2019-2020学年必修三2.3.1平均数及其估计学案

1、2 3 总体特征数的估计2 3.1 平均数及其估计1.了解样本平均数的意义和作用2.理解用样本平均数估计总体平均数的思想3掌握样本平均数的求法1.平均数、， 一1 1n般地，如果有 n 个数 Xi, X2,，Xn,那么 X = _(X1+ X2+ Xn) = - Xi叫做这 n 个i=1数的平均数或均值，记作 设一组实验数据的“最理想”近似值 x,它与 n 个实验数据 Xi, X2, X3，Xn的离差分别为 X Xi, X X2, X X3,，X Xn.当 X 取 X 时，离差的平方和(X-X1)2+( X X2)2+.+( X Xn)2最小.2. 平均数的运算性质(1)若给定一组数据 X1,

2、 X2,，Xn的平均数为 X，则数据 aX1, ax2,，axn的平均 数为 a.(2)若给定一组数据 X1, X2，Xn的平均数为-，则数据 ax1+ b, aX2+ b,，axn+ b 的平均数为 a+ b.3. 加权平均数一般地，若取值为 X1, X2,，Xn的频率分别为 P1, P2,，pn，则其平均数为 X = X1p1n+ X2p2+ Xnpn=Xipi.i=11.某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 8, 12 , 10, 11, 9，估计此人每 次上班途中平均花费的时间为（）A . 9 分钟B. 10 分钟C. 11 分钟D. 12 分钟解析：选 B.依题意，估计

3、此人每次上班途中平均花费的时间为8 + 12+ 10+ 11+ 95=10分钟.2.已知一组数据为 20, 30, 40, 50, 50, 60, 70, 80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是解析：平均数、中位数、众数皆为50.答案：众数=中位数=平均数3.期中考试以后，班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为M,如果把 M 当成一个同学的分数，与原来的40 个分数一起，算出这 41 个分数的平均值为 N,那么 M : N 为解析：40M + MN =41= M，所以 M : N = 1.答案： 1平均数的计算某班 45 名同学的年龄 （单位：岁）如下：14 15 14 16 15

4、17 16 15 16 16 15 15171314151616151415151415161716151515161513161515171415161615141515求全班的平均年龄.【解】 法一：利用平均数的公式计算.1x = 45(14 + 15+ + 15)1=丄乂 684= 15.2(岁). 45法二：利用加权平均数的公式计算.=45（13X2+14X7+15X20+16X12+17X4）1=丄乂 684= 15.2（岁）.45法三：如果将已知各数都减去 a,计算出所得各数的平均数 X,则已知各数的平均数 x=x，+ a, 即取 a= 15,将已知各数减去15, 得10 1 10

5、2 10 11 0022 10 11 0 100 1 01 2100 01 02 1 002 1 01 101 0 0 1 1x= 45（ 1+ 0+ 0） = 45X9 = 0.2（岁）.=+ a = 0.2 + 15= 15.2（岁）.即全班的平均年龄是15.2 岁.方搭归纳平均数的计算方法X1+ X2+ X3+ + Xnn(1)定义法：已知 X1, X2, X3,，xn为某样本的n 个数据，则这n 个数据的平均数为:(2)加减常数法数据 X1, X2,，Xn都比较大或比较小，且X1, X2, ，Xn在固定常数附近波动,X1+ X2+ + Xna 为接近x的常数，则X1a,X2a,，Xna

6、 的平均数为x土a.加权平均数：样本中，数据xi有 mi个，X2有 m2个，xk有 mk个，则x=mixi+ m2X2+ + mkxkmi+ m2+ + mk1.xi, X2,，xio的平均数为 a, xii,X12,，X50的平均数为 b,贝 U xi, x2,，X50的平均数是 _ .解析：由题意知前 10 个数的总和为 10a,后 40 个数的总和为 40b,又总个数为 50,所以Xi，X2,X50的平均数为10a+ 40b50a + 4b5答案:a + 4b5众数、中位数、平均数的应用某小区广场上有甲、乙两群市民正在 进行晨练，两群市民的年龄如下（单位：岁）：甲群：13，13，14，1

