第六章《图形的相似》经典题型单元测试题(含答案)

1、第六章图形的相似经典题型单元测试题一.选择题（每小题 3分，共10小题）1 .下列说法中不正确的是（）A.相似多边形对应边的比等于相似比B.相似多边形对应角平线的比等于相似比C.相似多边形周长的比等于相似比D.相似多边形面积的比等于相似比2 .MBC 是等腰三角形， AB=AC , ZA=30 ° , zABCZA B C7 ,则幻'=()A. 30B. 60C. 50D. 75CM的延长线交AB于点N ,则NM :3.如图，DE是AABC中位线，M是DE的中点,C. 1 :A. 1:2B. 1D. 1:54.如图，线段AB与CD交于点AC8DA. OC=1 , OD=2 ,

2、 OA=3 , OB. OA=13 , BD=4D. OC=1=3 , CD=4 .C,则线段)CC. OC=1 , OA=2 , CD=3 , O5.如图，AABC中，AD是中线,AC长为（A. 2B. 2.2C. 3D. 2/3AB 上，点 F在 CD 上，AC、BD、6.如图,AB /CD,点 E角形共有（）则图中相彳EF相交于点O,A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7.如图，点 D, E分别在4ABC的AB, AC边上，增加下列哪些条件，/ AED= ZB,AE 4 一 -八，使4ADE与9CB 一定相似 ABAE DEAD，一AB BCACA.B.C.D.8.如图，已知在 AB

3、C中，点D, E, F分别是边 AB, AC, BC上的点，DE/BC, EF/AB , 且 AD： DB=1： 2, CF= 6,那么 BF等于（）C. 3A. 1B. 2D. 4ABCD ） 土地，土地中有一条平行l分割成面积分别为 Si, S2 , S3, S49.如图，某小区有一块平行四边形状（即图中平行四边形 四边形小路（即平行四边形 AECF）,其余部分被直线四个区域，小区物业准备在这四个区域中种上不同的四种花卉,已知l /AD ,交AB于点M ,AM 1 S2则 7TAB k S32k 1A. -2k 2k10.如图,在正方形不与B, C重合），k2 1B.2k 12k 1C.

4、k 11D.k 1ABCD中，O是对角线 AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点 MCNXDM ,与AB交于点N,连接OM , ON , MN .下列四个结论：yNBdDMC ; OM=ON ; （DAOMN sRAD ; AN2+CM 2=MN 2,其中正确结论的个数是（）C. 3A. 1B. 2D. 4二.填空题（每小题 3分，共6小题）11.在比例尺为1 ： 50000的地图上量出 A、B两地的距离是8cm,那么A、B两地的实际距离是千米.12.如图，在4ABC 中，DE/AC,且 AB=5cm , AD=2cm , BC=6cm ,贝U BE=13 .已知点P、Q为线段AB的黄金分割

5、点，且 AB=2 ,则PQ=.(结果保留根号)14 .如图，WAAOB以O为位似中心，扩大得到 COD,其中B (3, 0), D (4, 0),则4AOB与ACOD的相似比为:15.如图，已知正方形 DEFG的顶点D、E在那BC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、10,那么这个正方形的边长是16 .如图，在直线l上摆放着三个三角形： ABC、AHFG、ADCE,已知BC= CE, F、G 3分别是BC、CE的中点，FM /AC /HG /DE, GN /DC /HF /AB.设图中三个四边形的面积依次是 Si , S2, S3 ,若 Si+S 3=20 ,则 Si=, S2=.17 .如图.

6、在平面直角坐标系内， ABC三个顶点 坐标分别为A (1, -2), B (4, - 1), C (3, -3)(正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度).(1)作出 ABC向左平移5个单位长度，再向下平移 3个单位长度得到的 A1B1C1； (2)以坐标原点O为位似中心，相似比为 2,在第二象限内将 ABC放大，放大后得到A2B2c2 作出4A2B2c2；(3)以坐标原点 O为旋转中心，将 ABC逆时针旋转90° ,得到逸3B3c3,作出4A3B3c3,ADAE = 2,求AB的长.(2)若 AD= 1, BC=3,A=90 ,BC的长.正方形DEFG的边长是6cm ,且

