模态分析-李晓雷

1、第四章第四章 模态分析模态分析振动与噪声控制研究所李晓雷第四章第四章 模态分析模态分析4.1 引言4.2 实模态分析4.3 复模态分析4.4 试验模态分析绪论绪论机械振动的研究对象、意义数学准备和运动学绪论绪论机械振动的研究对象、意义振动，是指物理量在它的平均值附近不断地经过极大值和极小值而往复变化的过程。机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。机械振动研究的对象是机械或结构，即具备质量和弹性的物体。在理论分析时，需要把机械或结构按照力学原理，通过数学建模，抽象为力学系统（又称为数学模型）。可以产生机械振动的力学系统称为振动系统。振动系统三要素及其关系振动系统的三要素：激励、系

2、统和响应外界对振动系统的激励或作用，称为振动系统的激励或输入。系统对外界影响的反映，称为振动系统的响应或输出。二者由系统的振动特性相联系。 三种基本振动问题响应分析：在扰动条件和系统特性已知的情形下，求系统的响应 系统识别：分析已知的激励与响应，确定振动系统的性质环境预测：已知振动系统和在未知激励下的响应，研究该未知激励的性质响应分析车辆在给定的路面上行走，求车身的加速度响应 工程提法：系统设计在一定的激励条件下，如何来设计系统的特性，使得系统的响应满足指定的条件。系统识别方法：以某种已知的激振力作用在被测振动系统上，使其产生响应，根据已知的激励和测量得到的响应量值，进而根据一定的分析方法（模

3、态分析），确定系统的振动参数，如：质量矩阵，刚度和阻尼矩阵以及系统的振型和固有频率向量。模态试验 环境预测例：振源判断、载荷识别、基于振动信号的工况监视与故障诊断。例：用五轮仪来测量路面的不平度 对于五轮仪，其系统特性已知，通过测量五轮仪的输出，可以反推出路面的不平度特性。机械振动的作用 消极方面：影响仪器设备功能，降低机械设备的工作精度，加剧构件磨损，甚至引起结构疲劳破坏。积极方面：利用振动性能的设备机械振动的破坏作用 颤振：大气紊流和其他振源都会使飞机等飞行器产生振动（舒适性，机载仪表）自激振动：输电线的舞动1940年美国塔可马(Tacoma Narrows)吊桥在中速风载作用下，因桥身发

4、生扭转振动和上下振动造成坍塌事故1972年日本海南的一台66104kW汽轮发电机组，在试车过程中发生异常振动而全机毁坏；步兵在操练时，不能正步通过桥梁，以防发生共振现象造成桥梁坍塌机械振动的积极作用 共振放大利用颗粒的振动进行清洗，抛光，零件去毛刺；利用振动减小零部件之间的摩擦阻力和间隙阀 体阀 芯电 磁 铁学习机械振动的意义1.进行结构动强度设计的需要 2.消除有害的振动 3.利用振动有利的一面 4.是学好相关知识的基础 离散系统的基本元件机械振动系统： 惯性元件，弹性元件，阻尼元件，外界激励。通常用物理量： 质量M，刚度K，阻尼C，和外界激励F表示。x1kx2x1cx2振动分类按系统分：线

5、性系统和非线性系统 离散系统和连续系统 确定性系统和随机系统按激励分：自由振动 受迫振动自激振动 参数共振振动分类按响应分：简谐振动 周期振动 非周期振动随机振动 按自由度分：单自由度振动多自由度振动连续体振动运动学一、简谐运动一、简谐运动按时间的正弦函数(或余弦函数)所作的振动sinxAt振幅相位初相位圆频率运动学简谐振动的速度和加速度sinxAt位移速度加速度cosxAt2sinxAt 大小和位移成正比方向和位移相反，始终指向平衡位置运动学拍1212sinsin,atbt不同频率振动的叠加频率接近于相等时拍的频率：每秒中振幅从最小值经过最大值到最小值的次数拍的圆频率：1212运动学简谐振动

