【图文】误差理论(精)

1、误差理论和数据处理近代物理实验1实验测量的分类2实验测量的数据评价3实验测量数据的处理1实验测暑的分央量具HOUR, MINUTE, SECOND被测对彖单次测量r等梢度测量多次测量不等精度测量等精度测量：对某一物理量进行多次测量，且每次测量条 件都相同。（如同一观察者，同一组仪器，同 一测量方法和同样环境条件下测试等等。） 不等精度测量：在所有的测量条件下，只要有一个发生变化, 所进行的测量为不等精度测量。测量误差与不确定度测量目的：求取真值被测物理量的值二读数土 “误羞”（绝对误差6）最僅估计+不确定度的程度谋差（不确定度）测量值二最佳估计土不确定度相対谋治读数（测就值）%r 观察尺，丈，

2、FOOT METER实验：测量:，直接测量*测量间接测量误差二测量值-真值6 = JV JLI真值在哪里？ L=1.200.05真值所在范围 0.700.60 之间不确疋度含有多大概率，或某不确定区间的不确疋度。误差：1仪器误差 米尺的最小分度为 1mm 则 6u=0.5mm 电子仪农：等级 X 最人刻度6 仪=150X0.5%=0.75mA使用时表的指针偏转应大于表的 2/3,应匸确选择屋程数字类仪农系统误屋是表的最小分辨值=IV贝 IJ5 仪=0.001V读数越靠近满程，相对谋差越小2. 系统误差由具体仪器系统决疋；不同装置的系统误差不 I 可; 系统谋差可通过某些措施得到消除。3. 随机

3、误差人为决定，随时在变；真实值在哪里由定条件卜的授住估计來农达4. 粗大误差测量值二最佳估计+不确定度用“谋差”來农达150格-150mA0.75/15不确疋度A 类J 用统计方式判足随机分彳 jN 次重复测屋B 类其他方式判定一非 N 次重复测量随机分布的 4 种常用形式：1 二项式分布如：粒了探测，核衰变2泊松分布如：放射件物质哀变3均匀分布如：取值中的凑整取舍4高斯分布(乂叫正态分布)如何通过我们得到测屋值判断其属于哪种随机分布呢？ 利用 X?检验法，找出所属分布。确定某种分布以后，找瑕住估计和不确定度假设随机分布满足正态分彳几系统谋羞已经消除，测量得到一组 N 个等 粘度值。正态分布的

4、概率密度函数如卜.X 是连续型随机变暈“是期架值b 是标准误差期望值的物理意义是作无穷多次重复测量结果的平均值随机变量 x 的方外* er2(x) = J (x-/z)2/?(兀;“7艸随机变量 x 的期望X=J兀川(兀；方差或标准差描述随机变量围绕期望值分布的离散程度。期望值“=和/ = 1 的正态分布叫标准正态分布不同参数值的正态分布曲线O的大小决定分布偏离期望值的离散程度。当 b 小时，分布曲线陡峭，表示测量列中小误差出现的儿率人， 测量的精密度高。当 b 大时，分布曲线平缓，表示该测量列中 人误差出现的儿率增加，测量的梢密度较低，所以7 是反映测 量精密度高低的物理量。这里再对。的含义

5、作一些较通俗解释。测量数据愈集中， 就意味着在作为测量结果的平均值附近测量值出现的机会愈多, 那么我们对该测量结果是测量对象实际值的信赖程度也就愈高。 换一种说法就是测量结果的不确定程度也就越小。相比校而古：精确度很亦精密度是指重复测量的结果彼此接近的程度。彼此非常 接近的，叫高精密度：彼此离散得大的，叫低精密度。因此， 精密度描述实验重复性的程度。准确度是指测量值接近真值的程度O例如： 某随机变量 X 遵从正态分布， 利用正态分布衣求出 X 落在期望值“附 近cr,2a 和3r的概率含量。W标准正态分布函数 N(x；O,l)数值表Ar(x0.1) =1CXp,-x21 rJ-ec/2*2X0

6、. 000. 010. 020.03o.C40.050. 060.07C.08co o0.ooo0 S040o soxc0. 51200. 51600.o0.5279C5750. 5210 10.57H ja0.10.539605438a 54780.55170.5557055960.56360.20. 57930. 58320.58710.5S100. 59480.59870. 60260. 0640. 61031A030.6179062】70. 62550. 62930. 633】0.63680. 640606443C. 6480CI0.65540. 659】0.662$0. 664C.