7、四个顶点都在 ABC20.如图，在 ABC中，的各边上，CE=3cm,求21.如图，"BC中，点D,八一 八口 ADDE, BC 于点 F, G,且ACE分别在边AB, AC上，ZAED= ZB,射线AG分别交线段DFCGBE测量学校18 .如图，实验中学某班学生在学习完利用相似三角形测高后，利用标杆 体育馆的高度.若标杆 BE的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆 CD/BC, ABLBC,点 E在 AB 上，ZDEC= 90 °(1 )求证：4ADF sACG ；22 .如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点O. M为AD中点,连接

8、CM交BD于点N ,且 ON=1(1 )求BD的长;(2)若4DCN的面积为2,求四边形ABNM的面积.D023 .如图，在边长为 6的正方形 ABCD 于E.中 占I ) 八P为AB上一动点，连接 DB、AEXDP如图，若P为AB的中点，则BFDFBFAC如图，若AP 1 , 一时，证明：AC=4 BF； BP 2BFP在BA的延长线上，当AC如图，若BAP时，一 BPC图5口一.选择题(每小题 3分，共10小题)1 .下列说法中不正确的是()A.相似多边形对应边的比等于相似比B.相似多边形对应角平线的比等于相似比C.相似多边形周长的比等于相似比D.相似多边形面积的比等于相似比【答案】D【解

9、析】【分析】根据相似多边形的性质判断即可.【详解】若两个多边形相似可知：相似多边形对应边的比等于相似比；相似多边形对应角平线的比等于相似比相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方，故选D.【点睛】本题考查了相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比相等、应面积的比等于相似比的平方.2 .MBC 是等腰三角形， AB=AC , ZA=30 ° , zABCZA B C7 ,则幻'=()A. 30 °B. 60 °C. 50 °D. 75 °【答案】D【解析】【分析】利用相似三角形的对应角相等即可得到答案.【详解】AB

10、C 是等腰三角形， AB = AC, /A=30 , . . C= (180 ° - A) +2=75 ° .丛BCsA'B'C' , .C'=/C=75.故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及相似三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质求得等腰三角形底角的度数.3.如图，DE是3BC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交 AB于点N ,则NM : MC等于()A. 1:2B. 1:3C. 1 : 4D. 1:5【答案】B【解析】1.DE 是"BC 的中位线，DE/BC, DE=不 BC , .M 是 DE 的中XF

11、1一,故选B.3CGC. OC=1,OA=2 , CD=3 ,OB=4【答案】【解析】 I - .DM=ME= - BC,4 MC卜列条件中能判定 ac /bd的是（B. OA=1 , AC=2 , AB=3 , BD=4D. OC=1 , OA=2 , AB=3 , CD=4 .根据平行线分线段成比例，因为OAOCOB，所以AC OD/BD,故选 C.点睛:本题考查平行线分线段成比例 ，解决本题的关键是要熟练掌握平行线分线段成比例5 .如图，AABC中，AD是中线，BC=4 , ZB= ZDAC,则线段 AC的长为（）A. 2B. 2 2C. 3D. 2:3【详解】解： . ZABC中，AD

12、是中线，BC=4 , . DC=2. ZB= ZDAC , ZC= ZC,.ADC s/bac,AC DC ,_ 2，即：AC2 BC DC 4 2 8.BC AC. AC= 2 2.故选B错因分析 容易题.失分原因是：相似三角形的对应边对应关系搞混乱6 .如图，AB/CD,点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点 O,则图中相似三角形共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【答案】C【解析】【分析】找图中的相似三角形， 根据相似三角形的判定方法， 有两组对应角相等的三角形相似即可判 定.【详解】Q AB /CD,ABO CDO, OAB OCD, AOE FOC, BOE

13、 FOD. VAEOsVCFO ,VABOsVCDO,VBEOsVDFO.，共有3对相似三角形.故选:C.【点睛】考查相似三角形的判定，有两组对应角相等的三角形相似是判定两个三角形相似的 常用方法.7.如图，点 D, E分别在4ABC的AB, AC边上，增加下列哪些条件，/ AED= ZB,ADAE DEAE -一-八，使4ADE与9CB 一定相似（）ABC.D.【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断;【详解】解：A= /A, ZAED= ZB,AEDs/ABC,故正确，AD AE,"二 ZA,AC ABAEDs/ABC,故正确，由无法判定 ADE与9CB相似

