七年级同步第8讲：乘法公式(一)-教师版

1、七年级暑假班乘法公式（一）平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘 多项式”的应用，也是后继知识因式分解、分式等的基础，对整个知识体系也起 到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位.两个公式都可以由直观图 形引导学生观察、实验、猜测，进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的 逻辑推理能力和建模思想.它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承 和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作 用.1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘， 等于这两个数的平方差.a b a-b =a2-b2.模块一：平方差公式班假暑级年七【答案】（1）9

2、x2-25;2- ； (3)4x2- y2.9【解【解析】(1)3x 5 3x-5=(3x)（1）a.b可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式）（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式：2如：ab_cb_ac=b a _c寸b _a_c =b2_a_c2、平方差公式的特征：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.（2）右边是乘式中两项的平方差.C.-a ba-b D.-x-yx y【难度】【答案】B【解【解析】A:完全平方公式；C:原式-（a -b）2【总结】对平方差公式概念的考查.【例【例2】 计算:(3)2x y 2x-

3、y.【难度】例题解析【例【例1】 下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是（D：原式二 -(x y)2.(1)3x 5 3x -5;七年级暑假班(3)2x y 2x_y = (2x)2_ y2=4x2_ y2.【总结】直接利用平方差公式进行计算.(2)-2x 3y _2x_3y；(3)_2a _3b 2a_3b.(2) -2x 3y -2x -3y i=(-2x)2_(3y)2=4x2-9y2；(3) -2a -3b 2a -3b i=(七b)2-(2a)2=9b2-4a2.【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作【例4】计算：(1)2a -3 2a 3 4a29;(2)iiii2

4、x32x_3 -2121212yx) -(3)寸【解析】(1)1x211x2252125a”相反的项看作“b”.142(2)a -b.16【例3】 计算:【难度】【答案】425,22“、2 24x 9y； (3)9b -4a班假暑级年七【难度】【答案】(1)16a4-81;【解析】(1)原式=(4a2-9)(4a2- 9) =16a4-81；班假暑级年七原式=（存叫存2.【总结】平方差公式的连续运用.【例5】计算:zx 1y_1z253253【答案】xy_丄y2z2.5259【解析】11111 1原式二-(：xy z)( x y z)253253111111-4( x y)z(x y) z25

5、3253“11、21 2 1211=4( x y) z x xy y2594525212z9【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a”相反的项看作“b”【例6】计算：(1)a b a-b i i a 3b a-3b;(2)-2y x 2y xm2x y -2x y;(3)x23丄x2-3-x2x 2.12人2) V 3人3丿【难度】【答案】(1)8b2; (2)5x2-5y2； (3)亠4-62-549【解析】(1)原式=a2-b2-a29b2=8b2;(2)原式=x2-4y24x2-y2=5x2-5y2；七年级暑假班6 / 20141214123)原式x 9 x亠4x x 5

6、.4949【总结】平方差公式以及合并同类项的运用.【例【例7】计算：2a-1 2a 1 a 2 a-2_4a2a25.【难度】【答案】a4-25【解【解析】原式=(4a2-1 - a24 -4a2)(a2 5)2 2=(a -5)(a5)=a4-25【总结】平方差公式的连续运用.【例【例8】 简便运算：12(1)102 98；(2)30.2 29.8；(3)2524三.33【难度】【答案】(1)9996;(2)899.96;(3)62489【解【解析】 (1)原式=(100 2)(100 -2) =1002-4 =9996；(2)原式=(30 0.2)(30 -0.2) =900 0.04 =

7、899.961 1 1 8(3)原式=(25)(25) =6256243399【总结】平方差公式在简便运算中的运用.七年级暑假班7 / 20模块二：完全平方公式班假暑级年七8/ 201完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们.r 1, 、2 22222积的两倍.a b a 2ab b、a _ba _2ab b.2、完全平方公式的特征：（1）左边是两个相同的二项式相乘；（2） 右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；（3）公式中的字母可以表示具体的数 （正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.【例【

8、例9】下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A.4x -7y-7y-4xB.-4x-7y 7x 4yC.-4x -7y7y 4xD.4x -7y 4x 7y【难度】【答案】C【解【解析】A:_（4x-7y）（4x 7y）;B:-J4x 7y 7x 4y;D:4x7y 4x 7y【总结】运用时，注意完全平方公式与平方差公式的区别.【例【例10】下列计算正确的是（）七年级暑假班A.（a +b$=a2+b2一y=x2_2xy _y2班假暑级年七10/ 202 2 2C.(5a+2b ) =25a +4b +20ab【难度】【答案】C【解【解析】A:正确答案为：a22ab b2;12112D:正确答

