人教版九年级下册数学28.2.2应用举例优质课件

1、第一课时第一课时第二课时第二课时第三课时第三课时人教版人教版 数学数学 九九年级年级 下册下册第一课时第一课时返回返回 高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能如果鞋跟太高，也有可能“喜剧喜剧”变变“悲剧悲剧”.”.导入新知导入新知 你知道你知道高跟鞋的鞋底高跟鞋的鞋底与地面的夹角为与地面的夹角为多少度多少度时，时，人脚的感觉最舒适人脚的感觉最舒适吗？吗？3. 体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培养学生养学生分析问题分析问题、解决问题解决问题的能力的能力1. 巩固巩固解直角三角形解直角三角形相关知识相

2、关知识 .素养目标素养目标2. 能从实际问题中构造直角三角形，会把实际能从实际问题中构造直角三角形，会把实际问题转化为问题转化为解直角三角形解直角三角形的问题，并能灵活选的问题，并能灵活选择三角函数解决问题择三角函数解决问题.（2）两锐角之间的关系）两锐角之间的关系（3）边角之间的关系）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系）三边之间的关系 ABabcC探究新知探究新知知识点 1 小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点小明去景点游玩，搭乘观光

3、索道缆车的吊箱经过点A到达点到达点B时，它走过了时，它走过了300m. 在这段路程中缆车行驶在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为的路线与水平面的夹角为30 ，你知道缆车垂直上升的你知道缆车垂直上升的距离是多少吗距离是多少吗? ?ABABD30300m解：解：BD=ABsin30=150m探究新知探究新知DABC 小明乘坐索道缆车继续从点小明乘坐索道缆车继续从点B到达比点到达比点B高高 200m的点的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60，缆车，缆车行进速度为行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？，小明需要多长时间才能

4、到达目的地？ABDCE60200m=231m.sin60CEBC小明小明需要需要115.5s才才能到达目的地能到达目的地.探究新知探究新知解：解：2312=115.5（s）30 例例1 2012年年6月月18日，日，“神舟神舟”九号载人航天飞船与九号载人航天飞船与“天宫天宫”一号目一号目标飞行器成功实现交会对接标飞行器成功实现交会对接. “神舟神舟”九号与九号与“天宫天宫”一号的组合体在离一号的组合体在离地球表面地球表面343km的圆形轨道上运行的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？点的正上方时，

5、从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与最远点与P点的距离是多少（地球半径约为点的距离是多少（地球半径约为6 400km，取取3.142 ，结结果取整数）？果取整数）？OFPQFQ是是O的切线，的切线，FQO为为直角直角.最远点最远点PQ求求 的长，要先的长，要先求求POQ的度数的度数探究新知探究新知素养考点素养考点 1解：解：设设FOQ =，FQ是是 O切线，切线，FOQ是直角三角形是直角三角形 当当组合体组合体在在P点正上方时，从中观测地球表面时的点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离最远点距离P点约点约2051km.探究新知探究新知6400cos0.9491,640034

6、3OQOFOFPQ 的长为的长为PQ18.36 .18.3618.36 3.142640064002051(km).180180【讨论讨论】从从前面前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？的应用前提条件是什么吗？如何进行？【方法点拨方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形非直角三角形时，需时，需添加辅助线添加辅助线构造直角三角形构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题，然后运用三角函数解决问题探究

7、新知探究新知小结探究新知探究新知 归纳总结归纳总结解直角三角形的应用：解直角三角形的应用：( (1) )将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题( (画出平面图形，转化画出平面图形，转化为为解直角三角形解直角三角形的问题的问题) )；( (2) )根据条件的特点，适当选用根据条件的特点，适当选用锐角三角函数锐角三角函数等知识去等知识去解直角三角形；解直角三角形；( (3) )得到得到数学问题数学问题答案；答案；( (4) )得到得到实际问题实际问题答案。答案。注：注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解. .1.如图，某人想沿着梯

8、子爬上高如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？那么梯子的长至少为多少米？ABC解：解：如图所示，依题意可知如图所示，依题意可知B= 60 答：答：梯子的长至少梯子的长至少4.62米米. .巩固练习巩固练习sinACBAB，448 34.62.sinsin60332ACABB 例例2 如图，秋千链子的长度为如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面小忽略不计）距地面0.5m秋千向两边摆动时，若最大摆角秋