6、的复数表示复平面上的一点z代表一个矢量使该矢量以等角速度在复平面内旋转（复数旋转矢量） tPA实轴虚轴cossini tzAtitAesinImImi tyAtzAecossiniexi运动学速度、加速度的复数表示位移i txAe速度i ti tdxAei Aedt加速度2i ti tdxdxi AeAedtdt 1ie /2iei/2itA e2itAe对复数Aeit每求导一次，相当于在它的前面乘上一个i，而每乘上一个i，相当于把这个复数旋转矢量逆时针旋转/2运动学谐波分析把一个周期函数展开成傅立叶级数，亦即展开成一系列简谐函数之和一般的周期振动可以通过谐波分析分解成简谐振动运动学谐波分析傅

7、立叶级数 0112111210111coscos2.2sinsin2.cossin2nnnaF tatatbtbtaantbnt1:基频 002TaF t dtT 102cosTnaF tntdtT 102sinTnbF tntdtT谐波分析两个频率相同的简谐振动可以合成一个简谐振动111cossinsinnnnnantbntAnt22nnnAabtannnnab把谐波分析 的结果形象化：An，n和之间的 关系用图形来表示，称为频谱单自由度系统自由振动 简谐振动非周期强迫振动 自由振动振动系统在初始激励下或外加激励消失后的运动状态。自由振动时系统不受外界激励的影响，其运动时的能量来自于初始时刻

8、弹性元件和惯性元件中存储的能量。振动规律完全取决于初始时刻存储的能量和系统本身的性质。 运动微分方程运动微分方程 振动系统在初始激励下或外加激励消失后的运动状态。自由振动时系统不受外界激励的影响，其运动时的能量来自于初始时刻弹性元件和惯性元件中存储的能量。振动规律完全取决于初始时刻存储的能量和系统本身的性质。O隔离体受力分析kx( )x tmk运动微分方程运动微分方程 运动微分方程000(0), (0)mxkxxxxx2n000(0), (0)xxxxxxnkm运动微分方程运动微分方程 解12cossincos()nnnxAtAtAt10Ax02n xA22002n xAx00narctan

9、xx 运动微分方程运动微分方程 单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动 n22mTknn1122kfTm能量关系能量关系 意义：惯性力的功率Fm与弹性力的功率Fs之和为零 dd0ddxxmxkxtt22d110d22mxkxt221122TEmxUkxTEUE能量关系能量关系 TEUE222nn1sin ()2TEmAt22n1cos ()2UkAt222002n11()22TxEUkAx能量关系能量关系 Rayleigh商 22max1122TmAmx 动能系数 2maxnUkmT阻尼自由振动阻尼自由振动 方程 000(0),(0)0mxcxkxxxxkxcxckxmmO20020(0),(0

10、)0nnxxxxxx n22ccmmk阻尼自由振动阻尼自由振动 解 estxA特征方程20mscsk2220nnss临界阻尼 22encmkm22enccccmmk阻尼自由振动阻尼自由振动 特征方程解 21,21nns -2-101-101ReIm 阻尼自由振动阻尼自由振动 方程的通解 1212( )s ts tx tAeA e三种情况 1，相异实根。阻尼大于临界阻尼。强阻尼=1，重根。阻尼等于临界阻尼 1=121,2(1)ns 221112( )()nnntttx teAeA e1,2ns 12( )()ntx tAA t e阻尼自由振动阻尼自由振动 121,2(i 1)ns 阻尼固有频率

11、2n1d 12( )(cossin)ntddx tectct( )cos()ntdx tXet1020,()/ndcx cxx阻尼自由振动阻尼自由振动 对数衰减率121121cos()cos(nntdtdXetxxXet12()nn dttTee21n dTxx e1222ln1ndxTx简谐强迫振动简谐强迫振动 222cosnnnxxxAtkxcxckxmmxO0cosFt 方程解22 2nncoscos()1 () 2ntdXtxBet简谐强迫振动简谐强迫振动 系数220001000tanndndxxBxxxx222nn1n2n1 ()22tan1 ()AX简谐强迫振动简谐强迫振动 放大系

