基于交汇的古典概型高考试题探析-教育文档

1、基于交汇的古典概型高考试题探析概率是高中数学的新增教学内容， 是培养学生数学应用能 力的很好素材， 同时也是学生将来学习高等数学必不可少的重要 基础知识 .古典概型是概率知识中的一种最基本的概率模型，在 概率部分占有相当重要的地位 . 笔者通过对近几年高考试题的研 究，发现高考对古典概型的考查有了新变化， 主要体现在古典概 型与统计、立体几何、数列、向量等知识相交汇，也成了新课程 高考的一大亮点和热点 .视角一：古典概率与统计中的频率分布直方图的交汇 高考对古典概率与统计中的频率分布直方图或分布表交汇 的考查，常以解答题的形式呈现，是高考常考命题之一，难度中 等 . 此类题从考查统计的基础知识

2、入手，侧重考查古典概型的概 率求法，同时考查学生应用数学知识解决实际问题的能力 .例 1 (2010 陕西高考理 19):为了解学生身高情况，某校 以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行抽样检查，测得身高 情况的统计图如下:( 1 )估计该校男生的人数；(2) 估计该校学生身高在 170185c m 之间的概率；(3) 从样本中身高在 165180cm 之间的女生中任选 2 人， 求至少有 1 人身高在 170180cm 之间的概率.思路分析】 利用百分比解问题( 1)， 据频率估算概率解 问题( 2)，据对立事件或古典概型解问题( 3)【解析】( 1)样本中男生人数为 40，由分层

3、抽样比例为 10% 估计全校男生人数为 400.(2) 由统计图知，样本中身高在 170185cm 之间的学生有1 4+ 1 3+4+3+ 1 =35 人，样本容量为 70，所以样本中学生身高在170185cm 之间的频率 f= =0.5，故有频率估计该校学生身高在170185cm 之间的概率.(3) 样本中女生身高在 165180cm 之间的人数为 10，身 高在170180cm 之间的人数为 4.设表示事件“从样本中身高在 165180cm 之间的女生中任 选 2人，至少有 1 人身高在 170180cm 之间”，P(A) =1-=(或 P( A) = )= .【点评】本题属常规题，解决此

4、类问题的关键是：从频数分 布图入手，得到相关数据，然后用频率估计概率，再用古典概型 概率公式计算得出结果 .视角二：古典概率与统计中的茎叶图的交汇 高考对古典概率与统计中的茎叶图交汇的考查， 以解答题或 选择填空题的形式呈现，难度中等 . 此类题从统计中的基础知识 入手，考查数据的平均数与方差， 侧重考查学生分析数据特征与 古典概型的概率求法， 这类试题考点丰富，具有一定的综合性与 灵活性 .例 2 (2009 -广东高考文 18):随机抽取某中学甲乙两班各10 名同学，测量他们的身高（单位：cm）,获得身高数据的茎叶图如图 7.（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（ 2）计算甲班的样本

5、方差；（3）现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学，求身高为 176cm 的同学被抽中的概率.【思路分析】根据茎叶图估算甲乙两个班的平均身高，据方 差公式计算甲班的方差， 利用古典概型的概率公式解决问题 （3）.【解析】（ 1）由茎叶图可知：甲班身高集中于 160 与 179 之间，而乙班身高集中于 170 与 180 之间. 因此乙班平均身高高 于甲班；（ 2） x= =170 ，甲班的样本方差为 s2= （158-170） 2+（162-170） 2+（ 163-170 ） 2+（ 168-170 ） 2+（ 168-170 ） 2+（ 170-170 ）2+

6、（ 171-170 ）2+（179-170） 2+（179-170） 2+ （ 182-170 ） 2=57 ；（3）设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A;从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有：181 ，173）， （ 181，176），（ 181， 178），（ 181 ，179 ） ，179， 173），（ 179，176），（ 179， 178），（ 178， 173），178， 176），（ 176，173）共 10 个基本事件，而事件A 含有4 个基本事件;二 P （A）=.【点评】本题是概率与统计相交汇的问题，门槛低，入手容 易. 解决此类问题的