14、，故选C.【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键8.如图，已知在 ABC中，点D, E, F分别是边 且 AD： DB=1： 2, CF= 6,那么 BF等于（AB, AC, BC 上的点，DE/BC, EF/AB, )DCA. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，得到EC=1 : 2,计算即可.【详解】解：= DE /BC,.AE: EC=AD : DB = 1 : 2,AE: EC = AD: DB = 1: 2, BF: FC= AE:. EF/ZAB ,.BF: FC = AE:.CF = 6,形状

15、（即图中平行四边形个区域中种上不同的四种花卉,3.BF= 3, 故选C.【点睛】本题考 键.9.如图，某小区 四边形小路（即邛 四个区域，小区AM 1-,则AB kA F线段成比例定理,灵活运用定理、找准对应关系是解题的关ABCD ） 土地，土地中有一条平行ECF）,其余部分被直线l分割成面积分别为 Si, S2, S3, S4已知l /AD ,交AB于点M ,2k 1A. 2k2 2k【答案】C【解析】【分析】k2 1B.2k 12k 1C. k2 11D.k 1利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解决问题;【详解】如图：B EC-“ 八 S ，AM、2 1S4，BM、.1 /AD

16、/BC, .ZAMN sBE, zTGHCFD, - -= )2=TT= )S183AB k S4 S2AB2 k 12s 12c ,2 cc2k2= ( ) 2 , =( ) 2 , .S3=(k21)Si ,S2= 2?S4kS4k 1(k 1)S2 2k 1s7= k7'故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.10.如图，在正方形 ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点 M 不与B, C重合)，CNLDM ,与AB交于点N ,连接OM , ON , MN .下列四个结论： yNBdDMC

17、; OM=ON ; (3)AOMN sRAD ; AN2+CM 2=MN 2,其中正确结论的个 数是()DCA.SA. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】据正方形的性质，依次判定 CNBzDMC , AOCM zOBN ,根据全等三角形的性质以及勾 股定理进行计算即可得出结论.【详解】解：二.正方形 ABCD中，CD = BC, /BCD = 90 ° , .ZBCN +ZDCN =90° ,又CN ±DM , .ZCDM +/DCN =90 ° , .ZBCN =ZCDM ,又/CBN =/DCM =90 ° ,/NBQMC

18、 (ASA),故正确；. HNBdDMC,可得 CM =BN ,又/OCM =/OBN =45 ° ,OC=OB, OCM /OBN (SAS),.OM =ON故正确，,"CM /OBN ,./COM =/BON , .dMON =/COB = 90 ° , .ZMON是等腰直角三角形， .AOD也是等腰直角三角形， RMN sRAD ,故正确，. AB =BC, CM =BN , . BM = AN ,又Rt怎MN 中，BM2+BN2=MN 2,. AN 2+CM 2 = MN 2,故正确；本题正确的结论有：，故选D.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方

19、形的性质、全等三角形的判定与性质，考查了学生对综合知识的运用能力.二.填空题（每小题 3分，共6小题）11.在比例尺为1 ： 50000的地图上量出 A、B两地的距离是8cm,那么A、B两地的实际 距离是千米.【答案】4.【解析】【分析】设A、B两地间的实际距离是 xcm ,根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可.【详解】设A、B两地间的实际距离是 xcm,根据题意得：8: x=1 : 50000解得：x=400000 , 400000 cm =4 km .故答案 4.【点睛】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算.12.如图，在4ABC 中，DE

20、/AC,且 AB=5cm , AD=2cm , BC=6cm ,贝U BE=.18根据平行线分线段成比例定理解答即可.AD EC . 2 EC .【详解】DE/AC,且 AB=5 cm , AD =2 cm , BC=6 cm , ,即- ,解1212 18得：EC=，BE=6 AB BC 565一-，18 故答案为一.5【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解答本题的关键.13.已知点P、Q为线段AB的黄金分割点，且 AB=2 ,则PQ=.（结果保留根号） 【答案】2 s/5-4.【分析】 1 5 1先根据黄金分割的定义得出较长的线段AP= BQ= 1 AB,再根据P