12、数222nn11 ()2XA01234X/A 0.51/ n10.70.40.30.21 . 0000123210.70.50.20.10简谐强迫振动简谐强迫振动 相频特性1n2n2tan1 ()简谐强迫振动简谐强迫振动 全解简谐强迫振动简谐强迫振动 全解振动计01234675012ABCy0/a0/n位移测量计扰动频率大于仪器的固有频率（B点），记录的振幅逐渐接近于扰动频率的振幅仪器的固有频率应该比要记录测量的频率低2倍当振动包含高阶频率时，不影响位移振动计的测量简谐强迫振动简谐强迫振动 振动加速度计01234675012ABCy0/a0/n2020/1/nnya 2002nay振动加速度计

13、的固有频率应该是所记录测量的最高频率的2倍以上简谐强迫振动简谐强迫振动 振动加速度计振幅r0/a/n00.250.500.751.001.251.501.752.0000.51.01.52.0c/cc=0抛物线c/cc=0.5c/cc=0.7为了避免高阶谐振共振影响振动加速度计工作，必须在振动加速度计中加入阻尼0.5和0.7临界阻尼比无阻尼曲线更接近理想加速度计曲线简谐强迫振动简谐强迫振动 振动加速度计-相位12300306090180/nc/cc=0c/cc=0.125c/cc=0.20c/cc=0.50c/cc=1120150当阻尼在0.5-0.7临界阻尼之间时，相位差特性曲线很接近低于共

14、振区域的对角线：相位差近似正比于频率，记录的波的合成与实际波相同。2n 简谐强迫振动简谐强迫振动 振动的隔离原理0sinPt0sinPtk通过弹簧传给下层结构的力？012345-12-3-41x0/xstABC/n00000/stxxkxxPkP弹簧力传递力可传性外力外力可传性简谐强迫振动简谐强迫振动 振动的隔离原理: 阻尼/n隔振系数10201230.250.50.5c/cc=0l/n1.41区域中，阻尼使隔振系数减小(但仍然比1大)l阻尼的存在使隔振系数更坏？2l阻尼的存在可以有效防止共振l阻尼的不利效应可以很容易通过使弹簧变得更软来弥补非周期强迫振动非周期强迫振动 脉冲力脉冲力t = 时

15、的单位脉冲力时的单位脉冲力重要性质：重要性质：F F( (t t) )在在t t = = 连续，则有连续，则有 ()0()d1tttt( ) ()d( )F tttF非周期强迫振动非周期强迫振动 系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应 条件：条件：t t=0=0以前系统静止，以前系统静止，t t=0=0时刻受到一个单位脉冲力作用时刻受到一个单位脉冲力作用 解为单位脉冲响应解为单位脉冲响应 ( )(0 )0, (0 )0mxcxkxtxx1( )sin0nitddh tettmh(t) = 0 t0 012345678910-8-6-4-202468x 10-3非周期强迫振动非周期强迫振动 卷积极

16、分卷积极分把任意激励把任意激励F F( (t t) )看成一系列脉冲函数的叠加看成一系列脉冲函数的叠加 0( )() ( )dtx th tF定解问题定解问题00( )(0), (0)mxcxkxF txx xx解解0000( )e(cossin)() ()dntndddtxxx txtth tF多自由度系统多自由度系统振动方程 固有振动动力响应分析 多自由度系统振动方程多自由度系统振动方程 例例1 1121221212212221232212322()()( )()()( )m xcc xc xkkxk xf tm xc xcc xk xkk xf t多自由度系统振动方程多自由度系统振动方程

17、 x =x1，x2TT12 ,x xxT12 ,x x x1002mmM122223ccccccC122223kkkkkkKf(t) =f1(t)，f2(t)T( ) tMxCxKxf多自由度系统振动方程多自由度系统振动方程 质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵的性质质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵的性质对称性对称性正定性正定性耦合耦合惯性耦合惯性耦合阻尼耦合阻尼耦合弹性耦合弹性耦合耦合的消除耦合的消除000TTx Mxx Mxx000TTx Cxx Cxx000TTx Kxx Kxx固有振动固有振动 2 反向运动反向运动例：对称系统，例：对称系统， 特殊初始条件下的振动特殊初始条件下的振动1 同向运动同