9、千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60，则秋千踏板与，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？地面的最大距离为多少？0.5m3m60探究新知探究新知素养考点素养考点 20.5m3mABCDE60探究新知探究新知分析：分析：根据题意，可知根据题意，可知秋千踏板与地面的最大秋千踏板与地面的最大距离为距离为CE的长度的长度.因此，因此，本题可抽象为：本题可抽象为：已知已知 DE=0.5m，AD=AB=3m，DAB=60，ACB为为直角三角形，求直角三角形，求CE的长的长度度.解：解：CAB=60，AD=AB=3m，3mABDE60CAC=AB

10、cosCAB=1.5m， CD=ADAC=1.5m， CE=AD+DE=2.0m.即秋千踏板与地面的最大距离为即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m. .探究新知探究新知FEA2. ( (1) )小华去实验楼做实验小华去实验楼做实验, , 两幢实验楼的高度两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为已知太阳光与水平线的夹角为30，求南楼的影子在北楼上有多高？求南楼的影子在北楼上有多高？北北ABDC20m15m30EF南南解：解：过点过点E作作EFBC，AFE=90，FE=BC=15m.即南楼的影子在北楼上的高度即南楼的影子在北楼上的高度为为

11、(205 3)m.= =(205 3)m.EC FB ABAF巩固练习巩固练习=tan30 =5 3m.AF FE( (2) ) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距响，请问楼间距BC至少应为多少米至少应为多少米? ?AB20m?m北北DC30南南答案：答案：BC至少为至少为20 3m.巩固练习巩固练习 （2018台州）图台州）图1是一辆吊车的实物图，图是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意是其工作示意图，图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面离地面BD的高度的高度AH为为3.4m当起重臂当起重臂

12、AC长度为长度为9m，张角，张角HAC为为118时，求操时，求操作平台作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53）巩固练习巩固练习连 接 中 考连 接 中 考图图1图图2巩固练习巩固练习连 接 中 考连 接 中 考解：解：作作CEBD于于E，AFCE于于F，易得四边形，易得四边形AHEF为矩形，为矩形， EF=AH=3.4m，HAF=90， CAF=CAHHAF=11890=28， 在在RtACF中，中， ， CF=9sin28=90.47=4.23， CE=CF+EF=4.23

13、+3.47.6（m），答：答：操作平台操作平台C离地面的高度为离地面的高度为7.6mACCFCAF sin图图2EF1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案：的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树从树A沿着垂直于沿着垂直于AB的方向走到的方向走到E，再从，再从E沿着垂直于沿着垂直于AE的的方向走到方向走到F，C为为AE上一点，其中上一点，其中3位同学分别测得三组数据：位同学分别测得三组数据：AC，ACB；EF、DE、 AD；CD，ACB，ADB其其中能根据所测数据求得中能根据所测数据求

14、得A、B两两树距离的有树距离的有( )( ) A. 0组组 B. 1组组 C. 2组组 D. 3组组 D课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2. 如图，要测量如图，要测量B点到河岸点到河岸AD的距离，在的距离，在A点测得点测得BAD=30，在，在C点测得点测得BCD=60，又测得，又测得AC=100米，则米，则B点到河岸点到河岸AD的距离为的距离为( )( )BDCAA. 100米米 B. 米米 C. 米米 D. 50米米50 3200 33B课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的一次台风将一棵大树刮断，经测量，

15、大树刮断一端的着地点着地点A到树根部到树根部C的距离为的距离为4米，倒下部分米，倒下部分AB与地平面与地平面AC的夹角为的夹角为45，则这棵大树高是，则这棵大树高是 米米. .(44 2)ACB4米45课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题OCBA “欲穷千里目，更上一层楼欲穷千里目，更上一层楼”是是唐代诗人李白的不唐代诗人李白的不朽诗句朽诗句. .如果我们想在地球上看到距观测点如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，里处景色，“更上一层楼更上一层楼”中的楼至少有多高呢中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗存在这样的楼房吗( (设设 代表地面，代表地面，O为地球球心，为地球

16、球心，C是地面上一点，是地面上一点， =500km，地球的半径为，地球的半径为6370 km，cos4.5= 0.997) )？ACAC能 力 提 升 题能 力 提 升 题课堂检测课堂检测解：解：设登到设登到B处，视线处，视线BC在在C点与地球相切，也就是点与地球相切，也就是 看看C点，点，AB就是就是“楼楼”的高度，的高度， AB=OBOA=63896370=19(km). .即这层楼至少要高即这层楼至少要高19km，即即19000m. 这是不存在的这是不存在的. OCBA在在RtOCB中，中，O1804.5ACOC，63706389 kmcoscos4.5OCOBO，课堂检测课堂检测能 力

