分式不等式的证明与方法

1、分式不等式的证明与方法摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一， 本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与证明分式不等式，从式不等式的胆怯心理。构造法二.利用基本不等式法类难度较大的分式不等式是很简捷的。证明:(1):(1)当 m=1m=1 时,而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分关键词：分式不等式证明方法作差法基本不等式法均值不等利 用 不等式1nim1 nm( x)n f ni 1i1 Yi1nyini 1imn(i 1xi)i 1nYii(xi,yiR,i 1,2)证明一n例2.若aiR

2、Q1,2)且aii 1s,m N,则有aim1)n(-nnn1 2aiain，i 1 i 1i 11ai2nn，所以有：(aisi 1 a)=1ainaii 1n1mn11(aiai)i 1(aia)=i 1n n(ns综上，由(1 1) (2 2)知原不等式成立。排序不等式即，适用于对称不等式例 3.3.设 a,b,ca,b,c 是正实数，求证:证明：不妨设 a a 三b c则ab c1c abc a1a b由排序不等式得:bb ccb ccc aac aabcb c c a a ba b cb ccaab由(1 1) +(2)+(2)得2 2(bJ)3，所以b c c a a baa bb

3、a b(1)(1)利用倒数不等式即：若ai0,0,则ai aii 1 i 1证明：12sin2cos11，不等式左边拆项得：11222222 22cossin sin coscossin cossin又由于2cos2sin2cos2sin21sin1例 4 4.设，由倒数不等式有：都是锐角，求证：且，取什么值时成立?12sni2 2 2(cossin cos2sin2sin12 2 2cos sin cos2 2)9sin sni所以原不等式成立当且仅当Cossin?2 2cos sin sin2即tan 1,tan、2时等号成立。2利用柯西不等式法即利用（naibi）i 1nn2aiblab

4、iR）来证明。例5、如果a1a2.an，2221+ +2+ + + +(n 1)+ +n 0 0a1a?a2a3an 1anana1证明：原不等式等价于N,N,且n n 3,3,求证212+ + 2+a1a a2a2a322+InJ)_，亠an 1anaann(n 1)21+21+2+ + + +(n 1)=22当 n n3 3 时，(n 1) 1 142 2= =n (n+a1a2a22a422as2+ +(n 1)an 1an所以_+a1a2a2a3an 1(5 5)利用 GrammeGramme 法则，即2 2n(n 1)4ana1ana1an1)把数学知识进行高初的有机结合是我们学习和

5、对数学创新的一个重要目例 6.6.设a00 求证: :aa?a2ana3ananna1amn 1证明：令a2asan ianxia1a3an 1anx2a1a2a*1Xn设ai(i 1,2, n)为未知数，显然此方程组的系数行列式 D=D=( 1)n(n 1),nn用x分别替换 D D 中的第 i i 列得：Di( 1)Xi(n1)X(i1,2,n),y,yi 1由 GrammeGramme 法则有：nnnXj(n 1)X1Xj(n1)X2Xj(n 1)XnJ_+ +_+ + j1n 1n 11X2X3XnX3XnXn 1XX2n例 7.7.设 3 3 七卫1,2, n)是正实数，且aii 1

6、证明：当ai bi时，不等式取等号，且aibir2构造不等式 (aiai bi)0 即22bi 3ai0，令 i=1,2,i=1,2,相互叠加，得:aibi4j1Xj(n 1)Xi, ,故有:a a2a2ana3anana1an 1X1一Xn1七n(n 1) n(n 2)n 1= =nn 1三.零点法即利用非负实数的性质(a2b)0( a b 时等号成立)2b求证： 一dj1aibi1ni1aia：bainn四。利用放缩法对于某些分式不等式，抓住其特点，将分子分母进行适当的放缩处理就能收到意想不到的结果。例 8.8.设 a,b,c,da,b,c,d 为任意正数，求证：, abc1 2a b d

7、 b c a c d a d a c证明：首先分母缩小以证明右式abcda b c d ?a b d b c a c d a d a c a b a b c d c d然后分母放大以证明左式abcdabcd,- - - -1 ab d bcacdadac a b c d a b c d a b c d a b c d所以原不等式成立。五. .换元法。常用的换元方法有局部代换整体代换三角代换。例 9 9.（猜想）2 2 2 22 2设x,y,zR求证：卫一XyX一z0z x x y y z证明：令原不等式左边为 M,M,z x a,x y b, y z c,贝 Sy x c a,z y a b,

8、x z b c, a, b, cR, ,所以有：2 2 2 2 2 2 2 2 2Mb(c a)c(ab)a(b c)b c c aa b(bcacababc)abcabc因为2 2b c2 2c a2 2 22cabc a2a2 2b2a2 2bc,a b2 2b c22bca,所以有：i 1aibibi3aini 14n0，因为ai 1ip所以 gbainn2 2b c2 2c a2 2a b(ca c?ab2abc,1)x故 M0,M0,当且仅当x y z时等号成立，所以原不等式成立。（局部代换）例 10.10.已知 a,b,c,da,b,c,d证明：设ab tan , ctan ,d

9、tan,222sinsinsin3?vs in?222sinsinsin理3?Vsin2-；22223?Jsinsinsinsin3?Vsi n?222sinsinsin2 2 2 2R, ,且J1，求证：abcd -R1a1b1c1d92tan，贝Ua2sin,(0,；)，又1a2（o，/）由sin2sin2sinsif1，21sin2cos则有222sinsincos(1)222222sin sinsinsin sincos(2)222sinsincos(3)2sin2sin2cos，（1 1）(2 2)(3 3)(4 4)2 22 2设有同JJ得：2 281sin sin2 2sin s