7、67000.67360. 67720. 680$0. 6M40L50. 9150. 69500. 69850. 70190.70540.70880.71230.71570.71W0c.0.72570. 72510.73240.73570.73890.74220. 74540. 748电0.7517AC.70. 75800.761】0. 7420.76?30. 7?O4C.77340. 77640. 77$40. 7823(0.80.78B10. 79100.793S0. 79670.7995C.80230. 80510. 80780.8106O.C.81590. 81860. S2120. 8

8、2380. $2640. S2S90.83150. 8340a 8365(1-0|0. 84130. 84360. 84610. 64850.85080853】0. 85540. ST70.85991.10.BS430. KC50.868C0.87080. 87290. 7490. S7700.B790a asioCL B849 G f1d 8“Aa8B8S 0. 8M7C0. 8925a .10. 89A0. 8962 c.aiMd089S00.B347 17V(x;a，b)= N(u;0,1)N(X；AQ)= 7V(w;0,l)AT(u;0,1)-1 - TV(w;0, l) = 2Af(

9、w;0,1)-1 = 2x0.8413-1= 0.6826 68.3%“71标准误差和极限误差用正态分布可以计算出任何一次测量误差落在卜 3。， +3。范围内的概率为 99.7%o 即误慕超过3。的概率只 有 0.3%。在一般有限次测量中儿乎是不可能出现的。因 此，可以用。的倍数标志测量值的可靠性程度，即 二 Co。该倍数即为置信系数 C。当 C=1时，二。称为标准误差，置信概率为 68. 3% o当 03时，=3o称为极限误差，置信概率为 99.7%。正态分布参数的最大似然估计-针对有限次测量设某物理虽 x 的 N 个等粘度测量值为 X】,X2,.XN,它是总体 X 中容星为 N 的样本，我

10、 们把它看作 N 维随机变屋。为了山样木估计总体参数，把 N 维随机变塑的联合概率密皮足义为样木的似 然函数。设 X 的概率密度函数为 p（x；0） ,0 为该分布的特征参数（参数个数由分布 而定）,似然曲数的定义为厶(旺,，*“；&)=卩(和兀,心;&)= p(x1;)p(x2;9)-p(xJV;2(-co vr v若 b 的佔计量r 分布的峰值低于标准正态分布的峰值，即 Z 分布比正态分布分散。 自由度*愈小，分散愈明显。当 V 很大，至 yoo，则正态分布 趋于标准分布，即 p（r；v）-/z（r；ou） 了分布的测量结來表示为“ =x tqS：（夕是置信水平）是总不确怎

11、度，括号中除了克信水平是 95%以外，取其他値应注明。在有限次数的测量中，相同孔次测量值的算术平均值 一般是不相等。在n定时，一系列0也满足正态分布， 该分布的标准偏差为，其为t分布与正态分布關线的比较Pif)s冷捫 F显然，随着的增大,平均值标准偏差与测量次数的关系n(加-1)r-1例 用温度计巫复测星某恒温室温度 5 次，测帛说（单位是 K）为 293.79,293.89, 293.80, 293.83, 293.81.试以置信水平 90%表示测量结果。y = 5 l=4非等精度的测量从正态分布讨论加组非等精度测星值，由于测星的是同一 物理量，各组测量的期望值均为巴但箱度不同，标准差则 不

12、同设第 i 组测量值为随机变量兀，标准差为込，则遵从 的正态分布是Pi（兀）=7= expb*2兀利用垠大似然函数法，“的鼓小二乘法估计值是艺兀 -yt/ = =-= X为简称权样本的标准偏圣 S,佔计标准谋差 6 ,此时 3 =丿2( 、2l兀-“2bK/7IV./分布的遼信系数数值表riP（If. /）- -亠一-八帀八远）r专二/门dzlD/lx =293.81/C13uWC.325s rs?l.nl 缈ai? |i.cei 1U2；-0枷c :Q.M50.M1 V 、C.55S0. P2C0 为Q.9C”0886Z.9Z06 芙| 2- W33J4742.31574*2.2.12.“J

13、2O3MHMH1.U6LT401.7341.T29c. w31. S21“wS. 9254. &4)3.S410.90=2.1x =293D.403K)133M潮aole?l6:s么 2911.1792.IW；2. 14S2.122. H0 |2.10)2.C9I0. Wl3(.61*31-i99U- 34B.10M4054. 4K4. JIS 4.2!4. MO4. EX3kl4.C.TCA 2WiC. ?kSx= lM =139567 1辰U例某实验京多次测得带电龙接介子质量的数据（不确定度为标准差，单位keV139569 & 139571 10,139568.6 2.0,

