三角函数模型的简单应用第一课时最后更新

1、衡阳县六中 刘碧华刘碧华第一课时第一课时例一：根据图象建立解析式例一：根据图象建立解析式 ( (研究温度随时间呈周期性变化的问题研究温度随时间呈周期性变化的问题) ); ;例二：根据解析式作出图象例二：根据解析式作出图象 ( (研究与正弦函数有关的简单函数研究与正弦函数有关的简单函数y=|sinx|的图象及其周期的图象及其周期) )；例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型例三：将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型 ( (研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题) )； 目的：加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习。目的：加强用三角函数模型刻

2、画周期变化现象的学习。教学重点：教学重点：根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模根据已知图象求解析式；将实际问题抽象为三角函数模型。型。教学难点：教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题备注：备注：三角函数模型三角函数模型三角函数关系三角函数关系简单应用简单应用学以致用，解决生活中的实际问题学以致用，解决生活中的实际问题在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变在我们现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言

3、可以说这些现象具有周期性，而我们所化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用就来探讨三角函数模型的简单应用. .函数模型的应用示例 2、心理、生理现象、心理、生理现象 情绪的波动情绪的波动 智力变化状况智力变化状况 血压变化状况血压变化状况 3、地理情景、地理情景 气温变化规律气温变化规律 月圆与月缺月圆与月缺 4、日常生活现象、日常生活现象 涨潮与退潮涨潮与退潮 车轮

4、转动车轮转动 峰谷电峰谷电 )0, 0()sin(AxAy正弦函数正弦函数y=sinxy=sinx余弦函数余弦函数y=cosxy=cosx1 1、物理情景、物理情景简单和谐运动简单和谐运动星体的环绕运动星体的环绕运动根据图象建立三角函数关系：根据图象建立三角函数关系：例例1.1.如图，某地一天从如图，某地一天从6 61414时时的温度变化曲线近似满足函数的温度变化曲线近似满足函数: :sin()yAxbT/102030ot/h6 10 14思考思考1 1：这一天这一天6 61414时的最大温差是多少？时的最大温差是多少？思考思考2 2：函数式中函数式中A A、b b的值分别是多少？的值分别是多

5、少？3030-10-10=20=20A=10,b=20.A=10,b=20.思考思考3 3：如何确定函数式中如何确定函数式中 和和 的值的值? ?12146 ,2.86,10.xy3将代入上式，解得 4思考思考4 4：这段曲线对应的函数是什么？这段曲线对应的函数是什么？思考思考5 5：这一天这一天1212时的温度大概是多少（时的温度大概是多少（）？）？ 27.07. 27.07. 310sin()20,6,1484yxx综上，所求解析式为 一般的，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时刻一般的，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围的温度变化情

6、况，因此应当特别注意自变量的变化范围. .方法小结：方法小结： maxmin1,2Af xf x maxmin12bf xf x2T利用求得，,利用最低点或最高点在图象上 该点的坐标满足函数解析式可求得,注意通常根据解析式模型建立图象模型根据解析式模型建立图象模型例例2.2.画出函数画出函数y y|sin|sinx x| |的图象并观察其周期的图象并观察其周期. .y y|sinx|sinx|x xy y-2-2解：解：函数图象如图所示函数图象如图所示从图中可以看出，函数从图中可以看出，函数 是以是以为周期的波浪形为周期的波浪形曲线曲线. .xysin由于由于,sinsin)sin(xxx所以

7、，函数所以，函数 是以是以为周期的函数为周期的函数. .xysin我们也可以这样进行验证：我们也可以这样进行验证： 利用函数图象的直观性利用函数图象的直观性, ,通过观察图象而获得对函数通过观察图象而获得对函数性质的认识性质的认识, ,这是研究数学问题的常用方法这是研究数学问题的常用方法. . 例例3.3.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时为此时太阳直射纬度，太阳直射纬度， 为该地的纬度值，那么这三个量之间的为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是关系是 9090| | |.|.当地夏半年当地夏半年 取正值，冬半年取正值，冬半年 取负值取负值.

