电子科技大学随机过程第2章

1、电子科技大学2.1 正正 态态 过过 程程 根据中心极限定理，根据中心极限定理，在现实问题中在现实问题中, ,满足一满足一定条件的随机变量之和的极限服从正态分布定条件的随机变量之和的极限服从正态分布. .正态分布在现实当中大量存在，是随机正态分布在现实当中大量存在，是随机现象中最为常见的一种分布现象中最为常见的一种分布如电子运动中的热噪声，人的身高，考如电子运动中的热噪声，人的身高，考试成绩试成绩, ,测量误差等都服从正态分布测量误差等都服从正态分布正态分布具有一系列良好的性质，便于正态分布具有一系列良好的性质，便于计算和应用计算和应用电子科技大学 即对任意的正整数即对任意的正整数 n 和和t

2、1, t2 , , tnT, , n 维随机变量维随机变量 (Xt1,Xtn) 都都服从正态分布服从正态分布. .为研究正态过程的有限维分布为研究正态过程的有限维分布, , 应首先应首先研究多维正态分布随机变量研究多维正态分布随机变量. . 定义定义2.1.1 随机过程随机过程Xt , tT称为正态过称为正态过程程, ,如果它的如果它的任意有限维分布都是任意有限维分布都是联合联合正态正态分布分布. .电子科技大学一、多维正态随机变量一、多维正态随机变量1.概率密度与特征函数概率密度与特征函数 若若(X,Y) );,;,(222211N则则(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为 221121

3、),( yx 2222221121212)(2)()1 ( 21exp yyxx,21 记记 22212121 C yxX其中其中10,20,| |2时，不能写出时，不能写出n维联合正态维联合正态概率密度概率密度. 一般地一般地, 若若X=(X1, X2)是非退化二维正态随是非退化二维正态随机向量机向量, 其线性变换其线性变换 Y= KX, 有有 1) 每一分量服从正态分布每一分量服从正态分布; 2) 不能构成二维以上的非退化联合正态不能构成二维以上的非退化联合正态分布分布; 退化退化, 写不写不出概率密度出概率密度电子科技大学分析分析2) 设设X=(X1, X2)的协方差矩阵为的协方差矩阵为

4、2)(,22212121 CRC 线性变换矩阵线性变换矩阵2)(,2221212111 KRccccccKmmT则线性变换则线性变换 Y=KX的协方差矩阵为的协方差矩阵为2)(),(min()(, KRCRRKCKYTY 即二维以上的线性变换向量即二维以上的线性变换向量Y= KX都是退都是退化化(奇异奇异)联合正态分布联合正态分布. 电子科技大学问题结论：问题结论：1)不能保证不能保证Y=KX 服从非退化正态分布服从非退化正态分布. 2) 当当|KCKT|0时时, 随机向量随机向量Y 服从非退化服从非退化正态分布正态分布. 推论推论 非退化正态分布随机向量非退化正态分布随机向量X的的满秩线满秩

5、线性变换性变换仍服从非退化正态分布仍服从非退化正态分布.可证明可证明K为行满秩矩阵为行满秩矩阵电子科技大学 定理定理2.1.5 若随机向量若随机向量X 服从服从N(,C), ,且且C正定正定, , 则存在一个正交变换则存在一个正交变换U, ,使得使得Y=UX 是一个相互独立的正态随机向量是一个相互独立的正态随机向量. .证证 C为为实对称正定矩阵实对称正定矩阵, 则则存在正交阵存在正交阵U, 使使 nTdddC21DUUdi 是是C 的的特征值特征值U是以特征向量为列构成的正交阵是以特征向量为列构成的正交阵令令Y=UX ，则，则Y 服正态分布服正态分布N(U, D).Y的协方差矩阵为对角阵，故

6、其分量相互独立的协方差矩阵为对角阵，故其分量相互独立. .电子科技大学二、正态随机过程二、正态随机过程 定义定义2.1.1 随机过程随机过程Xt , tT称为正态过称为正态过程程, ,如果它的如果它的任意有限维分布都是联合正态任意有限维分布都是联合正态分布分布. . 即对任意的正整数即对任意的正整数 n 和和t1, t2 , , tnT, , n 维随机变量维随机变量 (Xt1,Xtn) 都都服从正态分布服从正态分布. .注注 1)上述几个定理均可应用于正态过程上述几个定理均可应用于正态过程. .电子科技大学 2）若存在某个若存在某个n, ,对对t1,t2, ,tnT, ,n维随机变维随机变量

