2015年中考数学真题分类汇编勾股定理解析

1、第1页（共 23 页）勾股定理AOD=20。，则/ BOC 的大小为（）A .140 B.160 C.170 D.150考点：直角三角形的性质.分析：利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出/COA 的度数，即可得出答案.解答：将一副直角三角尺如图放置，/AOD=20 / COA=90 - 20=70,/BOC=90 +70=160 故选：B.点评：此题主要考查了直角三角形的性质，得出/COA 的度数是解题关键.2.（2015?大连）如图，在 ABC 中，/ C=90 AC=2，点 D 在 BC 上，/ ADC=2 / B, AD=J , 则 BC的长为（）考点：勾股定理；等腰三角形的判定

2、与性质.分析： 根据/ ADC=2 / B,/ ADC= / B+ / BAD 判断出 DB=DA，根据勾股定理求出 DC 的长，从 而求出 BC的长.解答：V/ADC=2 / B，/ ADC= / B+ / BAD , / B= / DAB , DB=DA= ,在 Rt ADC 中，DC=J 订匸 上=；=1 ； BC= + 1 .故选 D.点评： 本题主要考查了勾股定理，同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题.3.（2015?黑龙江）ABC 中，AB=AC=5 , BC=8，点 P 是 BC 边上的动点，过点 P 作 PD 丄 AB 于 点 D, PE丄 AC 于点 E,贝 U P

3、D+PE 的长是（）A .4.8 B .4.8 或 3.8 C.3.8 D .5考点：勾股定理；等腰三角形的性质.专题：动点型.分析：过 A 点作 AF 丄 BC 于 F，连结 AP,根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF 的长，由图形得SABC=SABP+SACP，代入数值，解答出即可.一选择题1. （2015?荷泽）将一副直角三角尺如图放置，若/匸-1 D . 匸+ 1第2页（共 23 页）解答：过 A 点作 AF 丄 BC 于 F,连结 AP,第3页（共 23 页）/ ABC 中，AB=AC=5 , BC=8 , BF=4 , ABF 中，AF=3,_83 二X5PD+亠X5PE

4、, 12=_5X(PD+PE)PD+PE=4.8 .故选：A .2 2 2点评：本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两 个三角形的面积和；体现了转化思想.4.（2015?淄博）如图，在 Rt ABC 中，/ BAC=90 / ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D , DE 是点 E 是垂足.已知 DC=5 , AD=3，则图中长为 4 的线段有（考点：勾股定理；角平分线的性质；含30 度角的直角三角形.分析：利用线段垂直平分线的性质得出BE-EC-4 ,再利用全等三角形的判定与性质得出AB-BE-4 ,进而得出答案.解答：/BAC-90 / AB

5、C 的平分线 BD 交 AC 于点 D, DE 是 BC 的垂直平分线，点 E 是垂足，AD-DE-3,BE-EC, vDC-5,AD-3, BE-EC-4,rZA=ZBED在 ABD 和厶 EBD 中，* /顾=/门師 ABDEBD (AAS), AB-BE-4 ,LBD=DB图中长为 4 的线段有 3 条.故选：B .点评：此题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出BE-AB 是解题关键.5.（2015?天水）如图，在四边形 ABCD 中，/ BAD= / ADC=90 AB=AD=2 血,CD2，点 P 在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为:，则

6、点P的个数为（）BC 的垂直平分线,1 条第4页（共 23 页）A .2 B .3 C.4 D .5第5页（共 23 页）考点：等腰直角三角形；点到直线的距离.分析：首先作出 AB、AD 边上的点 P （点 A ）到 BD 的垂线段 AE，即点 P 到 BD 的最长距离，作出 BC、CD 的点 P （点 C）到 BD 的垂线段 CF，即点 P 到 BD 的最长距离，由已知计算出 AE、CF的长与比较得出答案.2解答： 过点 A 作 AE 丄 BD 于 E,过点 C 作 CF 丄 BD 于 F,/ BAD= / ADC=90 AB=AD=2 匚,CD= 匚，ABD= / ADB=45 ,/-ZC