9、案为：-m -mn-n.934【总结】本题注意考查学生对完全平方公式的理解和准确运用.【例【例11】计算:【难度】【答案】(1)9x254x 81; (2)1x1xy - y2; (3)x2y2z24xyz 4；4392QQQ【解【解析】(1)3x 9(3x)2 3x 99 =9x 54x 81:(2)厂二凸2? ? y C)2Jx2xyy2;123丿22 334392 2 2 2 2(3)：；：一xyz 2(xyz 2) = x y z 4xyz 4.【总结】本题主要是利用完全平方公式直接进行计算.D.(11 nKlmlm n+*(32丿364B：正确答案为：x2-2xy - y2；(1)3

10、x 92；(3)-xyz-22.2(2)2x 3 j i 2x -2-2x 2；七年级暑假班【例【例12】计算：2(1)x-3x 4- x 3；班假暑级年七12/ 202(3)2a 1- 2a 1 2a -1.【难度】【答案】(1) x_21;(2)12x 13;(3)4a 2;【解析】(1)原式=x2 x -12 - x2_6x - 9 - -5x - 21;(2)原式=4x212x 9 4 -4x2=12x 13;(3)原式=4a? 4a 1 4a?1 =4a2.【总结】完全平方公式与合并同类项的运用.【例13】计算:【难度】【答案】(1)-xy;(2)0.3abb2_a2ab _?b22

11、49216【总结】完全平方公式的直接运用，在运用时注意中间项是“积的2倍”.【例14】计算:(1)9a2-16b23a -4b 3a 4b；(2)11.11. 121.2(1)1x3【解析】12112121122二一x一xy y一一x-xyy亠xy;9349343(2)原式12y(1)原式七年级暑假班(2)a - b aba b32人32人94班假暑级年七14/ 20【难度】【答案】(1)81a4_288a2b2256b4; (2)丄a4_丄a2 丄b .81 18 16【解析】(1)原式=(9a2-16b2)(9a216b2) =81a4-288a2b2256b4；121212121412

12、214(2)原式=(ab )( a b ) a a b b.9494811816【总结】平方差公式与完全平方公式的综合运用，运用时注意两个公式的区别.【例15】计算：2 2(1)(2b+c) ；(2)(3x+2y+4)； (3)(x +y_22_x_y).【难度】【答案】(1)a24ab-2ac4bcc2;(2)9x212xy 4y224x 16y 16；2 2(3)-x _2xyy 4x 4y -4.【解析】(1)原式 二(-a -2b) c2=(-a -2b)22c (-a -2b) c22 2 2=a亠4ab亠4b -2ac-4bc亠c;(2)原式=(3x2y)8(3x 2y) 16 =

13、9x 12xy 4y 24x 16y 16；(3)原式二-(x目一2 = -(x y)4(x y)4= -x 2xy y 4x 4y 4.【总结】三项完全平方的综合运用，注：a bc a2b-c22ab 2ac 2bc.【例16】简便计算:七年级暑假班(1)99.82;【难度】班假暑级年七【答案】(1)9960.04;(2)4020025.【解【解析】(1) 99.8二(100_0.2) =10000 _40 0.04 =9960.04；2 2(2)2005 =(20005) =40000002000025 =4020025.【总结】完全平方公式在简便运算中的运用.【例【例17】 设m n =

14、 8,mn =15，求(1)m2n2； (2)m -n.【难度】【答【答案】(1)34;(2)2.【解【解析】(1)m2n2=(m n)22mn = 6430 =34；(2)m - n = (m - n)2= . m2n22mn = 2.【总结】完全平方公式的变形及其应用.常用的变形还有：a b =(a b) -2ab=(a-b)2 ab ，(a b) =(a-b) 4ab等.【例18】 如图，已知ABE和DCE都为等腰直角三角形, 求ADE的面积.(用含a、b的代数式表示)【难度】【答案】ab12121 (a b) a b ab.2 2 2【总结】运用完全平方公式求几何图形的面积.AB二BE

15、二a,DC二EC二b.D【解析】SADE=3梯形 ABCD SABE -S_DCE班假暑级年七七年级暑假班18 / 20【例19】【难度】【答案】【解析】【总结】平方和.【例20】【难度】【答案】【解析】已知x - -6，求x2-的值.xx38A =(X -丄)22x1=36 2 =38.xxx当两个数互为倒数,并且知道它们的和或者差时,可以利用完全平方公式求它们的42=(a -)2或a2A =(a丄)22aaaa已知：x -2y -1亠x2亠4xy亠4y2=0，贝廿2x y34T|x 2y -1 x24xy 4y2=0,x -2y -1 (x 2y)2=0,x -2y _1 =0 x 2y

16、=0解得：1x=一2七年级暑假班19 / 20班假暑级年七【总结】当几个非负数的和为零时，则它们分别为零.【例21已知X -6x k是完全平方式，求k的值.【难度】【答案k =9【解析解：x 6x k =x -2 3x (3) -(3) k =(x -3) -9 k, 且x2-6x - k是完全平方式， k =9.【总结考察如何配方成完全平方式.1、基本乘法公式有几个？2、平方差公式的基本特征是什么？3、完全平方公式的基本特征是什么?随堂检测七年级暑假班【习题1】下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A.a -2b a -bB.: -a 2b a -2bC.a 2b -a _2bD._a _2