18、向运动x1(0)= x2(0)= x0， 120(0)(0)xxxx1(0)= x2(0)= x0120(0)(0)xxx1km122kkm固有振动固有振动 固有振动固有振动 3 任意初始条件任意初始条件 分解为两个初始条件分解为两个初始条件110220110220(0),(0),(0),(0)xxxxxxxx102010201212(0)(0),(0)(0)22xxxxxxxx102010201212(0)(0),(0)(0)22xxxxxxxx 00.20.40.60.811.21.41.61.82-4-3-2-101234x 10-3固有振动固有振动 数学提法数学提法 方程方程0MxKx

19、特征值问题特征值问题频率方程频率方程K = 2Mu|kij2mij|=0解为解为固有频率固有频率 12，n振型振型 1 ， 2 ， ， n固有频率矩阵固有频率矩阵 =diag(1，2，n)振型矩阵振型矩阵 = 1， 2， nK = K 1 ，K 2 ，K n= 12 1 ，22 2 ，n2 n固有振动固有振动 振型的正交性振型的正交性 当当 r s时，如果时，如果rs，则有，则有00TsrTsrKM可证：振型之间线性无关可证：振型之间线性无关可定义以刚度矩阵和质量矩阵为权的内积可定义以刚度矩阵和质量矩阵为权的内积即：振型之间彼此以刚度矩阵和质量矩阵为权正交即：振型之间彼此以刚度矩阵和质量矩阵为

20、权正交K=xTKy, M=xTMy 当当y=x时时K=xTKx, M=xTMx 固有振动固有振动 振型正交性的物理意义振型正交性的物理意义 如果如果 x= ar r + as s 则则 xTKx= ar2 rTK r + as2 sTK srrssxbb22111222TTTrrrsssx MxbMbM固有振动固有振动 振型归一化振型归一化 1 令令1TrrM2TrrrK2 令令 r的某一分量为的某一分量为 1。比如取。比如取 r 的分量中绝对值最的分量中绝对值最大的分量为大的分量为 1， 2TrrrrrKMKTrrrMM固有振动固有振动 振型坐标的解耦性振型坐标的解耦性 阻尼矩阵的处理阻尼矩

21、阵的处理 T12T12diag(,)diag(,)dndnK KKM MMKKMMTdCC Rayleigh阻尼阻尼 C = M +K 11MCKKCM11KM CCMK11CKMMK C Fawzy证明证明C可对角化应满足下述条件之一可对角化应满足下述条件之一 固有振动固有振动 方程方程2()0MCK 特征方程特征方程0MxCxKx令令 q= e t20MCKn对共轭复根对共轭复根i1,2,irrdrrrdr= + rn= 2|1,2,2rrdr +rn动力响应分析动力响应分析 物理坐标下的方程物理坐标下的方程 ( ) tMxCxKxfx= y，且两边左乘，且两边左乘 T ，得到振型坐标下的

22、方程，得到振型坐标下的方程( )dddtM yC yK yq11111112222222( )( )( )nnnnnnnM yC yK yq tM yC yK yq tM yC yK yq t写出分量形式写出分量形式 动力响应分析动力响应分析 初始条件的处理初始条件的处理 00(0)(0)xxyy两边左乘两边左乘 TM同样同样 00(0)(0)xxyy0120(0)(0)diag(,)nm mmMxMxMyy0012111diag(,)nmmmyMx0012111diag(,)nmmmyMx动力响应分析动力响应分析 展开定理展开定理 1122nnyyyxy 弹性力弹性力 位移位移 1122()

23、snnyyy fKxKy =KKK 222111222()nnnyyy=MMM复模态分析复模态分析 方程方程 ( )MxCxKxf t引入辅助方程引入辅助方程0MxMx令令( )xq tx ( )( )0f tp t0CMAM00KBM( )AqBqp t状态空间方程状态空间方程复模态分析复模态分析 令令 q= e t()0AB0AB特征方程特征方程 n对共轭复根对共轭复根i1,2,irrdrrrdr= + rn=2|1,2,2rrdr +rn复模态分析复模态分析 由由()0rrAB得到得到n对对2n维共轭向量维共轭向量(特征向量特征向量) rr并有并有 1,2,rrrrrrrrrn 称称 r