17、 提 升 题能 力 提 升 题 如图，在电线杆上的如图，在电线杆上的C处引拉线处引拉线CE，CF固定电线杆固定电线杆. 拉拉线线CE和地面成和地面成60角，在离电线杆角，在离电线杆6米的米的A处测得处测得AC与水平与水平面的夹角为面的夹角为30，已知，已知A与地面的距离为与地面的距离为1.5米，求拉线米，求拉线CE的长的长.（结果保留根号）（结果保留根号） G解：解：作作AGCD于点于点G，则则AG=BD=6米，米，DG=AB=1.5米米. .tan30CGAG362 33 (米).拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测GCD=CG+DG= ( ( +1.5) ) ( (米米)

18、)，2 332 31.543sin602CDCE ( (米米).).课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：1. 将实际问题抽象为数学问题；将实际问题抽象为数学问题；2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形解直角三角形；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题3. 得到数学问题的答案；得到数学问题的答案；4. 得到实际问题的答案得到实际问题的答案.课堂小结课堂小结第二课时返回返回 青青草原上青青草原上, ,灰太狼每天都想着如何抓羊灰太狼每天都想着如

19、何抓羊, ,而且屡败屡而且屡败屡试试, ,永不言弃永不言弃. .如图所示如图所示, ,一天一天, ,灰太狼在自家城堡顶部灰太狼在自家城堡顶部A处处测得懒羊羊所在地测得懒羊羊所在地B处的俯角为处的俯角为60, ,然后下到城堡的然后下到城堡的C处处, ,测得测得B处的俯角为处的俯角为30. .已知已知AC=40 m, ,若灰太狼以若灰太狼以 5 m/s的的速度从城堡底部速度从城堡底部D处出发处出发, ,几秒钟后能抓到懒羊羊几秒钟后能抓到懒羊羊?(?(结果精结果精确到个位确到个位)()(假设懒洋洋不动假设懒洋洋不动) ) 导入新知导入新知1. 使学生了解使学生了解仰角仰角、俯角俯角的概念，并能够根据

20、直的概念，并能够根据直角三角形的知识解决实际问题角三角形的知识解决实际问题.2.在解题过程中进一步体会在解题过程中进一步体会数形结合数形结合、转化转化、方程方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路模型及解题思路.素养目标素养目标3. 进一步进一步培养学生培养学生分析问题分析问题、解决问题解决问题的能力的能力.铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角 在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做水平线上方的叫做仰角仰角，视线在水平线下方的叫做，视线在水

21、平线下方的叫做俯角俯角. .探究新知探究新知知识点 1巧记巧记“上仰下俯上仰下俯” 例例1 热气球的探测器显示，从热气球热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为看一栋楼顶部的仰角为30，看这栋楼底，看这栋楼底部的俯角为部的俯角为60，热气球与楼的水平距离，热气球与楼的水平距离为为120m，这栋楼有多高，这栋楼有多高（结果取整数）？（结果取整数）？分析分析：我们知道，在视线与水平线所成我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，中，=30,=60. 在在RtABD中

22、，中， =30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出类似地可以求出CD，进而求出，进而求出BCABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角探究新知探究新知一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题素养考点素养考点 1解：解：如图，如图， = 30,= 60， AD120tan,tan.BDCDaADAD312040 3(m).31203120 3(m).答：答：这栋楼高约为这栋楼高约为277m.ABCDtan120 tan30BDADatan120 tan60CDAD40 3120 3BCBDCD探究新知探究

23、新知160 3277（m）探究新知探究新知 方法点拨解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法 根据仰角、俯角的定义根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线画出水平线、视线，找准仰角、找准仰角、俯角俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用的直角三角形，然后利用解直角三角形解直角三角形使问题获解使问题获解. .1. 如图，在电线杆上离地面高度如图，在电线杆上离地面高度5m的的C点处引两根拉线固定点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线电线杆，一根拉线AC和地面成和地面成60角，另一根拉线角，另一根拉