17、b -a 2b【难度】 【答案】D【解析】D选项为-(a 2b)(2b _a).【总结】对平方差公式概念的考查.【习题2】计算:(3)l-a -b I -a -b.3232【难度】【答案】(1)4x2-25; (2)1 -4a2; (3)丄a2-丄b2.94【解【解析】（1）原式=（2x）2-52=4x2-25；原式=（3a）2令2十2卞.【总结】直接利用平方差公式进行计算.【习题3】计算:(1)2x 5 2x -5；(2)1 -2a 1 2a；(2)原式=12-(2a)2=1 -4a2；班假暑级年七22/ 20(1)_?x_?y -x -y ;(2)da _3b 2a 3b.I35人35丿【

18、难度】【答案】(1)4x2-?y2; (2)-4a2-12ab -9b-.925【解析】(1)原式=(2x 3y)(2x 3y) =4x2 9y2;3535925(2)原式=-(2a 3b)2=_4a2_12ab _9b2.【总结】平方差公式与完全平方公式的运用，运用时注意两个公式的区别.【习题4】解方程：5x 6 3x 2 2 3x 54! x1-x - =2.13人3丿【难度】2 25x 54x -24 6 -54x =25x - 20 =0 x =4【答案】x =4班假暑级年七23/ 20=18 -32 - T45x 6 3x 2-2 3x -54；2125x 6(9x -4)54( x

19、 ) =2【习题5】化简求值：2b 3a (3a -2b) -(2b -3a)(2b 3a)，其中a=1,b=2.【难度】【答案】-14=18a2-8b2【解析】【总结】平方差公式在解方程中的运用.【解析】原式=9a24b24b29a2z班假暑级年七24/ 20【总结】在运用平方差公式时，一定要注意将相同的项看作“a”相反的项看作“b”【习题6】 计算：1 6(1)104 96；(2)30.7 29.3；(3)10丄977【难度】【答案】(1)9984;(2)899.51;(3)99兰49【解析】(1)=(100 4)(100 _4) =10000 _16 =9984;(2)原式=(30 0.

20、7)(30 _0.7) =900 _0.49 =899.51；11148(3)原式=(10)(10 ) =10099 -.774949【总结】平方差公在简便运算中的运用.【习题7】 计算：(1)4m2-3n2；(2)x -3y x 3y x2- 9y2.【难度】【答案】(1)16m4-24m2n29n ; (2)x4-18x2y281 y4.【解析】(1)原式=16m424m2n2，9n4;(2)原式=(x2-9y2)(x2-9y2) = x4-18x2y281y4.【总结】完全平方公式的直接运用.七年级暑假班z班假暑级年七26/ 20【习题8】 计算：(1)_x_3y 4x 3y_4;(2)

21、2x y 3 3_2x_y.【难度】【答案】(1)-x2-6xy -9y28x 24y -16; (2)9 -4x2- 4xy -4y2.【解【解析】(1)原式二-(x 3y -4)2=-(x 3y)2-8(x 3y) 162 2-x _6xy_9y亠8x亠24y-16；(2)原式=3 (2x y)3 (2x y) = 9 (2 x y)2= 9 4x2 4xy 4y2.【总结】平方差公式和完全平方公式的运用，注意二个公式的区别.【习题9】如图，是一个机器零件，大圆的半径为r+2,小圆的半径为r-2,求阴影部分【作业1】下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（的面积.【答案】【解析】, 2

22、2S =：(r 2) (r -2)8二【总结】考察圆的面积公式以及完全平方公式.课后作业课后作业七年级暑假班z班假暑级年七28/ 202 2A.x -y x yB.?a-ba- bC.-c2d2d2c2D.x _y2x2y【难度】【答案】B【解【解析】B选项可以变为_(ab)(a-b).【总结】本题主要考查对平方差公式的理解.【作业2】计算:(1)-1x.5【难度】【答案】(1) 丄x2 xy y2;2525100【解【解析】直接使用完全平方公式进行计算.2 21(2)c dcd4【作业3】用简便方法计算：(1)403 397;31(2)29- 30-;44(3)99 101 10001;(4

23、)492522.【难度】15【答案】(1)159991;(2)89915；16(3)9999999;(4)5105.110y七年级暑假班【解析】(1)403 397 =(4003)(400 _3) =160000 _9 =159991;3111115(2)2930(30)(30)=900899;44441616(3)9999 10001 =(10000 _1)(10000 1)=9999999;2 2 2 2(4)4952 =(50 -1)(50 2) =5105.【总结】完全平方公式或平方差公式在简便运算中的运用.【作业4】计算：. 2(1)(2x+y ) (2x + y2x_y)；2(2)-x -y X yI亠X y；2 2(3)2