24、为第为第r阶模态向量阶模态向量 复模态分析复模态分析 令令12,n 则则 这里这里 称：称： 为复模态矩阵为复模态矩阵 1212,nn 1212diag(,)diag(,)nn 为特征向量矩阵为特征向量矩阵 为频率矩阵为频率矩阵 复模态分析复模态分析 复特征向量的正交性复特征向量的正交性T0rsrrsars H0rsrrsars r，s=1，2，, ,nT0rsrrsbrs H0rsrrsbrs rrrrrrbbaa 复模态分析复模态分析 上面公式展开得上面公式展开得T0()rsrsrrsarsMCr，s=1，2，, ,nT0()rsksrrsbrs KH0()rsrsrrsarsMCH0()

25、rsksrrsbrs K复模态分析复模态分析 1212diag,nna aa a aaA分块有分块有12(2)diag,na aaCH12(2)diag,na aaCH(2Re)0C复模态分析复模态分析 分块有分块有1212diag ,nnb bb b bb 212()diag ,nb bbK H()0K H212()diag ,nb bbK 复模态分析复模态分析 复模态质量复模态质量Hrrrm 复模态参数复模态参数Hrkrr 复模态刚度复模态刚度HrcrrCr=1，2，, ,n复模态阻尼复模态阻尼并有并有2Re0rrrmc0rrrrkm r=1，2，, ,n复模态分析复模态分析 复模态阻尼衰

26、减系数复模态阻尼衰减系数Rerrrrrc2m|rrrrrkm复模态固有频率复模态固有频率2rrrrrrc=m kr=1，2，, ,n复模态阻尼比复模态阻尼比并有并有复模态阻尼固有频率复模态阻尼固有频率2221rdrrrr22ii1ii1rrdrrrrrrrdrrrrr= + = 复模态分析复模态分析( )AqBqp t 物理坐标下的方程物理坐标下的方程 q= y，且两边左乘，且两边左乘 T ，得到复特征向量坐标下的方程，得到复特征向量坐标下的方程12121212diag(,)diag( , )( )nnnna aa a aab bb b btyywTTT(0)(0),(0)qxx初始条件初始条

27、件 120(0)(0)=diag(,)(0)na aazyAqz复模态分析复模态分析0AqBq 物理坐标下的自由振动解物理坐标下的自由振动解 特征向量坐标下的解为特征向量坐标下的解为 12120diag(e ,e,e,e ,e,e)nnttttttyy 由由q= y中取出前中取出前n项，得项，得1212diag(e ,e,e) (0)diag(e ,e,e) (0)nnttttttxzz1(0)e(0)errnttrrrrrzz复模态分析复模态分析 如果系统以某阶阻尼固有频率振动时如果系统以某阶阻尼固有频率振动时 ，有，有 其中第其中第s个坐标的运动为个坐标的运动为 设设(0)e(0)errt

28、trrrrrzzx(0)e(0)errttsrsrrsrrxzziie(0) |(0)|esrrsrsrrr=|zz则则2|(0) ecos(+)rtsrsrrdrsrrxz|t+复模态分析复模态分析 一般粘性阻尼系统以一般粘性阻尼系统以r阶主振动做自由振动时，阶主振动做自由振动时，每个物理坐标的初相位每个物理坐标的初相位( sr r)不仅与该阶主振动有不仅与该阶主振动有关，还与物理坐标关，还与物理坐标s 有关，即各物理坐标初相位不有关，即各物理坐标初相位不同。因而，每个物理坐标振动时并不同时达到平衡同。因而，每个物理坐标振动时并不同时达到平衡位置和最大位置，即主振型节点（线）是变化的，位置和

29、最大位置，即主振型节点（线）是变化的，即不具备模态保持性，主振型不再是驻波形式，而即不具备模态保持性，主振型不再是驻波形式，而是行波形式。这是复模态系统的特点是行波形式。这是复模态系统的特点复模态分析复模态分析 简支梁二阶振型半个周期内的变化简支梁二阶振型半个周期内的变化（a）实模态系统；（）实模态系统；（b）复模态系统）复模态系统连续体振动杆的纵向振动杆的纵向振动轴的扭转振动轴的扭转振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动杆的纵向振动杆的纵向振动 假定：假定：细长等截面杆细长等截面杆, 振动时横截面仍保持为平面，横截振动时横截面仍保持为平面，横截面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。面上的质