14、139566.72.4,139565.8 1& 139567.5 0.9求测量结果对这吐粘度不等的数据，加权 卜均值及标准偏空是壬=139569,花=139571, = 139568.6,x4一139566.7,兀 -139566.8,% - 139567.5=1/8? =0.0156, =1/10? =0.01 =1/2? =0.25,y4= 1/（2.4）2=0.174,5=1/（1.8）2=0.30 &如=1（0.9），= 1.23_ 61=1耳=-匸）/（6 一 1）卩=04自由度v = m 1 = 5 3S剔除兀/测屋值标准偏差落在3s的置信概率已达99.7%格拉布斯

15、准则：可将3”以外旳价值的测量值找回2.标准不确左度的评怎A类-可用统计方式判定对某虽x的N次亟复测虽B类其他方式判怎非N次重复测星B类测dt单次测量的娱差估计在物理实验中，经常遇到一些不能多次测量的量, 如测量热敏电阻的电阻一温度特性实验中，温度的测量只能是一次性的，相应的电阻也只能是一次性的； 又如仪器的精度较低，或被测对象稳定，多次测量的 结果并不能反映测量结果的随机性，即多次测量已经 失去意义。在这些情况下，我们往往把测量值作为该 物理量的值，而取仪器误差作为测量结果的不确定度,例如用0 1 C分度的水银温度计测量水温t为28.30T,温度计的误差为A仪=0.29 S仪=0 12筝则温

16、 度表示为:t =测塑算术平均值的标准差A 类不确定度测量值的标准差28.300.12(C)1=13.不确定度的传递间接测暈的物理龟是利用H接观测星的结果代入所属的函数关系 式计算出來的，考虑一般帖况，设y为2个直接观察虽： 的函数，y = /（州，乞，兀“）在坷*2,，兀加相互独立的情况卜，误差传递公式是4.不确定度的报告A类+B类不确定度的汇总合成标准不确定度“心）的确定当石 的函数丫 = /（旺宀，心）及其兀标准不确定度“（兀）若各输入量完全相互独立，心）唱討“） 令Cj = df/dxi, CjU（x, ） =Uj（y）方差合成为m2加“（刃=钠（形）=终心）常用传递公式y = i兀2

17、卩 =竝+/llcrv=nx b实用中偏微商07兀足 在估计值Xf处的取值展伸不确沱度 u（ 乂称总不确定度）的确定u =k-uc（y）k=tAv）k是I分布的置信因子* 3）例在某量 y 的测屋中洛输入量兀之间相互无关，其 A 类不确怎度（序审=123.4）实验测量数据的处理曲线拟合问题一种是两个观测屋 x 崎 y 之间的函数形式已知， 但-些参数木知， 需要确定 未知参数的最佳估计值;另种是 x 与 yZ 间的函数形式未知，需要找它们 Z 间的经验公式；1 最小二乘法原理在两个观测量 x,y 中，假设它们的函数关系由如卜理论公式给出 y =于（坨 5，勺,，5）其中 CpC2-sCw是 m

18、 个要通过实验训赵的参数，每组观测数 据（兀）J = 12，N 都对应xy 平面上的一个点。序号不碇定度来源合成不确定度* = %总不确定度U与 B 类不确足如一 5）的数值如农有效口由度N |2艺yx /（兀;55,心）丁|心 取最小时，称最小二乘法原理 ；=! 6?摆动，其分布属 J：正态分蓟/-/（MG。,心）了观测值”【科绕期望值：的概率密度5 是分布的标2. H 线的最小乘拟介设 x 和 yZ 间的函数关系是直线方程，假设兀是准确的，误差只和 用关y = aQ+aXx参数叫的最住佔计，根据最小二乘法原理，的偏差的平方和应最小舟-仏+厲兀）Lx = -2耳（力-出-&兀）=0=

19、-2斗（力-出-9內）=0可求出出，比拟介结果的标准偏差是山迄（X -刃2=工_? _ * （工x）2工（）（r=2-（2）（2）+牡） 解得:0 A N2亦召x-g+yjS =3 相关系数及比显著性检验判断 x 和 y 之间线性关系的密切程度.用 r 表示相关系数。（归r =_ _弓（兀-耳律（兀-刃T1 r o正相关 厂v O负相关r = O完全不相关|r| = 1完全和关4.非线性关系的线性化处理y ClXhny = na + nbxyf= b（）+bxr例在热敏电阻温度测量实验中，所得实验数据记录如下表:作变换用InR1/T作图，且用单对数坐标作出，就 变为一条R(Q)41045047