21、Q = AP+ BQ - AB ,2即可得出结果.【详解】根据黄金分割点的概念，可知 AP=BQ=近X2= （ V5 -D.2贝U PQ= AP+BQ-AB= （75-1） X2-2= （2荷-4）.故答案为2 V5 -4.|IAQPS【点睛】本题主要是考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分， 使其中较长的线段为5 1全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫2做黄金比.熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解.14 .如图，WAAOB以O为位似中心，扩大得到 COD ,其中B （3, 0）, D （4, 0）,则4AOB与ACOD的相似比为

22、:【解析】.AOB与3OD关于点O成位似图形，.AOB s/cod ,则GAOB与ACOD的相似比为 OB: OD=3 : 4 ,故答案为3 : 4 （或§ ）.415 .如图，已知正方形 DEFG的顶点D、E在那BC的边BC上，顶点 G、F分别在边 AB、10,那么这个正方形的边长是209作AH，BC于H ,交GF于M ,如图，先利用三角形面积公式计算出AH=4 ,设正方形DEFG的边长为x,则GF=x , MH=x , AM=4-x ,再证明AGFsbc,则根据相似三角形的性 质得方程，然后解关于 x的方程即可.【详解】解：如图，作 AH，BC于H ,交GF于M ,D HE C,

23、ABC的面积是10 ,1，一BC?AH=10 ,2. AH=4 ,设正方形 DEFG的边长为x,则GF=x , MH=x , AM=4-x ,. GF /BC ,AGFs/abc , GF AM , BC AH x 4 x 一口 ,解得故答案为:42020x=99【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质, 关键.添加合适的辅助线是解题的16 .如图，在直线l上摆放着三个三角形： ABC、AHFG、ADCE,已知BC= - CE, F、G 3分别是BC、CE的中点，FM /AC /HG /DE, GN /DC /HF /AB.设图中三个四边形的面积依次是 S1, S2, S3,若

24、S1+S 3=20 ,则 S1=, S2=.【解析】【分析】 根据题意，可以证明S2与Si两个平行四边形的高相等， 长是Si的3倍，S3与S2的长相等，-1高是S3的一，这样就可以把 Si和S3用S2来表不，从而计算出 S2的值. 3【详解】根据正三角形的性质，/ ABC=/HFG=/DCE=60 , AB/HF/DC/GN ,设 AC与FH交于P, CD与HG交于Q,./PFC、劣CG和ANGE是正三角形. F、G 分别是 BC、CE 的中点，MF= 1AC= 2BC, PF= 1AB=1BC. 2222又. BC= 1CE= 2CG= 2GE,，CP=MF, CQ= 3 BC=3 PF,

25、QG = GC=CQ= -AB=3 CP,33322-1 - .Si= S2, S3=3 S2. 31 -. Si+ S3=20 , - S2+3 S2=20 ,$2=6 ,，Si=2 . 3故答案为2; 6.B F CG【点睛】本题考查了面积及等积变换、等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积.即S=a?h.其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高.三.解答题(共7小题)i7.如图.在平面直角坐标系内， ABC三个顶点的坐标分别为 A (i, -2), B (4, - i),C (3, -3)(正方形网格中，

26、每个小正方形的边长都是i个单位长度).(i)作出 ABC向左平移5个单位长度，再向下平移 3个单位长度得到的 AiBiCi;(2)以坐标原点O为位似中心，相似比为 2,在第二象限内将 ABC放大，放大后得到A2B2c2 作出4A2B2c2；(3)以坐标原点 O为旋转中心，将 ABC逆时针旋转90° ,得到逸3B3c3,作出4A3B3c3,134【解析】【分析】(1)将三顶点分别向左平移 5个单位长度，再向下平移 3个单位长度得到的对应点，顺次 连接可得；(2)根据位似图形的定义作出对应点，顺次连接可得；(3)将三顶点分别绕点 O逆时针旋转90。得到对应点，顺次连接可得：再根据扇形面积

