一道高考涂色题的探究

1、学习必备欢迎下载一道高考涂色题的探究高考试题是所有试题中的精品，是命题专家们智慧的结晶，它对高中的数学教学有一定的方向性和指引性“涂色型”的排列组合问题，是通过实际问题情境给出图形按要求涂色的一种排列组合题型，是近几年试题改革的一个新的亮点 此类试题立意新颖、构思精巧、解法 灵活，能较好地考查学生分析问题和解决问题的能力解决此类问题的关键是找准突破口，进行分类讨论本人认真做完了 2010 高考的各大省文理科数学试题，并认真 分类整理，收获颇多其中 2010 年高考天津卷理科第 10 题：涂色 问题，本人进行了认真思考，提出了多种解法、自己的见解，现 整理如下，供大家参考（2010 年高考天津卷

2、理科第 10 题） 如图 1， 用四种不同颜色给图 中的 A、B、C、D、E、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色， 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有_种.试题分析：本题考查排列应用题中的涂色问题，考查分类、分步计数原理，考查学生的运算 推理能力以及分类讨论的思想1.解题思路解法一：按选用颜色种数进行分类【解析】分三类：（1）B、D、E、F 用四种颜色，则有 A 必与 F 颜色相同、C 与 E 颜色相同，故A41仁24种方法.（2）B、D、E、F 用三种颜色，则有：B、E 同色或 D、F 同色必有其一，若B、E 同色,则 A 有异于 B 和 D 的两种颜色，C 只有一种

3、，D、F 同色同理，2 A32 1； B 与 D 同色,则 A、C 都有异于 B、E 两种选择，A32 2，故2A21+ A：2 2=192 种.（3）B、D、E、F 用二种颜色，只能 B、E 同色，D、F 同色，A、C 有异于 B、D 两种颜2色，则有A42 2=48，所以共有不同的涂色方法有 24+192+48=264 种解法二：利用“捆绑法”，分步着色【解析】第一类：用三种颜色涂色，A、D、E 颜色各不相同，若 B 与 E 同色，必有 C 与 A、3F 与 D 同色，可将 C 与 A 看作一个整体，F 与 D 看作一个整体；若 B、D 同色同理，故A42种.第二类：四种颜色（都用）涂六个

4、点，必有4 个点的位置颜色不同，即这六个点中必有两组点同色，看作一个整体，而这两组必为：AF、AC、BE、BD、CE、DF 中的两组，如下：（AF、BE），（ AF、BD），（ AF、CE）, （ AC、BE），（ AC、BD），（ AC、DF），（ BE、DF） ,（ BD、CE）, （CE、DF ）共 9 种，A：9，共有不同的涂色方法有 A：2+A：9=264 种解法三：着眼于“位置”：以四边形 ABCD 为主分类、分步进行涂色3学习必备欢迎下载【解析】第一类：仅用三种颜色涂色，先涂四边形ABCD 的 4 个顶点，有A种，必有 AC学习必备欢迎下载或 BD 颜色相同，若 AC 颜色相同，

5、E、F 颜色唯一确定。BD 同色同理，故A：2种.第二类：四种颜色全都用上， （1）先用两种颜色涂矩形 ABCD 的 4 个顶点，必有 AC 与 BD 颜色相同，剩下两种颜色 E、F 排列，故有A 2 1种；（2）先用三种颜色涂矩形 ABCD 的 4 个顶点，第一步选三种颜色A，必有 AC 或 BD 颜色相同，E 有异于 A、D 两种颜色，F 随之确定，故有2 A：2 1种；（3）4 种颜色先全部涂在矩形上， E 有异于 A、D 两 种颜色，F 有异于 B、C 两种颜色，A42 2.共有不同的涂色方法3234人2+At2 1+2 A421+ 代2 2=264 种.解法四：类比空间三棱柱 ADE

6、-BCF 如图 2.【解析】第一类：仅用三种颜色涂色，设上一层A, D, E 的颜色分别为 a、 b、c 排列，下层仍然是颜色 a、b、c 排列，有 2 种方法，故有3A x2 种.第二类：四种颜色全都用上，设上一层A, D, E 的颜色分别为 a、b、c排列，下层包括第四种颜色 d,但不包括 abc 中某一个颜色（例如 a）,对于 d 与 a 在同一侧棱 上时，只有 1 种方法，对于 d 与 a 不在同一侧棱上的情形， 有 2 种方法，（即 d 可以涂在 BCF 三点中的任意一个点，有三种方法，而 d 涂在其中的一个点，另外两个点都对应着 3 中涂法）那么这种情形共有 3X3 = 9 种方法

7、，故有 A：x9 种.故共有不同的涂色方法总数为A；x11 = 264 种方法.解法五：用四种颜色涂 ABCD 四个点，则 E 有异于 A、D 两种颜色，F 有异于 B、C 两种 颜色，即A：2 2用三种颜色涂 ABCD 四个点，贝 U 必有 AC 或 BD 同色，当 AC 同色时,E、F 有三种涂色方法，如 ABD 依次涂 abd 三种颜色，则有 E： b,F:d;E:b,F:c;E:c,F:d 三种涂3法，故2AH3用两种颜色涂 ABCD 四个点，贝 U AC 和 BD 同色，EF 有两种涂色方法，即A A；.故共有A：2 2+2 A 3+AfA2=264.评注本题属于以涂色为平台的排列组

8、合应用题，考查分类、分步计数原理.解法一抓住了这种题型的一个核心一一颜色，从颜色入手进行突破；解法三抓住了这种题型的又一个核心一 位置，从位置入手进行突破，这两种求解招数是求解这类题目的典型的正面直接求解法 解法二利用“捆绑法”，分步着色；解法四类比空间几何体，这两种求解招数是求解这道题 目的创新解法，应具体题目具体分析.解决问题的关键是依据题意，找到一个确定的标准合理对问题进行分类或分步，但必须注意分类讨论要全面，要做到不重不漏.事实上，“涂色型”的排列组合问题错综复杂，解法灵活多样.因此，对于它们的求解方图2C学习必备欢迎下载法，一定要具体问题具体分析.以上只是本人一孔之见，希望能抛砖引玉

9、.学习必备欢迎下载2.历年考题考题 1 （ 2007 年天津高考题）如图 3,用 6 种不同的颜色给图中的4 个格子涂色 海个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有_ 种（用数字作答）考题 2 （2003 年江苏高考试题）如图 4，某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部 分现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_ 种（以数字作答）考题 3 （ 2003 年全国高考题）如图 5, 个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻 区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则

10、不同的着色方法共有3欣赏理由以“四色定理”为背景是本题的一大亮点新课改关注了数学史的内容，关注了数学史中包含着的数学概念、方法、思想的起源，让数学史走进课堂有重要的教育价值，不仅可以激 发学生的学习兴趣，启迪学生的思维，而且可以帮助学生更好地理解数学鉴于这一点，在教学过程中我们应该多关注以数学史为背景的题目，这也符合新课改的基本理念与涂色问题有关的试题新颖有趣，其中包含着丰富的数学思想 解决涂色问题的方法技巧性 强且灵活多变，故这类问题的解决有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力4回顾反思数学教学工作者在习题课设计例题时常采用的策略：（1） 一题多解，展示多种解题思路提高综合分析能力；（2）题多变,变换