7、5，15，15，15，16，17, 17；乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56.（1）甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？（2）乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？【解】（1）甲群市民年龄的平均数为13+ 13+ 14+ 15+ 15+ 15+ 15 + 16+ 17+ 1710=15（岁），中位数为 15 岁，众数为 15 岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.（2）乙群市民年龄的平均数为54 + 3+ 4+ 4 + 5+ 6+ 6+

8、6 + 6+ 56 石=15（岁），中位数为 6 岁，众数为 6 岁.由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，平均数的可靠性较差.同囲園回理解并掌握平均数、 众数和中位数的概念，平均数、众数和中位数可能相同，也可能不同注意某几个数据的平均数就是这些数的算术平均数,在实际问题中，计算时应按照实际要求进行计算.2.下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表:老板大厨二厨采购员杂工服务生会计3 000 元450 元350 元400 元320 元320 元410 元(1)计算所有人员的周平均收入；(2) 这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？(3) 去掉

9、老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？解：周平均收入x1= 1(3 000 + 450 + 350+ 400 + 320 + 320 + 410) = 750(元)(2) 这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员.(3) 去掉老板的收入后的周平均收入x2= 1(450 + 350 + 400+ 320 + 320 + 410) = 375(元),这能代表打工人员的周收入水平.样本平频率分布与数字特征的综合应用从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由

10、成绩得到如下的频率分布直方图由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：这 50 名学生成绩的众数与中位数；这 50 名学生的平均成绩.【解】(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求.因为 0.004X10+ 0.006X10+ 0.02X10=0.04+ 0.06 + 0.2= 0.3

11、,所以前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03X10= 0.3,0.3 + 0.3 0.5,所以中位数应约位于第四个小矩形内.设其底边为 x,高为 0.03,所以令 0.03x= 0.2,得 x 6.7,故中位数应约为 70 + 6.7= 76.7.样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可.所以平均成绩为45X(0.004X10)+ 55X(0.006X10) + 65X(0.02X10)+ 75X(0.03X10)+85X(0.024X10)+95X(0.016X10)=76.2.众数、中位数、平

12、均数与频率分布表、频率分布直方图的关系(1) 众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来显示，即在样本数据 的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标.(2) 中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.(3) 平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.注意因为频率分布直方图不能体现样本数据，因此由频率分布直方图得到的中位数不一定在样本数据中出现.3.下面是 60 名男生每分钟脉搏跳动的次数：72 70 66 74 81 70 74 53 57 62 58 9272 67 62 91 73 64 65 80 78 67 75 8083 6

13、1 72 72 69 70 76 74 65 84 79 8076 72 68 65 82 79 71 86 77 69 72 5670 62 76 56 86 63 73 70 75 73 89 64(1) 作出上述数据的频率分布直方图；(2)根据直方图的各组中值估计总体平均数，并将所得结果与实际的总体平均数相比较 计算误差.解：(1)最大值与最小值的差为92- 53= 39,取组距为 6由于39=氐 所以分 7 组，分组如下：51.5 , 57.5), 57.5 , 63.5), 63.5 , 69.5), 69.5, 75.5), 75.5 , 81.5), 81.5 , 87.5),

14、87.5 ,93.5.列表:分组频数频率频率/组距51.5, 57.5)40.0670.01157.5, 63.5)60.10.01763.5, 69.5)110.1830.03169.5, 75.5)200.3330.05675.5, 81.5)110.1830.03181.5, 87.5)50.0830.01487.5, 93.530.050.008频率分布直方图如图所示:(2)由直方图的各组中值估计平均数为：(54.5X4+60.5X6+66.5X11+72.5X20+78.5X11+84.5X5+90.5X3) -60=72,实际的总体平均数约为71.97,误差约为 72 71.97=