24、线BC和地面和地面成成45角则两根拉线的总长度为角则两根拉线的总长度为 m( (结果用带结果用带根号的数的形式表示根号的数的形式表示) ). . 10 35 23巩固练习巩固练习 例例2 如图，直升飞机在长如图，直升飞机在长400米的跨江大桥米的跨江大桥AB的上方的上方P点点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37和和45 ，求飞机，求飞机的高度的高度 .（结果取整数（结果取整数. 参考数据：参考数据：sin370.8，cos37 0.6，tan 370.75）AB3745400米米P素养考点素养考点 2探究新知探究新知两个观测点构造两个直角三角形解答实际问

25、题两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题ABO3745400米米P设设PO=x米，米，在在RtPOB中，中，PBO=45，在在RtPOA中中，PAB=37，OB=PO= x米米.解得解得x=1200.解：解：作作POAB交交AB的延长线于的延长线于O.tan0.75POPABOA，即即0.75400 xx，故飞机的高度为故飞机的高度为1200米米. .探究新知探究新知2. 如图，为了测出某塔如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择的高度，在塔前的平地上选择一点一点A，用测角仪测得塔顶，用测角仪测得塔顶D的仰角为的仰角为30，在，在A、C之间选之间选择一点择一点B（A、B、C三点在同一

26、直线上）用测角仪测得塔三点在同一直线上）用测角仪测得塔顶顶D的仰角为的仰角为75，且，且AB间的距离为间的距离为40m( (1) ) 求点求点B到到AD的距离；的距离； 答案：答案：点点B到到AD的距离为的距离为20m. .E巩固练习巩固练习( (2) ) 求塔高求塔高CD（结果用根号表示）（结果用根号表示）解：解：在在RtABE中，中，A=30，ABE=60，DBC=75，EBD=1806075=45，DE=EB=20m，则则 ( (m) )，在在RtADC中，中，A=30，答：答：塔高塔高CD为为 m.10 10 32ADDC (m).10 10 3巩固练习巩固练习)20320(DEAEA

27、DE（2018长春）如图，某地修建高速公路，要从长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向地向B地修一条地修一条隧道（点隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离两地之间的距离，一架直升飞机从，一架直升飞机从A地出发，垂直上升地出发，垂直上升800米到达米到达C处，在处，在C处观察处观察B地的俯角为地的俯角为，则，则A、B两地之间的距离为（）两地之间的距离为（）A. 800sin米米 B. 800tan米米 C 米米 D 米米连 接 中 考连 接 中 考巩固练习巩固练习Dasin800atan8001. 如图，在高出海平面如图，在高出海平面100米的悬崖顶

28、米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘处，观测海平面上一艘小船小船B，并测得它的俯角为，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离，则船与观测者之间的水平距离BC=_米米.2. 如图，两建筑物如图，两建筑物AB和和CD的水平距离为的水平距离为30米，从米，从A点测得点测得D点点的俯角为的俯角为30，测得，测得C点的俯角为点的俯角为60，则建筑物，则建筑物CD的高为的高为_米米.10020 3图图BCA图图BCAD3060基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测3. 为测量松树为测量松树AB的高度，一个人站在距松树的高度，一个人站在距松树15米的米的E处，处，测得仰角测得仰角ACD=

29、52，已知人的高度是，已知人的高度是1.72米，则米，则树高树高 ( (精确到精确到0.1米）米）. . ADBEC20.9 米米课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题4. 如图，小明想测量塔如图，小明想测量塔AB的高度的高度. .他在他在D处仰望塔顶，测处仰望塔顶，测得仰角为得仰角为30，再往塔的方向前进，再往塔的方向前进50m至至C处处. .测得仰角为测得仰角为60，小明的身高，小明的身高1.5 m. .那么该塔有多高那么该塔有多高?(?(结果精确到结果精确到1 m) )，你能帮小明算出该塔有多高吗，你能帮小明算出该塔有多高吗? ?DABBDCC课堂检测课堂检测基 础 巩 固

30、 题基 础 巩 固 题解：解：由题意可知，由题意可知，ADB=30，ACB=60，DC=50m. 课堂检测课堂检测DB=xtan60，CB=xtan30，xtan60-xtan30=50，DABBDCCtantanDBCBD ABC ABxx， DAB=60，CAB=30，设设AB=x m.43.3 1.544.845(m).AB 5025 343.3(m)tan60tan30 x，基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB，由距，由距BC 40m的的D处观察旗杆顶部处观察旗杆顶部A的仰角为的仰角为54，观察底部，观察底部B的的仰角为仰角为45，求旗杆的高度