7、量(Xt1,Xtn)服从退化正态分布服从退化正态分布, ,称称Xt, tT为为退化正态过程退化正态过程. . 3) 正态过程的正态过程的n 维分布由其二阶矩完全确定维分布由其二阶矩完全确定. . 前面的例前面的例2.1.1 就是一个退化的正态过程就是一个退化的正态过程, 其三维以上的有限维分布都是退化正态分布其三维以上的有限维分布都是退化正态分布.有有 对任意的对任意的n1, t1, t2 , ,tnT, , (Xt1, , Xtn)TN(, C ) 电子科技大学,)()()(21 ntmtmtm ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnttC

8、ttCttCttCttCttCttCttCttCC)()(),(jjtiitjitmXtmXEttC . ),1(nji 电子科技大学Ex.2.1.2 随机振幅电信号随机振幅电信号 与与相互独立同服从正态分布相互独立同服从正态分布,RtttXt ,sincos 设设为为常常数数,)() (0,)() (222 EEEE2）写出一维概率密度和二维概率密度）写出一维概率密度和二维概率密度.1) 试求试求Xt 的均值函数和相关函数；的均值函数和相关函数；解解 1)0sin)(cos)( tEtEXEt，故故因因0)( E电子科技大学)sincos)(sincos(),(ssttEtsR stEstE

9、 sinsin)(coscos)(22 )( , )(cos)(cos22tsts .cos0),()(22 ttRXDt2) X t 的一维密度为的一维密度为 Rxexfxt ,21)(222 电子科技大学 Xt 是相互独立正态随机变量的线性组合是相互独立正态随机变量的线性组合, ,故故( (Xs, Xt) 服从二维正态分布服从二维正态分布, ,其相关系数为其相关系数为 coscos),(),()()(),(22 ttRssRtmsmtsR得过程得过程Xt 的二维密度为的二维密度为 ),(21,xxfts,)cos1 (2cos2cos1212222212122 xxxx.),(221Rxx

10、 仅与仅与=st 有关有关电子科技大学RtYXZttt ,证明证明 Zt 是正态过程。是正态过程。证证 对任意正整数对任意正整数 n 及及 Rtttn ,21 Ex.2.1.3 设随机过程设随机过程Xt, tT 和和Yt, tT 相互独立，都是正态随机过程，设相互独立，都是正态随机过程，设TntttXXXX),(21 TntttYYYY),(21 思考题思考题: : 此过程是否是正态过程此过程是否是正态过程? 可否写出任意可否写出任意n维维概率密度概率密度?电子科技大学都是都是n维联合正态随机向量，并相互独立。维联合正态随机向量，并相互独立。 TntttZZZZ),(21 的的n维特征函数为维

11、特征函数为),(21,21nZZZuuunttt11ntntZuZujeE 1111ntntntntYuYujXuXujeeEE 21exp21expuCuujuCuujYYXX 21)(expuCuuCuujYXXY )()(111ntntnttYXuYXujeE 电子科技大学)(21)(expuCCuujYXXY 由特征函数和分布函数的惟一性定理知由特征函数和分布函数的惟一性定理知TntttZZZ),(21是正态随机向量是正态随机向量. 且且TntttZZZ),(21YX 的均值向量为的均值向量为YXCC 协方差矩阵为协方差矩阵为 .问题问题：能否保证是非退化正态过程？：能否保证是非退化正态过程？电子科技大学实际应用实际应用怎样验证随机过程怎样验证随机过程Xt , tT是正态随机过程是正态随机过程? ? 任取任取n1 , , 及及 t1, t2 , ,tn T，记，记X=(Xt1,Xtn)，1) 计算计算X的的n维协方差矩阵维协方差矩阵C；2) 验证验证C的正定性；的正定性；算法步骤如下：算法步骤如下：电子科技大学3) 求正交矩阵求正交矩阵U, ,使使UCUT ndddD214) 令令Y=UX, ,Y的协方差矩阵为的协方差矩阵为D；称将称将X去相关去相关5) 检