15、 0.03.1平均数受样本中的每一个数据的影响， “越离群”的数据， 对平均数的影响也越大 与 众数和中位数相比， 平均数代表了数据更多的信息 当样本数据质量比较差时， 使用平均数 描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差 可以利用计算机模拟样本， 向学生展 示错误数据对样本平均数的影响程度在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是平均 数计分过程中采用“去掉一个最高分， 去掉一个最低分”的方法， 就是为了防止个别裁判 的人为因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响， 从而降低误差， 尽量保 证公平性2如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明 数

16、据中存在许多较小的极端值 在实际应用中， 如果同时知道样本中位数和样本平均数， 可 以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策某校在一次学生身体素质调查中，在甲、乙两班中随机抽 10 名男生检测 100 m 短跑，测得成绩如下（单位：s）:甲15.114.814.114.615.314.814.914.715.214.5乙15.015.014.214.516.115.214.814.915.115.2求甲、乙两班 10 名同学的平均成绩，试估计甲、乙两班男生的短跑水平.【解】两组数据均在 14.5 附近波动，均减 14.5 后得两组新数据：0. 6 0.3 0.4 0.1 0.80

17、.3 0.4 0.2 0.700. 5 0.5 0.3 0 1.6 0.7 0.30.4 0.6 0.7则第一组新数据的平均数为：0.6 + 0.3 0.4 + 0.1 + 0.8 + 0.3 + 0.4+ 0.2 + 0.7 + 0=0.3.第二组新数据的平均数为：0.5 + 0.5 0.3 + 0 + 1.6 + 0.7+ 0.3 + 0.4 + 0.6 + 0.7=0.5.所以 x甲=14.5+ 0.3 = 14.8(s),x乙=14.5 + 0.5= 15.0(s).由此可估计甲班男生的短跑水平可能更高一些.10A1B2(1)平均数在一定程度上能显示数据的集中趋势，故可以由平均数估计总

18、体的规律特征(2)平均数与每一个样本数据有关，这是平均数的特点1对于数据 3，3， 2，3，6，3， 10，3， 6，3，2，有下列结论：1这组数据的众数是 3；2这组数据的众数与中位数的数值不相等；3这组数据的中位数与平均数的数值相等；4这组数据的平均数与众数的数值相等其中正确的结论的个数为 ( )C. 3D. 42X2+3X6+6X2+10 x = 4.故只有正确.2数 a, b, c 的平均数是3.数据 3, 4, X1, X2的平均数为 9，贝 U X1+ X2=3 + 4+ X1+ X2解析：4= 9,解得 X1+ X2= 29.答案：294._一组观察值 3, 4, 6 出现的次数

19、分别为 4, 3, 2,则样本平均值是 _=4.答案：4A 基础达标1.在一次知识竞赛中，抽取 20 名选手，成绩分布如下:成绩678910人数分布12467则选手的平均成绩是（）解析：选 A.在这 11 个数中，数 3 出现了6 次，频率最高，故众数是3;将这 11 个数按从小到大顺序排列得2，2，3，3，3，3，3，3， 6， 6，10，中而平均数答案:a + b+ c3解析：由已知得样本数据为3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 6 , 6 ,故平均值为3X4+4X3+6X29A. 8B. 8.82.数据 1 ,2,3,X1,X2,X3的平均数是 8,那么 X1,X2,X3的平均数是

20、（）A. 8B. 10C. 12D. 143.某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表:鞋号3435363738394041数量/双259169532如果你是鞋店经理，最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，那么下列统计量中对你来说最重要的是（）A .平均数C.中位数解析：选 B.鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数.由表可知,鞋号为 37 的鞋销量最大，共销售了16 双，所以这组数据的众数为37.4.某几架飞机的最大飞行速度分别是（单位：米/秒）:422423410431 418417425428413441则这些飞机的平均最大飞行速度为（精确到 1 米/秒）（）A. 420B. 423

