江苏各地高考数学模考试题汇编10部分数列苏教版

1、2012 年江苏各地高考数学模考试题汇编第10 部分 数列 苏教版（2012 年南师附中）已知数列3n满足：3严m（m 为正整数），3n 1討3n为偶数时,33n1当3n为奇数时。右a44，则 m 所有可能的取值为4 或 5 或 32析：本题可以逆向推导。由344可得338或1。（ 1）、若3378则3216或3（舍） ，则3132或 5; (2)、若331，则32（舍），则314（2012 年泰兴）已知数列an中 a11，a22，当整数n 1 时,Sn 1Sn 12(SnS)都成立，则S521析：S51 2 4 6 8 21 (Sn 1Sn) (SnSn 1)2 Sl即3n 13n 2（n

2、2）,数列3n从第二项起构成等差数列,注：本题由 2011 江苏卷 20 题（1）改变而来。S512 4 6 821（2012 年泰兴）王老师从 2011 年 1 月 1 日开始每年的 1 月 1a 元（一年定2018 年 1答案:析3(1 /3(1 r)题,本题为等比数 列 模型:复r禾U问3(1 r)1 (1 r)73(1r)83(1 r)3(1 r)73(1 r)6L3(1r)=r=r（南师附中最后一卷） 已知数列an是公差不为 0 的等差数列，bn是等比数列，其中 ai= 3,bi= 1， a2= b2, 3a5= ba，若存在常数 u, v 对任意正整数 n 都有 an= 3logu

3、bn+ v，贝Uu + v = 答案：6（泰州期末）10.在集合x|乙x Z中取三个不同元素排成一列，使其成等比数列,X则此等比数列的公比为 1答案：丄，22（南京三模）13如图，将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列a11a21a5丄 构成一个旳也公比为 2 的等比数列，从第 2 行起，每一行都是一个公差为d的 二：等差数列。若a45,a86518，则d=-解答：第 2 行成公差为d的等差数列，可得：a2a42d 5 2d，第n行的数的个数为2n 1,从第 1 行到第n行的所有数的个数总和为n（1 2nn2，286=9 +5,第 10 行的前几个数为：03

4、2, a83, a84, a85, a86,L，所以a82脈4d 518 4d。第列a1, a?, a5, a,玄仃，a?6, a37, a50, a65, a$2丄构成一个公比为 2 的等比数列,8 8故有a82322518 4d (5 2d) 2,解得：d 1.5。（南师大信息卷）等比数列 an的前n项和为Sn,已知S1.2S2.3S3成等差数列，则等比数1列an的公比为提示：设等比数列an的公比为q（q 0），由4$ S,3S3，得2 21 4（a1ag） a13佝q ag ），即3q q 0,q -.3（南师大信息卷）如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1 出现在第 1

5、行；数字 2,3 出现在第 2 行；数字 6,5,4 （从左至右）出现在第 3 行；数字 7,8,9,10 出现 在第 4 行；依此类推，则第 63 行从左至右的第 5 个数应是 2012.提示：由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第 63 行最左边的数是63 （63 1）2016，所以，从左至右的第5 个数应是 2016-4=2012.2T=曲n=小2n提示：,SnXS；s，-Sn mgs n2a,anSn5 1(2n朴A2n11)a1，02n 12 22 2、Tn(2)(2)K (2133 524n26n2n22n12n1（南师大信息卷）已知an是等比数列，a2心2丄2n 12n

6、1 2n 122)2n 12n 11,2,2,333,4,4,4,4,5，的首项F 来 3 项都是 3，再接下来4 项都是 4,，以此类推，若an 120,an21，贝 Un= 211 .提示：tn 1 1 2 3 L2020 (1 20)2210,n 211.（南师大信息卷） 各项都为正数的数列an，其前n项的和为Sn，且S.C.S77G)2(n 2)，若bn，且数列bn的前n项的和为Tn，则an 16n1（南师大信息卷） 已知数列an2,a1，则Sn4a1a2Lan(nN )的取值范围是4,8）.11冃q2提示：因为an是等比数列，所以可设anae.因为a22,a5，所以41,4冃q二4n

7、ain110丄1，所以4 Sn8.22答案：(，7(苏锡常一模)设u(n)表示正整数n的个位数，an项和等于答案：2(南通三模)各项均为正数的等比数列an满足a-ia74, a68，若函数23101f(x) a1x a?xasxLax的导数为f (x)，贝Uf ( )=.解析：考查等比数列的基本知识、导数的运算。各项为正的等比数列an满足：a1a74,a68推算, 1出a 4,q 2所以an2n 3,又f (x)a12a2x1Oa1oX9,将x12代入n 11得nanxn4,所以f(2)A210)。杯士55答案：一441Snaia2an( 苏 锡 常 一模)等差数列an中, 已知a815，39