8、 . 太阳太阳光光课堂探究3将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型如图，设地球表面某地如图，设地球表面某地纬度值为纬度值为 ，正午太阳，正午太阳高度角为高度角为，此时太阳，此时太阳直射纬度为直射纬度为 ，那么，那么这三个量之间的关系这三个量之间的关系是是 。当地。当地夏半年夏半年取正值，冬半取正值，冬半年年取负值。取负值。90| o太阳光太阳光90| 地心地心北半球北半球南半球南半球太阳高度角的定义太阳高度角的定义太阳光太阳光90 o90| o90| o地心地心太阳光直射南半球太阳光直射南半球分析：分析：根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为根据地理知

9、识，能够被太阳直射到的地区为南，北回归线之间的地带南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知画出图形如下，由画图易知A B CH如果在北京地区（纬度数约为北纬如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为）的一幢高为H的楼的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离的楼房遮挡，两楼的距离应应不小于多少？不小于多少？解：解：如图，如图，A A、B B、C C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新

10、楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为况考虑，此时的太阳直射纬度为-23-232626，依题意两楼的间，依题意两楼的间距应不小于距应不小于MC.MC.根据太阳高度角的定义，有根据太阳高度角的定义，有C=90C=90-|40-|40-(-23-(-2326)|=2626)|=263434所以，所以，2.000tantan26 34HHMCHC 即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距楼高两倍的间距. .练习练习4.一树干被台风吹

11、断，折成一树干被台风吹断，折成60角，角，树干底部与树尖着地处相距树干底部与树尖着地处相距20米，树干米，树干原来的高度为原来的高度为_米米将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚: :理解题意理解题意建立三角建立三角函数模型函数模型求解求解还原解答还原解答例例4.一半径为一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面距离水面2m，已知水轮每分钟转动，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点圈，如果当水轮上点P从水中从水中浮现时开始计算时间。浮现时开始计算时间。（1）将点）将点P距离水面的高度距离水面的高度z(m)表示为时间表示为时间t

12、(s)的函数；的函数；（2）点）点P第一次到达最高点大约要多长时间？第一次到达最高点大约要多长时间？例题例题1xy解解(1)(1)不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系。 设角设角 。 由由OPOP在在t(s)t(s)内所转过的角为内所转过的角为 ， 可知以可知以OxOx为始边，为始边，OPOP为终边的角为为终边的角为 ， 故点故点P P的纵坐标为的纵坐标为 ，则，则(0)2P Ox 4 22()6015tt 215t 23sin()15t 23sin()215zt 当当t=0,z=0,t=0,z=0,可得可得 . .2sin3 因为 ,

13、所以 . 02 0.73 故所求函数关系式为故所求函数关系式为 . .23sin(0.73)215zt (2)(2)令令 , ,得得 . .23sin(0.73)2515zt 2sin(0.73)115t 取取 , ,解得解得 . .20.73152t 5.5t 即点即点P P第一次到达最高点大约要第一次到达最高点大约要5.5S.5.5S.xy 1.1.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O O的距离的距离s cms cm和时间和时间t st s的函数关系式为的函数关系式为:s=6sin(2t+ ),:s=6sin(2t+ ),那么单摆来回摆动一次所需的时间

14、为（那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）(A)2 s (B) s(A)2 s (B) s(C)0.5 s (D)1 s(C)0.5 s (D)1 sD D62.2.已知某海滨浴场的海浪高度已知某海滨浴场的海浪高度y(y(米米) )是时间是时间t t（其中（其中0t 0t 2424，单位：小时）的函数，记作，单位：小时）的函数，记作y=f(t)y=f(t)，下表是某日各，下表是某日各时的浪高数据：时的浪高数据： 经长期观测经长期观测,y=f(t),y=f(t)的曲线可近似地看成是函数的曲线可近似地看成是函数y=Acost+by=Acost+b，根据以上数据，函数的解析式为，根据以上数据，函数的

15、解析式为_._.3.3.若函数若函数f(x)=sinx+2|sinx|f(x)=sinx+2|sinx|， xx0,20,2的图象与的图象与直线直线y=ky=k有且只有两个不同的交点，则有且只有两个不同的交点，则k k的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】f(x)f(x)其图象如图所示，若有两个交点，则其图象如图所示，若有两个交点，则1 1k k3 3答案：答案：1 1k k3 31.1.根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域. . 2.2.对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律角函数模型描述其变化规律. .先根据相关数据作出散点图，先根据相关数据作出散点图，再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函再进行函数拟合，就可获得具体的函数模型，有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题数模型就可以解决相应的实际问题. .3.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学三角函数作为描述现实世界中周期现象