21、解析：1X6+2X7+4X8+6X9+7X10选 B. X 20 8.8.C. 9D. 9.8解析：选 D.由题意1+2+3+：+ X2+X3= 8,6X1+ X2+ X3所以 X1+ X2+ X3= 42, 所以=14.B.众数D.方差A. 8B. 8.8C. 426D. 429解析：选 B.观察这 10 个数据，它们都在 420 左右波动，将它们同时减去420 得一组新数据：23 1011 2 3 58 721求得新数据的平均数约为3，所以这些飞机的平均最大飞行速度约为：420 + 3= 423（米/秒）.5.在一次京剧表演比赛中，11 位评委现场给每一个演员评分，并将的平均数作为该演员的

22、实际得分.对于某个演员的表演，4 位评委给他评11 位评委的评分10 分，7 位评委给他评 9 分,那么这个演员的实际得分是分.(精确到小数点后两位)4X10+7X9解析：实际得分为117.36(分).答案：9.366 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则(1) 这 20 名工人中一天生产该产品数量在 55, 75)的人数是 _ 这 20 名工人中一天生产该产品数量的中位数为 _ 这 20 名工人中一天生产该产品数量的平均数为 _ 解析：(1)(0.040X10 + 0.025X10)X20= 13.(2) 设中位数为 X,

23、则 0.2+ (x- 55)X0.04= 0.5, x = 62.5.(3) 0.2X50+0.4X60+0.25X70+0.1X80+0.05X90=64.答案：(1)13(2)62.5(3)647为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30 名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me,众数为 mo,平均值为 x,则 me, mo, x的大小关系是_5+ 6解析：30 个数中第 15 个数是 5,第 16 个数是 6,所以中位数 me= = 5.5，众数 mo为 5,平均数x=3X2+4X3+5X10+6X6+7X3+8X2+9X2+10X230_ 179

24、=30，所以 mome x .答案： mme x&从一批机器零件毛坯中取出20 件，称得它们的质量如下（单位：千克）:210208 220205202218206214215207195207 218192202216185227187215求这 20 件零件的平均质量（精确到 1 千克）.解：各数据同时减 200,得到新数据：10, 8, 20, 5, 2, 18, 6, 14, 15, 7, 5, 7, 18, 8, 2, 16, 15, 27, 13,15,经计算新数据的平均数为 7.45 ,所以原数据的平均数为200 + 7.45= 207.45 207（千克）.即这 20 件

25、零件的平均质量为 207 千克.9高一年级甲、乙两班各 50 名同学，在一次数学测验中， 成绩分组及各组的频数如下：40, 50），2，3 ； 50, 60）, 3，5 ； 60, 70），10，11； 70，80）, 15，12； 80, 90），12， 10； 90，100, 8, 9（第一个频数为甲班，第二个频数为乙班）.根据以上数据估计各班的平均成绩并加以比较.解：甲班的平均成绩为50（45X2+55X3+65X10+75X15+85X12+95X8）=76.2（分）,乙班的平均成绩为50（45X3+55X5+65X11+75X12+85X10+95X9）=74.6（分）,由于甲班的平

26、均成绩高于乙班的平均成绩，所以甲班的成绩好一些.B 能力提升1在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据乘以100 后进行分析，得出新样本的平均数为3，则估计总体的平均数为 _ .解析：一组数据乘以 100 后得到的新的平均数3 应是原平均数的 100 倍，所以原来样本平均数为 0.03，因此估计总体平均数为0.03.答案：0.032.样本（X1, X2,，Xn）的平均数为X,样本（y1, y2,，ym）的平均数为y（x My）.若1样本（X1,X2,，Xn,y1, y2,，ym）的平均数 z =ax + （1xa）y，其中0vaV2则 n,m 的大小关系为_ .X1+ X2+ + Xn解析：X =n，一 y1+ y2+ + ymy= m ，一 X1+ X2+ + Xn+ y1+ y2+ + ymz =,m+ nn m X+ y . m+n m + nn 1nvm.的工资额与大多数人的工资额差