a N ,方程组（1）无解.解方程组（2）,得 a=2 或 a=- 5 （舍），3k+1=16, 3k=15, k=5.A=1 , 2, 3, 5, B=4, 7, 10, 16.抢分频道基础巩固训练：11 .（2007广东改编）已知函数f（x） = 的定义域为 N , g（x） = ln（1十x）的定义域为M, ,1 - x解析（叼代c）；因为M =（-1,-），N =（应,1），故M U N = R2 .函数y = Zlog1（3x-2）的定义域是 3解析6,1;由 0<3x2=1 得到 2 cxM13-2x-13.函数y =的值域是2x 12x -1.x y 1y

36、 1解析（1,1）；由y =知y=1,从而得2x =1-,而2x>0,所以工一>0,即211 - y1 - y1 ：二 y ：二 14.（广东从化中学09届月考）从集合 A到B的映射中，下列说法正确的是（）A. B中某一元素b的原象可能不只一个；B. A中某一元素a的象可能不只一个C. A中两个不同元素的象必不相同；D. B中两个不同元素的原象可能相同解析A；根据映射的定义知可排除B、C、D5 .（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射是2A. A =x|x A 0, B = R, f : xT |y|= xB. A = -2,0,2, B =

37、4, f :x > y =x21C. A = R, B = y | y 0, f : x y = 2 xxD. A =0,2, B =0,1, f : xry 二 一2解析D;根据映射的定义知，构成从集合A到集合B的映射是D高一数学必修一专题复习256 . (09年执信中学)若函数 y =x2 3x4的定义域为0, m,值域为，_4,则m的取值范4围是()3一 3. 3 A. (0,4；B. -,3； C. -, 4; D.,+9)23 225 3解析B；因为函数y=x 3x4即为y =(x)，其图象的对称轴为直线 x=, 24225 25其最小值为，并且当x = 0及x = 3时，y

38、= -4 ,若定义域为0, m,值域为-，-4,44一 3 一则3 E m £ 32 综合提高训练： 9 + YY 18. (05天津改)设函数 f(x) = ln，则函数g(x) = f()+f()的定义域是2 -x2 x.112 x .解析(-4, 一一)U (一 ,4)；由:>0 信,222 -xx-2 <-< 2f(x)的定义域为2<乂<2。故21-2 <-< 2I.x11斛得 一4 <x<一一或一 <x<4。 221 9.设函数f(x) =x2 +x+,的定义域是n,n+1 ( n是正整数)，那么f(x)的值

39、域中共有个整数一一 .211 21解析2n + 2 ;因为 f(x)=x +x+=(x + ) +-，可见，f (x)在n,n +1 ( n 是正整 224191.数)上正增函数，又 f (n +1) 一 f (n) =( n +1) +(n+1)十,(n + n + )=2n + 2所以，在f(x)的值域中共有2n+2个整数第3讲函数的表示方法知识梳理、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1 .图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系;2 .列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；3 .解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则

40、用不同式子来表示的函数称为分段函数。重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法 -图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法：,则用待定6数法;5析瑁，则可用换元法或配凑法;已知复方函数 fg(x)的解问题+ 0知二段函 i融+1) _4xj6x + 5 ；1 时间 0(1)若把知函数的类型(如一次函数、f二次函数)方法一：换元法t -1t -1 o t -1 o令 2x+1 =t(t W R),则 X =，从而 f(t)=4()-6 +5 = t 5t+9(twR) 222所以 f (x) = x2 -5x 9(x 三 R

41、)方法二：配凑法 因为 f(2x 1) =4x2 -6x 5 = (2x - 1)2 -10x 4 =(2x 1)2 -5(2x 1) -9所以 f (x) = x2 -5x 9(x R)方法三：待定系数法因为f(x)是二次函数，故可设 f (x) =ax2 +bx + c ,从而由f (2x+1) =4x26x + 5可求出 a =1、b = -S c = 9 ,所以 f (x) = x2 -5x +9(x w R)(3)若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)1 一 .问题2：已知函数f (x)满足f (x) +2f( ) =3x，求f (x) x1 因为 f(x) +

42、2f () =3xx.111以 一代X得 f (_) +2f (x) =3 一xxx1、2由联立消去f()得f (x) = x(x #0) xx热点考点题型探析考点1:用图像法表示函数例1 (09年广东南海中学)一水池有 2个进水口，1个出水口，一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断：进水量出水量蓄水量甲乙丙（1） 0点到3点只进水不出水；（2） 3点到4点不进水只出水；（3） 4点到6点不进水不出水.则一定不正确的论断是（把你认为是符合题意的论断序号都填上）.解题思路根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。解析由图甲知，每个进

43、水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口 1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故错误；由图丙知， 4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故不一定正确。从而一定不正确的论断是（2）【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式 选图”和“知图选式”。新题导练1. （05辽宁改）一给定函数y = f （x）的图象在下列图中，并且对任意ai w （0,1）,由关系式an