7、DF=90。/ ADB=45 /sinZABD= ：，/ AE=AB ?si nZABD=2；f：？si n452 匚？ =2；,AB22所以在 AB 和 AD 边上有符合 P 到 BD 的距离为的点 2 个，故选 A .26. （2015?烟台）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 Si,以 CD 为斜边作等腰直角三角 形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2, 按照此规律继续下解答：根据题意：第一个正方形的边长为2;第二个正方形的边长为：;点评：离比较得出答案.BD 的最大距考点：专题:等腰直角三角形；正方形的性质.规律型.分析:根据题意可知第 2

8、 个正方形的边长是进而可找出规律，第 n 个正方形的边长是）X2,那么易求 S2015的值.第三个正方形的边长为:2012D.2013)2X2,- 二则第 3 个正方形的边长是W第 n 个正方形的边长是- 1，所以 S2015的值是（_）2012,故选 C第6页（共 23 页）点评：本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理解题的关键是找出第n 个正方形的边长.7.（2015?桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A .30, 40, 50 B .7, 12, 13 C.5, 9, 12 D .3, 4, 6考点：勾股定理的逆定理.分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两

9、边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三 角形判定则可.如果有这种关系，这个就是直角三角形.解答： 解：A、： 302+402=502，二该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、： 72+122鬥 32,二该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；2 2 2C、T5 +9 为 2 ,该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、： 32+42托2,二该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选 A .点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关 系，确定最大边后，再验证两条较小边

10、的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.& （2015?淮安）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A.a=1, b=2, c=3 B. a=2, b=3, c=4 C. a=2, b=4, c=5 D. a=3, b=4, c=5考点：勾股定理的逆定理.分析：根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.解答：解：A、T12+22=5 希2,二不能构成直角三角形，故本选项错误；B、 22+32=13 證2,二不能构成直角三角形，故本选项错误；2 22C、T2 +4 =20 苑，不能构成直角三角形，故本选项错误；2 22D、 3 +4 =25=5，能构成直角三角形，故本选项正

11、确.故选 D .点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a, b, c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.9.（2015?广西）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是丄）A .1 , 2, 3 B .2, 3, 4 C.4, 5, 6 D .1, 爲 ；考点：勾股定理的逆定理.分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 直角三角形判定则可.解答：解：A、12+22总2，不能组成直角三角形，故错误；B、22+32證2,不能组成直角三角形，故错误；C、42+52忧，不能组成直角三角形，故错误；D、

12、12+ （ _）2= （）2,能够组成直角三角形，故正确.故选 D .=13 (Cm).点评：本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关 系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.10.（ 2015?毕节市下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 （）A .乙；：B. 1, ，二 C. 6, 7, 8 D. 2, 3, 4 考点：勾股定理的逆定理.分析：知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.解答：解：A、（二）2+ （匚）2工（

13、_）2,不能构成直角三角形，故错误；B、 12+ （匚）2=（二）2,能构成直角三角形，故正确；C、 62+72老2,不能构成直角三角形，故错误；D、 22+32證2，不能构成直角三角形，故错误.故选：B.点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.11. （2015?资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为 10cm,在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A . 13cm

14、B .2cm C .cm D .23 !cm考点： 平面展开-最短路径问题.分析： 将容器侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A 根据两点之间线段最短可知 A B 的长度即为所求.解答： 解：如图：高为 12cm,底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部3cm 的点 B 处有一饭粒,此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm 与饭粒相对的点 A 处，/ A D=5cm , BD=12 - 3+AE=12cm ,将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A,连接 AB，则 AB即为最短距离，AB= lilMi=第 5 页（共 23 页）3第8页（共 23 页）BP=J =，点评：本题考

15、查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行 计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力.二.填空题12. （2015?南昌）如图，在厶 ABC 中，AB=BC=4 , AO=BO , P 是射线 CO 上的一个动点，/ AOC=60 则当 PAB 为直角三角形时，AP 的长为_2 二或 2 匸或 2.考点：勾股定理；含 30 度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线.专题：分类讨论.分析：利用分类讨论，当/APB=90。时，易得/ PAB=30 利用锐角三角函数得 AP 的长；当/ ABP=90 时，分两种情况讨论，情况一：如图 2 易得 BP,利用勾股定理可