10、incos cos cos cos即:2 2 2tan tan tan2tan丄81所以有：abcd 1代数不等式的三角代换，常利用同角万能公式将常数化为三角函数。整体代换例 1111 已知a,b,cR, ,且旦1 a1, ,求证:证明：由已知得：-11, ,设x1,x1,1,1111贏(11)(;1)(;2、yz2、xy 2 zxzyx12a1丄122c1所以abc1)x(X22所以：1 1 132 2 2 2 2 2a b c va b c32612六.构造法构造法通常是指构造函数，构造数列，构造对偶式，构造模型，构造向量等，这些都是证明分式不等式的有力工具构造对偶式也叫配对法例 12.1

11、2.已知 a,b,ca,b,c 均为正数，求证3a_2abb3b2bcc3c_2caa3M2a-2aabb3b2bbc即 M=NM=N 又M(ab)2c2a23c2cca2abb2得:aaba bM -2b2baab22bbcc22bbcc2b21c3c2(bcac)b2a23b2aba b22bbcc22bcc(c3c2 2bbcc2、ccaa)ccca3a2cca2-a，由基本不等式a则 M-N=0M-N=0acaa3所以有:冒,又M=N故c3利用数列性质或公式证明分式不等式常显得新颖，别具一格。例 1313 设x,y R，且满足x 1, y1求证:121x1 22 1y1xy证明：因为1

12、, y 1,所以有o2x1,0y1, xy 1由无穷等比数列求和公式严得出数列的求和有:(1(124y y)2(xy)44y)2xy21 xy构造模型(X222 2证明：原不等式等价于不等式:21a1a2221aia22所以原不等式成立。利用函数性质巧构造函数式 例15已知a，b，cR，且皿,求证霉需连)0证明：构造函数f(x)亠，易知在(0,1)(0,1)上为增函数，所以对任意1xx (0,1)，有(x 1)()0, ,则x(3x21)3 (3x 1)，分别令 x=a,b,cx=a,b,c ，3 1x101x10代入上式相加得：迪申 迪叨c(373(a b c) 3 01a1b1c10所以原

13、不等式成立。有一类分式不等式的证明在数学竞赛中经常出现，它的特点是例 14.14.设 x,yx,y 是正数，求证:1a1a221a2一122a2当ai a2时，等号成立，故左端为最小。可利用光学原理的最短线路模型构造图形，作线段BC aia2，以 BCBC 的中点 M M 为顶角,作直角三角形 AMBQMAMBQM，使 AB=DC=,1AB=DC=,1 则有BM MCa1a2，再设2BCBC 上任意一点P,令BPa，pca2，连接AP,PD根据光线直进为最短路AM+MDAM+MDAP+PD,AP+PD,有1a1a21al1a21a1a221a1a?不等式的一边是形如旦，旦 的式子，通过构造向量

14、并利abbcabbc用丽|ab，可得到这类分式不等式的简捷证法，且构造向量的方法 思路单一，操作方便。2 2 2例 1616 已知a, b,cR，求证：-bca_b_cb c c a a b 22平方整理后得：-a-b c七.类比法有的不等式难于找到证法，贝侈观察，多联想，多分析，多比较，利 U U用相似思想来找出证明的方法。例 1717 任给 1313 个实数，求证其中至少存在两个实数（记作 ：x,yx,y ）满足分析：考虑到13与2 -.3,乞丄的联系，从结构看与三角的正切公式相似,1 xy又2. 3 tan ，故可以从此入手求证。12证明：设任给 1313 个实数，记作tan卫1,2,3

15、,i（-,-）,将（等分成2 22 21212 个区间，则i至少有两个角的终边落在同一区间（不落在 y y 轴上）, ,令这两个角分别为，（），则0，再令x tan , y tan，则tan（ ）一y。由121 xy证明：构造向量U（化其.c),V(Jb c,Jc a,Ja b).a b由UVuv有：.2(a b c) a b c2bc a1 xy2 2于正切函数是增函数，且有tan 2 ,3，所以o tan（）二丄2 3121 xy八 利用局部不等式证明分式不等式对于一些和式，积式的分式不等式证明题，很多情况都无法从整体下手， 往往需要先考虑局部式子的特征，想办法估计局部性质，导出一些局部不

16、等式， 最后再结合这些局部不等式，就会山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村，很完美的 达到证明的目的。例 1818 若 a,b,c0,a,b,c0,且 a+b+c=1.a+b+c=1.求证：色 2 2 旦占91a1b1c分析：这个和式分式不等式，要从整体下手有一定的困难，于是我们考虑局部不等式。并且很容易看出这个不等式是当且仅当a b c-时，取等号的，然后3我们就可以尝试构造局部不等式。2证明：a,lb,c0,且ab c 1,2(3a 1) 3(a 3)迥101a1010(1a)3 a23： （3a1)3(1)1a103b2-3 (3b1) 3(2)1b10j 密（3c 1） 3（3）1c10（1

17、 1）+ +（ 2 2）+ +（3 3）得：色弓 H H 9 91a1b1c九用互叠法证明分式不等式对于一类分式不等式的证明题，如果大胆地左右两边互叠相加，兴许产生意料不到的奇迹。定理 1.1.欲证明不等式 PQPQ 只需证明不等式 P+Q2QP+Q2Q显然 P+Q2QP+Q2Q 依据定理 1 1 知 PQPQ 故原不等式成立。2注：此处不能取等号，因为ab 2a,a b2例 20.20.若a,b,cR，求证：-b c2 2 2d_ca b c(_a_c a a b 2 b cc 2Q,即P Q 2Q, ,所以原不等式成立等式不会再发愁，为证明分式不等式指明了捷径。参考文献:用“零件不等式”证明一类积式不等式蒋明斌不等式的解题方法与技巧苏勇 熊斌不等式西南