物理学25麦克斯韦分子速率分布律

1、物理学 25麦克斯韦分子速率分布律12345测定分子速率分布的实验装置测定分子速率分布的实验装置 ABSP P G 分分子子源源真空室真空室狭缝狭缝圆筒圆筒子子射到上面的各种速率分射到上面的各种速率分可沉积可沉积弯曲玻璃板弯曲玻璃板,G 圆筒不转，分子束的圆筒不转，分子束的分子都射在分子都射在P处处圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置vDt vD vDl22 2Dl P距离P的弧长D为圆直径76-5 麦克斯韦分子速率分布定律麦克斯韦分子速率分布定律 平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的，这个规

2、律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。一、气体分子的速率分布一、气体分子的速率分布 分布函数分布函数研究气体分子的速率分布研究气体分子的速率分布把速率分成若干相等区间把速率分成若干相等区间求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数各区间的分子数占气体分子总数的百分比各区间的分子数占气体分子总数的百分比分布表分布表 分布曲线分布曲线 分布函数分布函数vOvNN vOvNN NdvdN)v(f vOvpv面积大小代表速率面积大小代表速率v附附近近dv区间

3、内的分子数区间内的分子数占总分子数的比率占总分子数的比率NdNdvNdvdN 麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线f(v)f(vp)vvpv v+dvv1v2dNN面积面积= 出现在出现在vv+dv区间内的概率区间内的概率dvvfNNvv 21)( 分子出现在分子出现在v1v2区间内区间内的概率的概率1)( dvvf曲线下的总面积曲线下的总面积恒等于恒等于1112223224ve)kTm()v(fkTmv 二、麦克斯韦速率分布规律二、麦克斯韦速率分布规律dvve)kTm(dv)v(fNdNkTmv2223224 理想气体处于平衡态且无外力场理想气体处于平衡态且无外力场一个分子处于一个分子处

4、于vv+dv区间内的概率区间内的概率从Boltzmann分布推导Maxwell速率分布率13再求归一化常数：141、最概然速率、最概然速率pv与分布函数与分布函数f(v)的极大值相对应的速率的极大值相对应的速率极值条件极值条件0)( pvvdvvdfmolmolpMRT.MRTmkTv41122 2、平均速率、平均速率v大量分子速率的统计平均值大量分子速率的统计平均值NNvvii 三、分子速率的三个统计值三、分子速率的三个统计值对于连续分布对于连续分布 0)(dvvvfNdNvNvdNvmolmolMRT.MRTmkTv60188 3、方均根速率、方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根

5、大量分子速率的平方平均值的平方根 02022)(dvvfvNdNvvmkTv32 molmolMRT.MRTmkTv731332 pvv2v都与都与 成正比，成正比，与与 （或（或 ）成反比）成反比TM f(v)vpvv2v最概然速率的推导18平均速率的推导19方均根速率的推导202122231、温度与分子速率、温度与分子速率温度越高，分布曲线中的最概然温度越高，分布曲线中的最概然速率速率vp增大，但归一化条件要求曲增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。宽度增大，高度降低。四、麦克斯韦分布曲线的性质四、麦克斯韦分布曲线的性质f(v)

6、f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2321TTT 相相同同mO2、质量与分子速率、质量与分子速率分子质量越大，分布曲线中的最分子质量越大，分布曲线中的最概然速率概然速率vp越小，但归一化条件要越小，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。曲线宽度减小，高度升高。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)Mmol1321molmolmolMMM Mmol2Mmol3相相同同TO练习：练习：设想设想有有N个气体分子，其速率分布函数个气体分子，其速率分布函数为为 00000vvvvvvAvvf)()(试求试求: (1)常

7、数常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根；最可几速率，平均速率和方均根；(3)速率介于速率介于0v0/3之间的分子数；之间的分子数；(4)速率介于速率介于0v0/3之间的气体分子的平均速率。之间的气体分子的平均速率。)(vfov0v解：解： (1)气体分子的分布曲线如图气体分子的分布曲线如图由归一化条件由归一化条件10 dvvf)(1630000 vAdvvvAvv)(306vA (2)最可几速率由最可几速率由0 pvdvvdf)(决定，即决定，即020 ppvvvvAdvvdf)()(20vvp 平均速率平均速率2600023000vdvvvvvdvvvfvv )()(方均速率方均速率200033002210360vdvvvvvdvvfvvv )()(方均根速率为方均根速率为02103vv (3)速率速率介于介于0v0/3之间的分子数之间的分子数2776300303000NdvvvvvNdvvNfdNNvv )()( (4)速率速率介于介于0v0/3之间的气体分子平均速率为之间的气体分子平均速率为143277603002303030300000vNdvvvvvNdNvdNvvvvv )(讨讨论论速率速率介于介于v1v2之间的气体分子的平均速率的计算之间的气体分