16、得 AP 的长；情况二：如图 3,利 用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论.解答：解：当/ APB=90。时（如图 1）,/ AO=BO , PO=BO ,/ AOC=60 / BOP=60 BOP 为等边三角形，/ AB=BC=4 , AP=AB ?sin60 =4 厂=2 二；,2当/ABP=90 时，情况一：（如图 2）,/ AOC= / BOP=60 / BPO=30 第9页（共 23 页）在直角三角形 ABP 中,AP=J魅小=2二情况二：如图 3AO=BO，/ APB=90 PO=AO ,/ AOC=60 AOP 为等边三角形， AP=AO=2 ,点评： 本题主要考查了勾股

17、定理，含 数形结合是解答此题的关键.13. （2015?黑龙江）正方形 ABCD 的边长是 4,点 P 是 AD 边的中点，点 E 是正方形边上的一点. 若 PBE 是等腰三角形，则腰长为 _2.WW考点：勾股定理；等腰三角形的判定；正方形的性质.专题：分类讨论.30 直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论,圏第10页（共 23 页）分析：分情况讨论：（1）当 BP=BE 时，由正方形的性质得出 AB=BC=CD=AD=4，/ A= / C=Z D=90 根据勾股定理求出 BP 即可；(2)当 BE=PE 时，E 在 BP 的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E;由题意得出B

18、M= BP= 乙证明 BMEBAP，得出比例式即可求出 BE ; 设 CE=x，贝 U DE=42BP BA-x,根据勾股定理得出方程求出CE,再由勾股定理求出 BE 即可.解答：解：分情况讨论：(1)当 BP=BE 时，如图 1 所示：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD=4，/A=/C=ZD=90/P 是 AD 的中点， AP=DP=2 ,根据勾股定理得：BP= ,：. jr= =2 ：;(2)当 BE=PE 时，E 在 BP 的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E;当 E 在 AB 上时，如图 2 所示：则 BM= BP=匸，2/ BME= / A=90 / ME

19、B= / ABP , BME BAP ,BE BM nnBE V5 ，即.,BP BA 2V54 BE=;当 E 在 CD 上时，如图 3 所示：2设 CE=x，贝 U DE=4 - x,根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2,PE2=DP2+DE2,2 2 2 24 +x =2 + (4 - x),解得：x=,2 CE=,2BE=：:-= r综上所述：腰长为：2 匸，或一，或丄；2 2故答案为：2 甘二，或一，或 二第11页(共 23 页)2 2点评：本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进 行推理计算是解决问题的关键.第12页(共 23 页)考点：勾

20、股定理；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质.分析： 根据矩形的性质得到 CD=AB=x , BC=AD=y，然后利用直角 BDE 的斜边上的中线等于斜 边的一半得到：BF=DF=EF=4，则在直角DCF 中，利用勾股定理求得2 , 、2 2x + (y - 4) =DF .解答： 解：四边形 ABCD 是矩形，AB=x , AD=y , CD=AB=x , BC=AD=y，/ BCD=90 又 BD 丄 DE，点 F 是 BE 的中点，DF=4 , BF=DF=EF=4 . CF=4 - BC=4 - y.222222在直角DCF 中，DC +CF =DF，即 x + (4 - y)=4 =1

21、6,2 2 2 2x + (y - 4) =x+( 4 - y) =16 .故答案是：16.点评： 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线以及矩形的性质根据直角 BDE 的斜边上的中线等于斜边的一半 ”求得 BF 的长度是解题的突破口.15.(2 015?通辽)如图，在一张长为 7cm，宽为 5cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm 的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上)考点：勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质. 专题：分类讨论.分析：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：(1) AEF 为等腰直角三角形，直接利

22、用面积公式求解即可；(2) 先利用勾股定理求出 AE 边上的高 BF，再代入面积公式求解;(3) 先求出 AE 边上的高 DF，再代入面积公式求解. 解答：解：分三种情况计算：(1)当 AE=AF=4 时，如图：14.(2015?E,取2的值为16BE 的中点 F，连接则剪下的等腰三角形的面积为第13页（共 23 页）二 SAEF=AE?AF= X44=82 2(2)当 AE=EF=4 时，如图：贝 U BE=5 - 4=1 ,BF= F：-r =C -I;= SAAEF= ?AE?BF= / x.=2=(c)；（3）当 AE=EF=4 时，如图:贝 U DE=7 - 4=3,DF= : =；