31、（精确到，求旗杆的高度（精确到0.1m）. .ABCD40m5445ABCD40m5445解：解：在等腰在等腰RtBCD中，中，ACD=90，BC=DC=40m. 在在RtACD中中 ，tanACADCDCAB=ACBC=55.240=15.2 ( (m) ).课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题AC=DCtanADC=tan54401.3840=55.2（m) )解：解：由题意，由题意，ACAB610（米）（米）.拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔如图所目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔如图所示，新电视塔高示，新电视塔高AB为为610

32、米，远处有一栋大楼，某人在米，远处有一栋大楼，某人在楼底楼底C处测得塔顶处测得塔顶B的仰角为的仰角为45，在楼顶，在楼顶D处测得塔顶处测得塔顶B的仰角为的仰角为39（tan390.81） ( (1) ) 求大楼与电视塔之间的距离求大楼与电视塔之间的距离AC；课堂检测课堂检测解：解：DEAC610（米）（米）， 在在RtBDE中中， .DEBEBDE tan( (2) ) 求大楼的高度求大楼的高度CD（精确到（精确到1米）米） BEDEtan39 CDAE，CDABDEtan39 610610tan39 116（米）（米）.课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题利用仰俯角解利用仰俯

33、角解直角三角形直角三角形仰角、俯角仰角、俯角的概念的概念运用运用解直角三角形解直角三角形解决解决仰角、俯角问题仰角、俯角问题课堂小结课堂小结第三课时第三课时返回返回 宜宾是国家级历史文化名城宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一大观楼是其标志性建筑之一( (如图如图) ).喜爱数学的小伟决定用喜爱数学的小伟决定用所学所学的知识测量大观楼的高的知识测量大观楼的高度度,如图所示如图所示,他站在点他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点处利用测角仪测得大观楼最高点P的的仰角为仰角为45,又前进了又前进了12 m到达点到达点A处处,测得点测得点P的仰角为的仰角为60.请请你帮助小伟算一算大观

34、楼的高度你帮助小伟算一算大观楼的高度( (测角仪的高度忽略不计测角仪的高度忽略不计,结果结果保留整数保留整数) ).导入新知导入新知图图图图1. 正确理解正确理解方向角方向角、坡度坡度的概念的概念. 2. 能运用解直角三角形知识解决能运用解直角三角形知识解决方向角、方向角、坡度坡度的问题的问题.素养目标素养目标3. 能够解决与解直角三角形有关的能够解决与解直角三角形有关的实际问题实际问题,如如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等.方向角的定义：方向角的定义： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的角的角叫做

35、叫做方向角方向角。北偏东北偏东30南偏西南偏西453045BOA东东西西北北南南探究新知探究新知知识点 1也叫西南方向也叫西南方向探究新知探究新知注意注意（1）因为方向角是）因为方向角是指北或指南方向线与目指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写标方向线所成的角，所以方向角通常都写成成“北偏北偏”, , “ “南偏南偏”, ,的形式的形式. .（2）解决实际问题时，可利用正）解决实际问题时，可利用正南、南、正北正北、正西正西、正东正东方向线构造直角三角形方向线构造直角三角形来求解来求解. .（3）观测点不同，所得的方向角也不同，）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的但

36、各个观测点的南北方南北方向线是互相平行向线是互相平行的，的，通常借助于此性质进行通常借助于此性质进行角度转换角度转换. . 例例1 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的的北偏东北偏东65方向，距离灯塔方向，距离灯塔80 n mile的的A处，它沿正南方向航行一段时间后，处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向上的方向上的B处，这时，海轮所在的处，这时，海轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远（结果取整数）？有多远（结果取整数）？6534PBCA探究新知探究新知素养考点素养考点 1解：解：如图如图 ，在，在RtAPC中中，PC=PAcos（9

37、065）=80cos25800.91=72.505.在在RtBPC中，中，B=34，因此，当海轮到达位于灯塔因此，当海轮到达位于灯塔P P的南偏东的南偏东34方向时，方向时，它距离灯塔它距离灯塔P大约大约130n milesinPCBPB，72.505130 nmile .sinsin34PCPBB6534PBCA探究新知探究新知探究新知探究新知 归纳总结归纳总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程一般过程是：是：（1）将实际问题）将实际问题抽象为数学问题抽象为数学问题（画出平面图形，转（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；化为解直角三角形的问