30、点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。则同一横截面上各点在则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。方向作相等的位移。参数：杆长参数：杆长l，截面积，截面积S，材料密度，材料密度 ，弹性模量，弹性模量E杆的纵向振动杆的纵向振动 杆的纵向振动杆的纵向振动22222xuatu 微元分析：微元分析：mAEa 2杆的纵向振动杆的纵向振动 杆的纵向振动杆的纵向振动 杆的纵向振动杆的纵向振动 解解：设：设 u(x,t)=X(x)T(x) )()()()(2xXtTatTxX 即即 )()()()(2xXxXatTtT 0)()(2tTtT 0)()(22 xXaxX杆的纵向振动杆的纵向振动)()(tiA

31、etT 解解为为xaCxaCxXcossin)(21时间域，初值问题时间域，初值问题空间域，边值问题空间域，边值问题固支边条件固支边条件x=0时时，u(0,t)=X(0)T(x)=0，即X(0)=0 x=l时时，u(l,t)=X(0)T(l)=0，即X(l)=0 自由边条件自由边条件x=0时时, , ，即，即 0)()0(), 0(tTdxdXxtu0)0(dxdXx=l时时, , ，即，即 0)()(),(tTdxldXxtlu0)(dxldX杆的纵向振动杆的纵向振动0sinla 例：例：如果两端固支，有如果两端固支，有xlxsin1lxlx2sin2x两端固支杆纵向振动特征方程（频率方程）

32、两端固支杆纵向振动特征方程（频率方程） 这就是两端固支杆纵向振动的各阶频率，相应的各阶这就是两端固支杆纵向振动的各阶频率，相应的各阶固有振型是：固有振型是： nla（n=1,2,） mEAlnalnn（n=1,2,） C2=0 0sin1laC显然，显然，C10，故有：，故有： xlnxaxXnnsinsin)(轴的扭转振动轴的扭转振动 方程方程dxMk22)(tdxxIdxxMkMk 弹性轴轴向坐标弹性轴轴向坐标x，扭转变，扭转变形形(x,t)，单位长度对，单位长度对x轴的轴的转动惯量转动惯量I(x)，截面抗扭刚度，截面抗扭刚度为为GJ(x)。 0)()(22txIxxGJx 当转动惯量当转

33、动惯量I(x)，截面抗扭刚度，截面抗扭刚度GJ(x)与与x无关时无关时02222tIxGJ2222222xxIGJt梁的弯曲振动梁的弯曲振动02244tymxyEI 方程方程用分离变量法求解，令用分离变量法求解，令 )()(),(tTxYtxy02244tYmYxYEIT令令 ，则上式为：，则上式为： TdtTdYdxYdamEIIV 22442,TTYYaIV 222TTYYaIV 梁的弯曲振动梁的弯曲振动)(tiAeT 方程方程02TT 022)4(YaYxaCxaCxachCxashCxYcossin)(4321边界条件边界条件简支简支00022dxYdYx，处，0022dxYdYlx，

34、处，梁的弯曲振动梁的弯曲振动 固支固支自由自由000dxdYYx，处，0003322dxYddxYdx，处，00dxdYYlx，处，003322dxYddxYdlx，处，梁的弯曲振动梁的弯曲振动 固支固支自由自由000dxdYYx，处，0003322dxYddxYdx，处，00dxdYYlx，处，003322dxYddxYdlx，处，随机振动随机过程 相关函数功率谱函数激励响应关系 随机过程随机过程 样本函数样本函数 xr(t) t ( ， ) 随机函数随机函数 txtXk状态状态 1tX数字特征数字特征 均值均值 x=EX(t) 均方值均方值 x=EX2(t) 方差方差 E(X (t) x )2 相关函数相关函数 相关函数相关函数 自相关函数自相关函数 平稳随机过程平稳随机过程 统计性质、趋势与时间无关统计性质、趋势与时间无关 1212,xRt tE X tX t互相关函数互相关函数 1212,xyRt tE X t Y t均值、均方值和方差为常数均值、均方值和方差为常数 相关函数是时差的函数相关函数是时差的函数 xRE X t X t xyRE X t Y t各态遍历过程各态遍历过程 相关函数相关函数 自相关函数性质自相关函数性质 1 1 偶