23、 - :/=，故答案为：8 或 2或 2 ,点评：本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用, 况讨论，有一定的难度.16.(2015?黄冈)在 ABC 中，AB=13cm , AC=20cm , BC 边上的高为 12cm，则 ABC 的面积为一2126 或 66 cm .考点：勾股定理.分析：此题分两种情况：/ B 为锐角或/ B 为钝角已知 AB、AC 的值，利用勾股定理即可求出BC的长，利用三角形的面积公式得结果.解答：解：当/ B 为锐角时（如图 1）,在 RtAABD 中，BD=.打汕=F 1 : =5cm，在 RtAADC 中，SA AEF=AE?DF=X4Xi=2寸(cm

24、2)；要根据三角形的腰长的不确定分情B第14页（共 23 页）CD=汕叮：. ! -=16cm, BC=21 ,二JABC=2.EGAD= 21 X12=126cm2；当/ B 为钝角时（如图 2）,在 RtAABD 中，BD=打，汕=：,=5cm,在 RtAADC 中，CD=：汕= ；.：|广“16cm, BC=CD - BD=16 - 5=11cm,2 5ABC=眈AD=亏21X12=66cm,Mb故答案为：126 或 66 .17.（ 2015?哈尔滨）如图，点 D 在厶 ABC 的边 BC 上，/ C+ / BAD= / DAC , tan/BAD=号，AD=J,CD=13，则线段 A

25、C 的长为_.：_.考点：勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形.分析： 作/ DAE= / BAD 交 BC 于 E， 作 AF 丄 BC 交 BC 于 F， 作 AG 丄 BC 交 BC 于 G .根据三角 函数设 DF=4x ,贝 U AF=7x ,在 Rt ADF 中，根据勾股定理得到 DF=4 , AF=7 ,设 EF=y ,贝 U CE=7+y , 则 DE=6 - y,在 RtADEF 中，根据勾股定理得到 DE= ,AE=-，设 DG=z，则 EG= -乙乙则（讥 G3332- z2=（-二）2-（-z）2,依此可得 CG=12，在 Rt ADG 中，据

26、勾股定理得到 AG=8，在 Rt ACG33中，据勾股定理得到 AC=4 干.第15页（共 23 页）解答： 解：作/ DAE= / BAD 交 BC 于 E,作 DF 丄 AE 交 AE 于 F,作 AG 丄 BC 交 BC 于 G./ C+ / BAD= / DAC ,/CAE=/ACB, AE=EC ,/tan/ BAD=上,7设 DF=4x，贝 U AF=7x ,在 RtAADF 中，AD2=DF2+AF2,即（产）2= （4x）2+ （ 7x）2,解得 Xi=- 1 （不合题意舍去），X2=1 , DF=4， AF=7 ,设 EF=y，贝 U CE=7+y，则 DE=6 - y,在

27、RtADEF 中，DE2=DF2+EF2，即（6 - y）2=42+y2,解得 y=,3 DE=6 - y=_!, AE=,33设 DG=z，贝 U EG=- z,贝 U3解得 Z=1 , CG=12 ,在 RtAADG 中，AG=J：.二.：二=8, 在 RtAACG 中，AC= ；-十 _=4 J ;.故答案为：4 i.点评：考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾股定理得 到 AG 和 CG的长.18.（2015?遵义）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图”后人称其为 赵爽弦图”（如图（1）.图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形

28、拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3若正方形 EFGH 的边长为 2,则 S1+S2+S3=12.2-z2=（）-Z）DG E/ a- b=2,图( (2)考点：勾股定理的证明.分析：根据八个直角三角形全等， 四边形 ABCD ,EFGH , MNKT 是正方形，得出 CG=NG ,CF=DG=NF ,2222再根据 Si= (CG+DG ) , S2=GF , S3= (NG- NF) ,SI+S2+S3=12得出 3GF =12.解答： 解：八个直角三角形全等，四边形 ABCD , EFGH , MNKT 是正方形， CG=NG