38、题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解解直角三角形直角三角形；（3）得到）得到数学问题数学问题的答案；的答案；（4）得到）得到实际问题实际问题的答案的答案巩固练习巩固练习1.美丽的东昌湖滨位于江北水城美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布周边景点密布.如图所示如图所示，A、B为湖滨的两个景点为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点为湖心一个景点.景点景点B在景点在景点C的正东的正东，从景点从景点A看看，景点景点B在北偏东在北偏东75方向方向，景点景点C在北偏东在北偏东30方方向向.一游客自景点一游客自景点A驾船以每分钟驾船以每分钟20 m的

39、速度行驶了的速度行驶了10分钟到分钟到达景点达景点C，之后又以同样的速度驶向景点之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点该游客从景点C到到景点景点B需用多长时间需用多长时间( (精确到精确到1分钟分钟) )?解解: :根据题意根据题意,得得AC=2010=200( (m) ).如图所示如图所示,过点过点A作作ADBC于点于点D.在在RtADC中中, , , ,DC=ACsin CAD=200sin 30=100.在在RtADB中中, . . 310030cos200cosCADACAD75tan3100tanBADADBD-100 3tan75 100CBDB DC- . . ( (分分)

40、). . 例例2 海中有一个小岛海中有一个小岛A，它周围，它周围8海海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏东在北偏东60方向方向上，航行上，航行12海里到达海里到达C点，这时测得小点，这时测得小岛岛A在北偏东在北偏东30方向上，如果渔船不方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？危险？BAC60素养考点素养考点 2探究新知探究新知30解：解：过过A作作AFBC于点于点F， 则则AF的长是的长是A到到BC的最短距离的最短距离. . BDCEAF， DBA=BAF=60， A

41、CE=CAF=30， BAC=BAFCAF =6030 =30.北北东东ACB6030DEF探究新知探究新知又又ABC =DBFDBA = 9060=30=BAC， BC=AC=12海里海里， ，故渔船继续向正东方向行驶，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险没有触礁的危险北北东东ACB6030DEF探究新知探究新知8392.1036cos306 3AFAC ( (海里海里) )，2. 如图所示，如图所示，A、B两城市相距两城市相距200km. .现计划在这两座城市现计划在这两座城市间修筑一条高速公路间修筑一条高速公路( (即线段即线段AB) )，经测量，森林保护中心，经测量，森林保护中心P

42、在在A城市的北偏东城市的北偏东30和和B城市的北偏西城市的北偏西45的方向上已知的方向上已知森林保护区的范围在以森林保护区的范围在以P点为圆心，点为圆心，100km为半径的圆形区域为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区( (参考数据参考数据： 1.732， 1.414) )?32巩固练习巩固练习北北东东解：解：过点过点P作作PCAB于点于点C 则则APC30，BPC45， ACPCtan30，BCPCtan45.ACBCAB， PC tan30PC tan45200，即即 ， 解得解得 PC126.8km100km.答：

43、答：计划修筑的这条高速公路不会计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区穿越保护区C巩固练习巩固练习20033 PCPC 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山或山的高度的高度h时，时，我们无法直接测量我们无法直接测量，我们又该如何呢？我们又该如何呢？hhll知识点 2探究新知探究新知【思考思考】如图，从山脚到山顶有两条路如图，从山脚到山顶有两条路AB与与BC，问哪条路比较陡？问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？如何用数量来刻画

44、哪条路陡呢？ABC探究新知探究新知坡角：坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角，用字母，用字母 表示。表示。坡度（坡比）：坡度（坡比）：坡面的铅直高度坡面的铅直高度h和水平距离和水平距离l的比叫做的比叫做坡度坡度，用字母，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成表示，如图，坡度通常写成 的形式。的形式。tanhilhl坡度越大坡度越大坡角越大坡角越大坡面越陡坡面越陡 探究新知探究新知水平面水平面坡面坡面（1）斜坡的坡度是）斜坡的坡度是 ，则坡角，则坡角 =_度度.（2）斜坡的坡角是）斜坡的坡角是45 ，则坡比是，则坡比是 _.（3）斜坡长是）斜坡长是12米，坡高米，坡高6米，则