8、13，则312的取值范围是2u(n ) u(n)，则数列an的前2012（盐城二模）在等比数列an中,已知a1a2a35,a7O3a940,则a5a6a7答案：20（苏州调研）在等比数列an中,若a3a5a78,则a2a4_.答案：4*（南京一模）记等比数列an的前n项积为Tn（n N）,已知am iam 1 2am 0,且T2m 1128,则m答案：m 4（南通一模）观察下列等式:11，,3亠3129，,3亠3123 36，3333123 4100，（南京二模） 设Sn是等差数列an的前 n 项和，若空5s3,则詈-答案:27352n猜想：132333n3( n N*).2答案：n(U2解析

9、：法一：先看出等式右边依次为：12, (1+2)2, (1+2+3)2, (1+2+3+4)2;2再归纳出所求式子为(1 2 L n)；最后用等差数列求和公式即得.法二：猜想数列an : 1, 3, 6, 10,的通项公式.1由 1 号,3 牙,6 号,10 号猜想出 an.吗勺.2作数列an : 1, 3, 6, 10,的差分数列，知其为等差数列，通项公式为(江苏最后 1 卷)13.将所有的奇数排列如右表,aj,例如a329若aj445,13. 【解析】本题主要考查数列的通项.【答案】34解答如下：可以求得通项2aji i 2j2以i i 2j21,于是j13，故ij 34(常州期末)已知等

10、比数列an的各均为正数,且a12a23,445且1 j i,从而2a44a3a7,则数列an的1(苏北四市)已知等差数列an， bn的前n项和分别为Sn和Tn,若旦上5,且电Tnn 3b2n是整数，则n的值为_【答案】15解：设SnAn(n 45),TnAn(n 3),则可求得anA(14n 38),bnA(2n 2),.空A(14n 38)3n 16当门15时，玉 是整数。b2nA(4 n 2)2n 1b?n2说明：此解法学生须知：数列an为等差数列的一个充要条件是其前n项和Snan bn。(南通一模)各项均为正偶数的数列aLa2.a3.a4中，前三项依次成公差为d(d 0)的等差数列，后三

11、项依次成公比为q的等比数列，若a4印88，则q的所有可能的值构成的集 合为.【答案】1, 7当 d24 时，a112 , q5；当 d26 时，a2085(舍去)；当 d28 时，a1168,q7，所以q的所有可能值构成的集合为5,83 72(a12d) (a1dg我4d(22 d)88)，整理得a13d 88)0,(注意体会这里用“ a.0 ”而不用“印2 ”的好处，实际是一种估算能力)所以(d 22)(3d88)0,即22d88,3解：设这四个数为 a ,d , a12d , a188，其中印,d 均为正偶数，则所以 d 的所有可能值为 24, 26, 28,(盐城二模)在等差数列an中,

12、a2a621，记数列-的前n项和为anSn，若1解：由题设得an4n 3弘1Snm可化为1514n 14n 51 m8n 115 S2n 1Snm对n N恒成立，则正整数m的最小值为_15【答案】5111114当n 1时，Tn取得最大值5945，(百校联考)已知无穷数列an的各项均为正整数,3(1)若数列an是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3Sn成立，求数列an的 通项公式；(2)对任意正整数n，从集合ai,a2,L ,aj中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与好是 1 至&全体正整数组成的集合.(i )求d,a2的值；(i

13、i )求数列an的通项公式.令Tn4n 1L4n 58n 1则Tn11 14n 5 4n 918n 1Tn1 1 18n 5 8n 9 4n 118n 58n 91118n 28n 2 4n 11545解得m7，正整数m的最小值为5。Sn为数列an的前n项和.a1,a2,L ,an一起恰解：(1 )设无穷等差数列an的公差为d,S na13)d ndn ad2 2 211所以Sn33nd3n2ad23口33dd且Snnna1223d33d2dnn3a8422d2d3dn 3a1na122214 分(ii )由题意可知，集合a1,a2,L ,an按上述规则，共产生Sn个正整数.10 分1按上述规

14、则产生的Sn 1个正整数中，除1,2丄，Sn这Sn个正i,|am i | (i 1,2,L ,&)，共2Sn1个数.12 分11Sn 13( Sn)22Sn(S 2)3n 1113n2-2222d3d8 2,3d d、 才2)3d(a1字2(aiana20,0,因为数列an的各项均为正整数，所以d 0由,2n 1可得d 0或d 20时，由得2时，由得91i，共有 2 个无穷1，且同时满足.等差数列满足条件，通记A 1,2,L ,&对于S2a1a21a2，有A1,2丄51屜1a?”1 a24式为ana2|123,4而集合a1,a2,L ,an,an整数外，还有an 1,an 1所