20、0500560610740920T(K)3423383353333283243183120II310320330340350T1/T1000 -1-900 - 8006.9 -6.8 *6.7 -6.6 6.5 -6.46.3 -6.2 - . 直线。多项式拟合在变量之间的关系还未知的请况F,根据测量数据找经验公 式，多项式拟合是一种有效办法。一般情况下叮用m阶的多项式3y =Q（）+ax + a2x + a3x + + amxm常用的游游标尺的准确度，即a（I Ti |25 =0.05mm刪刖制刪制刪刪冊刪处主尺023$ 石789o狒話5=0.02mm0234轨叫2泯差与快差分类误差是观测值

21、与真值之差。误差就其性质和来源分为偶然误差，系统误差和疏忽误差三大类。偶然误差（亦称随机误差）。包括判断误差、实验条件涨落及观测者所不能控制的干扰 所引起的误差。其特点为：测量结果变化不定，其值与真值之差时正时负，时大时小，并且分布于某一范围之内,服从于统计规律。这类误差无法避免，也无法 直接消除与修正。系统误差包括仪器仪表校准的误差、个人 习惯的误差、实验条件及不完善技术所产生的 误差。系统误差表现在一系列重耍测量中测量 结果差不多都朝着相同方向偏离真值一定值。 系统误差可以通过检査改进实验方法或测量设备引进相应的修正值， 使之尽量减少， 可在实 验前，预见一切可能产生系统误差的来源，设法测

22、量之，并从计算中消去之。疏忽误差是由于实验者的疏忽大意引起的，所以称为过度误差，此类误差可以避免。=LI ill精确度是对测量的系统误差和随机误差的综合评 定。通俗地讲，测量的精确度高是指测量数据比 较集中在真值附近。4仪器的差限和灵敏度测量仪器（量具、仪表和标准器等）都有国家标准规定的准确度等级。依据所用仪器的等级 和量程可以计算出仪器的基本误差限或示值误 差 （仪器误差）例：0-25mm的1级千份尺（螺旋测微器）的误差限为0004Mill;150mA的0 5级的电流表的误差限为0. 75mAo有时会出现这样的情况。举例，用精密的0 01秒表对单摆的周期测量时，发现每次测量值都不一 样，而用

23、0 1秒等级的秒表测量， 多次测量的结果 都一样。是不是低精度的仪表测量结果反而好呢?显然不是。 原因是小于o 1S的时间变化用0 1级的 秒表反映不出来。仪器的灵敏度我们称足以使仪器示值可察觉的被测量最小变化值为仪器的灵敏阈值。一般来说，测量仪器的灵敏阈值小于示值误 差限，而示值误差限小于最小分度值。例如，一 级千份卡的最小分度为0.01mm,示值误差限为0. 004,灵敏阈值为0 002或0. 001 o1机误差的特点1、对称性： 绝对值相等的正误差负误差出现的次 数大致相等。2、单峰性；绝对值小的误差出现的次数比绝对值 大的误差出现的次数多。3、有界性：在一定测量条件下的有限次测量下，

24、误差的绝对值不会超过一定的界限的特性。4、抵偿性：在相同条件下对同一物理量进行测量, 其误差的算术平均值随测量次数的增加而趋向零 即其中：误差=测量值-真值 记作：5 或书中的A A%lim，6 /n=01_A_/(A) = 72CY72兀其中，A为随机误差，f(A)为随 机误差出现的概率，曲线下面的面积 等于1,即：J-oo当&小时，分布曲线陡峭，表示 测量列中小误差出现的几率大，测 量的精密度高。当 e 大时，分布曲 线平缓，表示该测量列中大误差出 现的几率增加，测量的精密度较低, 所以 e 是反映测量精密度高低的物 理量。这里再对 e 的含义作一些较通俗解释。测量数据 愈集中，就

25、意味着在作为测量结果的平均值附近测量 值出现的机会愈多，那么我们对该测量结果是测量对 象实际值的信赖程度也就愈高。换一种说法就是测量 结果的不确定程度也就越小。满足上述条件的误差分布是正态分布，即作正态分布函数从 9 到+b的积分，即测量值的误差落在9 ,+Q 可计算得:区间/()所以 b 同时也作为表达测量结果不确定度的参数。用正态分布可以计算出任何一次测量误差落在-3b , +3a范围内的概率为99.7%o即误差超过3。的概率 只有0.3%o在一般有限次测量中几乎是不可能出现的。因此，可以用7的倍数标志测量值的可靠性程度，即A=Ca。该倍数即为置信系数C。当C=1时，A=a称为标准误差，置信概率为68. 3%。当C=3时，A=3a称为极限误差，置信概率为99. 7%。测量列的随机误差估计在实际测量中，由于真值是不可知的，且测量次数也 不可能是无限的，通常用次测量值的算术平均值元作为 测量值的最佳估计值。对于次测量的测量列兀,测量值的误差可表示为匕二兀-通常称