27、公 式计算可得.【详解】(1)如图，AiBiCi即为所求;90(3 扬2360OA= Ji2 22 = J5, OC= 旧 32 =3 J2，线段AC扫过的面积为90 (而2 13= 兀.3604【点睛】本题主要考查作图-平移、位似、旋转变换，熟练掌握基本变换定义和性质及扇形的面积公式是解题的关键.18.如图，实验中学某班学生在学习完利用相似三角形测高后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度.若标杆 BE的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆 CD-4 BC【答案】CD=12 .【解析】 【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可.【详解】解：依题意得 E

28、BA DCA 90o ,又 A A ,AEBsADC ,AB BE 21.5，即，CD CD 2 14 CD则 CD=12 .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形.19.如图，在四边形 ABCD 中，AD /BC, ABLBC,点 E在 AB 上，ZDEC= 90 (1 )求证：AADE s/bec.AE = 2,求AB的长.2)【解析】【分析】,再根据已知得到/ADE= /CEB,利用两角对应相等的两个三(1 )首先得出/ A=/B=90角形相似即可得证；BE的长，进而得出答案即可.(2)利用相似三角形的性质得出【详解】(1) . AD /BC, AB

29、 ±BC, .AB LAD, ZA = ZB=90° , ，“DE+/AED = 90. /DEC =90 ° ,. ."ED +/BEC=90. ."DE =/BEC,ADEs/beC;(2)ADE s/BEC,BE BC一 一,AD AE. AD =1 , BC=3, AE=2, BE 3 一彳2 '3 BE=, 2. AB =AE+ BE= 7.2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键20.如图，在 ABC中， A=90 ,正方形DEFG的边长是6cm,且四个顶点都在 ABC 的各边上，CE=3cm

30、,求BC的长.A【答案】BC=21cm【解析】【分析】BD DG BD 6只要证明BDGS/FEC,可得 =,推出 =一,求出 BD即可解决问题. EF EC63【详解】二.四边形 EFGD 是正方形，DE=EF= DG=6 cm , ZGDE= ZDEF=90 ° , . BDG =ZCEF=90.-一 。 BD DGBD 6ZB+/C=90 ,ZC+ ZCFE=90zB= ZCFE, . ZBDGs/FEC,. =,.=一 ,EFEC63. BD=12 , .-.BC= BD+DE+EC=12+6+3=21(cm).【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解

31、题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.21.如图，在4ABC中，点D, E分别在边 AB, AC上，ZAED= ZB,射线AG分别交线段一_ r AD DFDE, BC 于点 F, G,且.AC CG(1 )求证：4ADF sACG ;AD 1AF(2)若一，求的值.AC 2 FG【答案】(1)证明见解析；(2) 1.【解析】(1)欲证明AADFs逸cg,由理之空可知，只要证明/ ADF= /C即可.AC CG(2)利用相似三角形的性质得到 ,由此即可证明.AG 2【解答】(1)证明：. ZAED= ZB, ZDAE= /DAE, . ZADF= ZC,ADACDF ,./DF

32、s/acg.CG(2)解:人L人 ID RF. ADF s/acg , . =,AC 4GAD又AF-,22.如图,在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点O. M为AD中点，连接CM交BD于点N ,且 ON=1 .(1 )求BD的长；【解析】ABNM的面积.【分析】(1)由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形CNB相似，由相似得比例，得到 DN : BN=1 : 2,设OB=OD=x ,表示出BN与DN ,求出x的值，即可确定 出BD的长；(2)由相似三角形相似比为 1: 2,得到S

33、MND : SCND=1 : 4,可得到4MND 面积为1 , MCD 面积为 3,由 S 平行四边形 abcd=AD ?h , Szmcd =MD ?h=AD ?h , =4S dMCD ,即可求 得答案.【详解】解：(1)二.平行四边形ABCD , . AD /BC, AD=BC , OB=OD , .ZDMN= ZBCN , ZMDN= /NBC,ZMND s办b ,MD DN,BC BN. M 为AD中点，所以 BN=2DN ,设 OB=OD=x ,贝U有 BD=2x , BN=OB+ON=x+1 , DN=x - 1 , ，x+1=2(x- 1),解得：x=3 , .BD=2x=6 ;(2) .ZMND s/cnB,且相似比为 1:2,.MN : CN=1 : 2,.SMND : SCND=1 : 4, . ZDCN的面积为2, .ZMND面积为1, .ZMCD面积为3,设平行四边形AD边上的高