29、 , CF=DG=NF ,2-SI=(CG+DG)2 2=CG +DG +2CG?DG2=GF +2CG ?DG,S2=GF2,2 2 2S3= ( NG - NF) =NG +NF - 2NG ?NF ,2 2 2 2 2-SI+S2+S3=GF+2CG?DG+GF +NG +NF - 2NG ?NF=3GF =12,故答案是：12.点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，2根据已知得出SI+S2+S3=3GF=12 是解题的难点.19. (2015?株洲)如图是 赵爽弦图”， ABH、 BCG、 CDF 和厶 DAE 是四个全等的直角三角形,

30、 四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形.如果 AB=10 , EF=2，那么 AH 等于 6.考点：勾股定理的证明.分析： 根据面积的差得出 a+b 的值，再利用 a- b=2，解得 a, b 的值代入即可.解答： 解：AB=10 , EF=2 ,大正方形的面积是 100,小正方形的面积是 4,四个直角三角形面积和为100 - 4=96，设 AE 为 a, DE 为 b，即 4ab=96,22 2 2ab=96, a +b =100,( a+b) =a +b +2ab=100+96=196 , a+b=14,9(1)2 匚（2 二-2 匚）=4 二-4.2点评： 此题主要考查了勾股定理以

31、及等腰三角形的性质和锐角三角函数关系等知识， 得出 是解题关键.28.（2015?柳州）如图，在ABC 中，D 为 AC 边的中点，且 DB 丄 BC , BC=4 , CD=5 .（1）求 DB 的长；（2）在厶 ABC 中，求 BC 边上高的长.BC 的长第25页（共 23 页）考点：勾股定理；三角形中位线定理.分析：(1 )直接利用勾股定理得出BD 的长即可；(2)利用平行线分线段成比例定理得出BD= AE，进而求出即可.2解答： 解：(1). DB 丄 BC, BC=4 , CD=5 , BD=,乙 _，=3 ；(2)延长 CB，过点 A 作 AE 丄 CB 延长线于点 E,/ DB

32、丄 BC , AE 丄 BC , AE / DB ,/ D 为 AC 边的中点， BD= AE ,2点评： 此题主要考查了勾股定理以及平行线分线段成比例定理，得出29.(2015?常州)如图，在四边形 ABCD 中，/ A= / C=45 / ADB= / ABC=105 (1)若 AD=2，求 AB ;考点：勾股定理；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形.分析：(1 )在四边形 ABCD 中，由ZA=ZC=45 ZADB=ZABC=105 得ZBDF=ZADC -/ ADB=165 - 10560 ADE 与厶 BCF 为等腰直角三角形，求得 AE，利用锐角三角函数得 BE, 得 AB

33、 ；(2)设 DE=x，利用(1)的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB , CD，得结果.解答：解：(1 )过 A 点作 DE 丄 AB，过点 B 作 BF 丄 CD ,/ A= / C=45 / ADB= / ABC=105 / ADC=360。-/ A-ZC-ZABC=360。-45 - 45 - 105=165 /BDF=ZADC-ZADB=165。- 10560 ADE 与厶 BCF 为等腰直角三角形，/ AD=2 , AE=DE=匚，BD= AE是解题关键.第26页(共 23 页)V2/ ABC=105 / ABD=105 - 45- 3030 BE= =二，tan30

34、V3_3 AB=匚 I 7;(2)设 DE=x，贝 U AE=x , BE=-二-= -:.,tan30 V3BD=1=2x，DF=1-| =x,JBFFj 广 八= 亠 J= - CF= J ,TAB=AE+BE=:CD=DF+CF=xiAB+CD=2；+2, AB= 7+1点评： 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线 DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数.30.（2015?娄底）为了安全，请勿超速 ”如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN 限速 60 千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点 C,从观测点 C 测得一小车从点 A到达点 B 行驶了 5 秒钟，已知/ CAN=45 ZCBN=60 BC=200 米，此车超速了吗？请说明理由.（参 考数据：