15、以，Sn1Sn(2Sn1) 3Sn11 & 11n 1n 1anSnSi 13-(3)315 分2 222而a11也满足1an3所以，数列的通项公式是an3n1-16 分当时(天一)满足已知数列 3n是各项均不为0的等差数列，公差为n 项和，且23nSa1, nN .数列bn满足 bn(1)(2)(3)求数列 an的通项公式 an和数列 若对任意的n N*，不等式 Tn是否存在正整数 m, n (1 m n),m, n的值；若不存在，请说明理由.1,Tn为数列anan 1bn的前n项和Tn;n 8 ( 1)n恒成立，求实数的取值范围；使得TTm.Tn成等比数列？若存在，求出所有bn的前

16、n项和.:(1)(法一)在a：S2n1中，令2S1,2ZBa1a1a1,得2a2即S3,(a1d)2解得a11,d 2,an2n又Q an2n 1时，Sn2n 满足Qbn11anan 119.解3a1Tn2(11(法二)an是等差数列,S2n 1由a；又Q an(Tn求法同法一)(2)当 n 为偶数时,(n 8)(2 n3132n 12nl(2n2S2n 1，得30,2n3n2n1)3d,123n2(2n 1En 1,12n 1 2n 13132n 12(2n1)an.(2n1,要使不等式2n 1)an，则311,dTnn 817恒成立.3n12n 12n 1n2nan1)n恒成立，即需不等式

17、Q2n8，等号在n 2时取得.n此时 需满足当n为奇数时，(n 8)(2 nn25.要使不等式Tnn 8 (15恒成立.Q 2n8是随n的增大而增大，n此时 需满足21.综合、可得的取值范围是/c、十1十m十n(3)T1,Tm,Tn3 2m 1 2n 12m若Ti, Tm, Tn成等比数列，则2即-4m 4m 12由一4m 4m 16m2又m因此,1时2n21.1)n恒成立，即需不等式取得最小值6.n1)2讣)，9 分10 分n6n 312 分，可得6n 31丄.22m24m 12m20, 即卩2m 4m 10,14 分N，且m 1,所以m,n当且仅当m另解：因为丄6n此时n2,12时，数列1

18、n.6,(以下同上).212.Tn中的T1,Tm,Tn成等比数列.16 分2m4m 112，即2m 4m 1 614 分(南京三模)已知数列an的奇数行项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列an的前n项和，311,322.(1)右S516, 3435，求a；(2)已知S|51538，且对任意n N,有3n3n 1恒成立，求证：数列3n是等差数列;(3)若d13d2(d10)，且存在正整数m、n(m n)，使得aman.求当d-i最大时,数列an的通项公式。解:由题蕙得占K为奇歡时如=1+生尹归沟烈为偶散时皿严2十洋一】)无.2分 由=1昭円=*1即得$+细十墓+对1

19、$屈+也=1 f 2迅*解得鬲=乳込一趴所以的亡2 + 4必-=1化 . *.4分当冲为谓数吋，由垢 Vsh 恒成立再(乡一1泌 VZ 专仏 璋讥曲一乩)+2黨丄2 0ffl._* 十如一 +3 4 T.LS”L4寺心十仏1#一一i-a.-i) 从 Iff Ua+ffrl)(斗 一| G =0园为 WJ 各锁沟肯正h 所注.-免“1 札 .吕井殊妙，当円耳 1 时-4-3(半血日詔 时*=打一:L 共因为当-L 时甸分刖为 1.5 型 5 +枸咸導戌数貝所戦 4甘工血-F l.当M1= 3 时刍沖“呀井别为霁队叫齐轲威哥比難列會去.- -知井即箱足皋 14 曲 q 和在旧工苗 . .* W 井

20、由 U)加讥411：3 虬 STT丛耐 13i. =4 3 - lfifl.5*,-4M3- (1)1DE.:(4-ICE5)TI3MO8,& - 4-kR.-O.SfWtf- .M 井(2012 年南通二模)设数列a.的各项均为正数若对任意的 n N*，存在 k N*，使得 an k2anan 2k成立，则称数列 an为“ Jk型”数列.(1)若数列 an是“ J2型”数列，且 a28 , a81，求 a?n;(2)若数列 an既是“ J3型”数列，又是“ J4型”数列，证明：数列 an是等比数列13解：()由题意，得 a?, a4, a6, a$，成等比数列，且公比 q1,a22n