7、关键是理解平均数与方差的概念，用列举法 列出事件的所有可能结果 . 易错点是列举时没有按一定顺序而出 现遗漏.视角三：古典概率与立体几何的交汇 这一类问题往往巧妙地将概率知识移植于立体几何中， 集趣 味性与创新性为一体 . 主要考查空间立体几何的知识，以及利用 列举法计算古典概率 . 此类试题综合性强，对学生思维能力要求 较高，属中难度题 .例 3 (2012 江西高考文 18):如图，从 A1 (1 , 0, 0), A2(2， 0，0)， B1 (0， 1， 0，)， B2(0， 2， 0)， C1(0， 0， 1), C2(0,0, 2)这 6 个点中随机选取 3 个点.( 1 )求这

8、3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；(2)求这 3 点与原点 O 共面的概率.【思路分析】根据立体几何的有关知识,计算总的基本事件 个数与所求事件含的基本事件个数,由古典概率公式求出结果 .【解析】 ( 1 )总的结果有( A1, A2, B1),(A1, A2, B2), (A1,A2, C1),( A1, A2, C2),(B1, B2, A1),( B1, B2, A1),( B1, B2,C1),( B1, B2, C2),( C1, C2, A1),( C1, C2, A2),( C1, C2,B1),( C1, C2, B2),( A1, B1, C1), ( A1,

9、 B1, C2),( A1, B2,C1),( A1, B2, C2),( A2, B1, C1)，( A2, B1, C2)，( A2, B2, C1)，( A2, B2, C2)共有20 种，其中这 3 点与原点 0 恰好是正三棱锥的四个顶点只有（A1,B1，C1），（A2，B2，C2）2 种，则满足条件的概率为 = .（ 2）满足这 3 点与原点 0 共面的情况为（ A1， A2， B1），（ A1， A2，B2），（A1， A2， C2），（A2， A2， C2），（B1， B2， C1），（B1， B2, C2）,共有 6 种，所以所求概率为=.【点评】本题在立体几何与概率的知识网络

10、交汇点命题，解 决此类问题的关键是理解立体几何中的相关知识与利用列举法 列出总的基本事件的所有结果， 再利用古典概型概率公式求得对 应的概率，易错点是列举时出现重复与遗漏 .视角四：古典概率与数列的交汇 这一类问题往往将概率知识作为一个新型的材料和介质， 与 等比数列知识合理融合， 创造了新的命题情景， 同时使概率与数 列知识在整合过程中均得到进一步的升华 . 考查等比数列的通项 公式与古典概型求法， 近几年的高考对这样的交汇命题常以选择 填空形式呈现，难度中等 .例 4（2012 江苏高考文 6）:现有 10 个数，它们能构成一 个以 1为首项， -3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中

11、随机抽 取一个数，则它小于 8 的概率是 .【思路分析】利用等比数列的通项公式写出前 10 项，算出 小于 8的数的个数，由古典概率公式得出结果 .【解析】：以 1 为首项，-3 为公比的等比数列的 10 个数为， 其中有 5 个负数，1 个正数 1, 一共 6 个数小于 8，二从这 10 个 数中随机抽取一个数，它小于 8 的概率是 = .【点评】本题亮点是概率与数列有机相结合 . 要求学生熟练 掌握等比数列的通项公式， 解决此类问题的关键是利用通项公式 写出前 10项，再运用古典概型的概率公式求得结果 .视角五：古典概率与向量的交汇 高考对概率与向量交汇的考查形式多样， 本题将向量知识作

12、为一种工具，把向量知识与概率合理融合，创造了新的命题情景，同时使概率与向量知识在整合过程中得到进一步的升华. 考查向量的加法运算与古典概型概率求法，难度中等 .例 5 （2010 浙江高考文 17）:在平行四边形 ABCD 中, O 是 AC与 BD 的交点，P、Q M N 分别是线段 OA OB OC OD 的 中点，在AP、M C 中任取一点记为 E，在 B、Q N D 中任取 一点记为 F，设 G 为满足向量 OG=OE+C 的点，则在上述的点 G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 .【思路分析】根据向量加法的意义，由OG=OE+OF 计算落在平行四边形内的点 G 的个数，再根据对立事件的概率计算公式 求解.【解析】由题意知，G 点共有 16 种取法，而只有 E 为 P、M 中一点，F 为 Q N 中一点时，落在平行四边形内，故符合要求 的 G 的只有 4个，因此落在平行四边形 ABCD 外的概率为 1-=.【点评】本题将古典概型与向量的基本运算