44、+ - f （an） =0得到的数列an满足an+ -an >0（n= N ）,则该函数的图象是（）ABCD解 一 人 an =x析A.；令 n ，则y= f(x)等价于an4= f (an) , y= f(x)是由点(为书)组 an 1 = y成，而又知道an <an由，所以每各点都在 y=x的上方。2. （2005湖北）函数y =e|lnx| | x1的图象大致是（）. 1 .3解析D；当x主1时，y = x （x -1） =1,可以排除A和C；又当x = 一时，y = ，可以排22除B考点2:用列表法表示函数-25 -/ 50例2 (07年北京)已知函数 f(x), g(x)

45、分别由下表给出x123f(x)131x123g(x)321则fg(1)的值为 ；满足fg(x) >g f(X)的X的值是解题思路这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。解析由表中对应值知 fg(1)= f (3) =1 ;当 x=1 时，fg(1)=1,g f (1)=g(1) = 3 ,不满足条件当 x = 2 时，fg(2) = f(2) =3,g f (2) = g(3) =1 ,满足条件,当 x=3 时，fg(3) = f (1)=1,g f (3) =g(1)=3,不满足条件,满足 fg(x) Ag f(x)的 x 的值是 x =2【名师指引】用列表法表示函数具

46、有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关 系，用好对应关系即可。新题导练3. (09年山东梁山)设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下) 映射f的对应法则是表1原象1234象3421映射g的对应法则是表2原象1234象4312则与fg(1)相同的是()gf(3); D. gf(4)A. gf(1); B. gf(2) ; C.解析A;根据表中的对应关系得，fg(1) = f (4) =1, gf(1)=g(3)=14. (04年江苏改编)二次函数 y = ax2 +bx +c ( x e R)的部分对应值如下表:x-3-2101234y60一 4一 6一 6一 406

47、则不等式ax2 +bx +c <0的解集是解析(2,3);由表中的二次函数对应值可得，二次方程ax2+bx + c= 0的两根为一2和3,又根据f(0) < f (二)且f (0) < f (3)可知a>0,所以不等式2ax +bx +c <0的斛集是(一2,3)考点3:用解析法表示函数题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式1 x1 x2例3 (04湖北改编)已知f(L)=L_x2,则f(x)的解析式可取为1 - x1 x解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法1 xt -12t2x解析令=t,则 x=，二. f(t)=”、.f(x)=

48、2.2 -xt 1t 1x 1故应填 1 x2【名师指引】求函数解析式的常用方法有： 换元法(注意新元的取值范围)； 待定系 数法(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)；整体代换(配凑法)；构造方程组(如自变量互为倒数、已知 f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)。题型2:求二次函数的解析式例4(普宁市城东中学09届高三第二次月考)二次函数f(x)满足f(x+1) f(x)=2x,且 f (0) =1。求f(x)的解析式；在区间1,1上，y = f(x)的图象恒在y =2x+m的图象上方，试确定实数 m的范围。解题思路(1)由于已知f(x)是二次函数，故可应用待定系数法求解；(2)用

49、数表示形，可得求2x + m < f(x)对于xw-1,1恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。解析设 f (x) = ax2+bx+c(a = 0),则f (x 1) - f (x) =a(x 1)2b(x 1) c -(ax2 bx c)=2ax a b,，-，、1 2a =2,.1 a=1,与已知条件比较得：«解之得，«'又f (0) =c=1 ,a b = 0b - -1,f (x) =x2 x - 1由题意得：x2-x+1>2x + mipm<x2 3x +1 对 x 1,1恒成立,易得 m :二(x2 -3x - 1)min -

50、-1考点4:分段函数题型1：根据分段函数的图象写解析式例5 （07年湖北）为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立iR方米空气中含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y = 116 ）不Ti念时.（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为;（n）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。思路点拨根据题意，药物释放过程的含

51、药量y （毫克）与时间t是一次函数，药物释放完毕后，y与t的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（n） 解析（I）观察图象，当 0 Mt W0.1时是直线，故y = 10t ；当t之0.1时，图象过（0.1,1）,.0.1，0t,0WtW0.1所以 1=1 ，即 a = 0.1 ,所以 y = 1 U116(一). ,t 0.1,16-0.25 =<t > 0.6,所以至少需要经过0.6小时【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。 题型2:由分段函数的解析式画出它的图象高一数学必修一专题复习来绝对值符号打开，

52、即先解 x2 -4x-5>0,然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。9. (09年潮州金山中学)解析2 ;由已知得到10. (06山东改编)设当 x 之2时，由 f(x)2 A0得 log2(x2-1)>2,得x5备选例题1: (2005江西)已知函数f (x)2xax b(a, b为常数)且方程f(x) x+12=0有两个-2 _ x _ -1或5 _ x_ 6，如右上图.2x2 -4x -5解析f (x)= x -4x-5 =4(x2 -4x-5)【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符 号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。 新题导练2x-3 (x_0)已知函数f(x) = « 2，则ff(1 )=x2 1 8:二 0)-ff(1) = f(2 1 3) = f(_1) = (_1)2 1=22n":<2.,2则不等式f(x) 2>0的解集为Jog2(x 1), x 之 2,解析(1,2)U(V5,-)；当 x <2时，由 f(x)2>0 得 2nx>2,得 1<x<2-28 - / 50实根为 x1=3