21、 4所以 a2na2qn1|(2)证明：由 an是“ J4型”数列，得a1, a5, a9, a3,玄仃,a21，成等比数列，设公比为 t.由 an是“ J3型”数列，得a1,a4,a7,a10,a13 ,成等比数列，设公比为1;a2,a5,a8,a11,a14,成等比数列， 设公比为2；a3,a6,a9,a12,a15, 成等比数列， 设公比为3；则翌43a741t,23a21t ,433t aa5a9所以123，不妨记1 23，且t433若ak 3为等差中项，则2ak 3ak1 ak2,即即1或即 i，解得n 1所以 anai 旷 ，故 an为等比数列.20(南京一模)已知数列n满足a1a

22、(a 0,a*N ),a1a2anpan10(p0, p1,n*N ).(1)求数列an的通项公式an；(2)若对每一 个正整数k,右将ak 1, ak2,ak3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为dk.1求p的值及对应的数列dk.2记Sk为数列dk的前k项和，问是否存在a,使得Sk30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由.解：(I)因为a1a2anpan 10,所以n 2时，印a2由(1)得ak1a(J)k1,ak2-(J)k,ak3-(J)k1,p ppppp1右ak1为 等 差中项，则2ak 1ak 2p 1ak 3,即1或p 12,解得

23、1ppp6 分3此时ak 13a ( 2)k1,akk23a( 2)5所以dk| ak 1ak21k 19a 2-8 分2右ak 2为 等差中项，则2ak 2ak 1ak 3，即p11,此时无解. 9 分于是a3k 135a1tai3一 i33kk 339ait2aian 1pan0,两式相减，得空Z(n 2),故数列an从第二项起是公比为巳的等比数anpp歹 y. 3 分又 当 n=1 时a1pa20a2a p 1 (Jp p(n(n1).2)k 1ai(3k 2) 15a3k 2k 23i13（1）求数列an的通项公式;（2） 当=4 时，是否存在互不相同的正整数r,s,t,使得ar, a

24、s, at成等比数列？若存在， 给出 r,s,t满足的条件；若不存在，说明理由；（3） 设 Sn为数列an的前 n 项和，若对任意n N，都有（1 ）Snan2n恒成立，求实数的取值范围。解：(1)当n= 1 时，a1= 3.a2a3an2当n2 时，由a1+ 丁+2+n-1=n+ 2n,入 入入a2stan12得a1+T-+n2= (n 1) + 2(n 1).入入入ann1得：n1= 2n+ 1，所以an= (2n+ 1) 入,(n2).入此时ak 11、k 1)-ak29a1k 1dk1 ak 1ak 31()k 111 分82综上所述,p1,dk9ak 1亠2或p3分32,dk31时,

25、Sk9a(2k1),则由Sk3103(2k30,得a10k3(21)2当p1,所以必定有a1）14 分9a 1kQ壬（1 q）k），则由所以不存在这样的最大正整Sk4030,得a-,因为3(1中)403(1()403即)所以a13满足Sk30恒成立; 但当a 14时,存在k 5,使得Sk30已知数列an满足：a1-2-an1n22n（其中常数0,n N )1当p因为a1= 3,所以an= (2n+ 1) 入门1(n N).(2)当入=4 时，an= (2n+ 1) 4nT.若存在ar,as,at成等比数列，贝U(2r+ 1) (2t+ 1) 4_1 = (2s+ 1)2 42s-2.整理得(2

26、r+ 1) (2t+ 1) 4r+七诊=(2s+ 1)2. 6 分由奇偶性知r+1 2s= 0.2 2所以(2r+ 1) (2t+ 1) = (r+1+ 1)，即(rt) = 0.这与r丰t矛盾，故不存在这样的正整数r,s,t，使得ar,as,at成等比数列.8 分2n1(3)S=3+5入 +7入 +(2n+1)入 .要对任意n N,都有（1 入）S+入an2入n恒成立,当入=1 时，左=（1 入）S+入 an=an= 2n+ 12，结论显然成立;3X42X因此，对任意 n N*，都有-一-一-Xn恒成立.1 X1 X3X*当 0v X v1 时，只要,Xn对任意n N 恒成立.4 2X只要有 4XX即可，解得XW1 或XA3.当X= 1 时，2S=3 + 5 + 7+ (2n+ 1) =n+ 2n.当XM1时，S=3+5X +7X +(2n+1)X ,X :Sn=3X +5X2+-+(2n1)Xn1+(2n+1)Xn.23n1(1 入)S= 3 + 2(入+入+入+ +入)(2n+ 1)入n入(1 入n1)1 入(2n+ 1)入n.10 分当入工 1 时，左=（1 入）S+入 an= 3 + 2X入(1 入n1)1 入(2n+ 1)入+Xan=3+2X入(1 入n1)2X4 2X2因此，当 Ov Xv1 时，结论成立.3 一X42X当X 2 时， 一 -一 Xn显然不可