45、坡比是米，则坡比是_.lh301 : 11: 31: 3巩固练习巩固练习3.完成下列各题完成下列各题 例例3 如图，防洪大堤的横截面是梯形如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中其中ADBC，=60，汛期来临前对其进行了加固，汛期来临前对其进行了加固，改造改造后的背水面坡角后的背水面坡角=45若原坡长若原坡长AB=20m，求改，求改造后造后的坡长的坡长AE( (结果保留根号结果保留根号) ) 探究新知探究新知素养考点素养考点 1解：解：过点过点A作作AFBC于点于点F，在在RtABF中，中，ABF =60，则则AF=ABsin60= ( (m) )，在在RtAEF中，中，E=45，则则 (

46、 (m) ). .故改造后的坡长故改造后的坡长AE 为为 m.10 310 6sin45AFAE 10 6F探究新知探究新知4. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤大堤 ( (横断面为梯形横断面为梯形ABCD) ) 急需加固，背急需加固，背水坡的坡角为水坡的坡角为45，高，高10米经调查论证，米经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米米，加固后背水坡，加固后背水坡EF的坡比的坡比 求加固求加固后坝底增加的宽度后坝底增加的宽度AF.

47、. ( (结果保留根号结果保留根号) )ABCDEF45巩固练习巩固练习3:1i3:1iABCDEF45GH解：解：作作DGAB于于G，EHAB于于H，则则GH=DE=2米，米，EH=DG=10米米. .10=10 3tanEHFHFi( (米米) )，10 32FGFHHG( (米米).).又又AG=DG=10米，米，故故加固后坝底增加的宽度加固后坝底增加的宽度AF为为 米米. .10 38巩固练习巩固练习10 32 1010 38AFFGAG ( (米米).).3:1i 例例4 如图，一山坡的坡度为如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚小刚从山脚A出发，沿出发，沿山坡向上走了山坡向上走

48、了240m到达点到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到上升了多少米（角度精确到0.01，长度精确到，长度精确到0.1m）？）？i=1:2探究新知探究新知素养考点素养考点 2在在RtABC中中，B=90，A=26.57，AC=240m，解：解： 用用表示坡角的大小，由题意可得表示坡角的大小，由题意可得因此因此 26.57.答：答：这座山坡的坡角约为这座山坡的坡角约为26.57，小刚上升了约，小刚上升了约107.3 m从而从而 BC=240sin26.57107.3（m）因此因此sin240BCBCAC，1tan0.52，探究新知探究新知BACi

49、=1:25. 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时点出发时，测得坡面，测得坡面AB的坡度为的坡度为1 : 2，走，走 米到达山顶米到达山顶A处处这时，他发现山的另一坡面这时，他发现山的另一坡面AC的最低点的最低点C的俯角是的俯角是30请求出点请求出点B和点和点C的水平距离的水平距离520ACBD30答案：答案：点点B和点和点C的水平距离为的水平距离为 米米. .4 02 03巩固练习巩固练习E1.（2018徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到的数据，求坝高和坝

50、底宽（精确到0.1m）参考数据）参考数据： ， 巩固练习巩固练习连 接 中 考连 接 中 考414. 12 732. 13 连 接 中 考连 接 中 考巩固练习巩固练习解：解：在在RtCDE中中， ， ， DCDEC sin)(7142130sinmDCDECDCEC cosEF=AD=6m，AF=DE=7m四边形四边形AFED是矩形，是矩形，答：答：该坝的坝高和坝底宽分别为该坝的坝高和坝底宽分别为7m和和25.1m在在RtABF中，中，B=45，BF=AF=7m，BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1（m）12.12124.1237142330cosDCCE，2.（20

51、18重庆）如图，重庆）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为再经过一段坡度（或坡比）为 i=1：0.75、坡长为、坡长为10 米的斜坡米的斜坡CD 到达点到达点 D，然后再沿水平方向向右行走，然后再沿水平方向向右行走40 米到达点米到达点 E（A，B，C，D，E均在同一平面内）在均在同一平面内）在E处测得建筑物顶端处测得建筑物顶端A的仰的仰角为角为24，则建筑物，则建筑物AB的高度约为（参考数据：的高度约为（参考数据：sin240.41，cos240.91，tan24=0.45）（）（）A21.7米米 B22.4米米C27.4米米 D28.8米米 A巩固练习巩固练习连 接 中 考连 接 中 考1. 如图，如图，C岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东50方向，方向，C岛在岛在B岛岛的北偏西的北偏西40方向，则从方向，则从C岛看岛看A，B两岛的视角两岛的视角 ACB等于等于 90基 础 巩 固 题基 础 巩