三角形的内切圆

1、例 如图， ABC 的内心为 I，外心为 O,且ZBIC=115 ，求ZBOC 的度数. 解：Tl ABC 的内心，1 ZIBC= _ZABCZ2 ZIBC+ZICB=180 ZABC+ZACB=130又 O 是厶 ABC 的外心，1(2)此题可得：/ BIC=90 +_ / A;2例 已知，在 Rt ABC 中，/ C=90, AB=5, AC=4 求直角三角形内切圆的半径的长. 分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解.说明：(1)本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推1ICB=/ACB2-ZBIC=180-115=65/A=180-(ZABC+

2、ZACB)=50BOC=2ZA=100说明：(1)此题为基本题型;解：由勾股定理得:BC、AB2AC2连结OA OB0C设OO 的半径为 r，则:BCCA)r，又ABC-AC BC21专(AB BC CA)rAC BC- rAB BC CA答：直角三角形内切圆的半径为说明：(1)此题为基本题目；1丄AC BC,2i5 3 41.(2)三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度.例 (陕西省，2001)如图，点 I 是厶 ABC 的内心，AI 的延长线交边 BC 于 D，交 ABC 的外接圆于点 E.(1) 求证：IE=BE ;(2) 若 IE=4, AE=8，求 DE 的长.证明：(1)连结

3、 BI,ZBIE=ZBAI+ZABI= -(ZBAC+ZABC),2ZIBE=ZIBC+ZEBC= -ZABC+ZEAC= -(ZABC+ZBAC),2 2ZBIE=ZIBE IE=BE解：(2) I 是厶 ABC 的内心，/ BAE=ZCAE ,又TZDBE=ZCAE ,ZBAE=ZDBE，又 E 为公共角， ABE BDE , 匹,BE2AE DEBE DEIE2AE DE, DEIE2AEAo论、相似三角形等；(2)本题为教材 117 页 12 题和 B 组第 3 题的变形与结合；(3)本题为典型例题四已知：如图，设ABC为Rt,C 90，以AC为直径作OO交AB与D，设E是BC的中点，

4、连结0D、证明 连结CD.AC为O0的直径，CD AB,ADC又E是BC的中点，CE DE BE,EDC ECD.BC AC,C是半径的外端点,BC是OO的切线，ECD A EDC A.又OD OC,ODC OCDA OCD 90,EDC ODC 90,ODE EDC ODC 90.DE OD.说明：本题证到EDCA时，也可说明DE是OO的切线，尽而说明DE OD.典型例题五例 已知：如图，在ABC的外接圆中，D 是恳的中点，AD 交 BC 于点 E,ABC的 平分线交AD 于点 F. (1)若以每两个相似三角形为一组，试问图中有几组相似三角形，并2且逐一写出；(2)求证：FD AD ED.中

5、档D在OO上，90,BDC 90,7A .4解过 D 作DE7C.3AB于E,94CF梯ABCD 为等腰梯形,AEDEBE21 6 15.BDri12 AB DE2AD AD12 21；21 21 17BDAB于 F.AB / DC , AB 21cm,CD 9cm.、102628.、1528217.87(cm).2解（1）有三组相似三角形：AEC与BED;BDE与ADB;AEC与ABD.(2)vD 是.中点，BADCADDBCABFCBF,DBCCBFABFBAD.即DBFDFB.DB DF.DBEDAB, DD,DBE sDAB.DB:DEDA:DB.2DB AD ED.2DB DF, D

6、F AD ED.说明：本题考查三角形内心的性质，解题关键是熟练运用三角形内心的性质易错点是找不到证明DB DF的解题思路.典型例题六ABCD 中，AB / DC , AB 21cm, CD 9cm, DA 10cm.O O1与BCD的内切圆，它们的半径分别为A, a，则一的值是（）.2例如图，等腰梯形ABD和证明 （1）ABIDAC连结 BI.vI 是ABC的内心,IBC, BADDBC,BADDAC.DBC.ABI3ADIBCDBC.即BIDIBD. IDBD.(2 )在ABD和BDE中，BADDBE, BDAEDBBDDEABDsBDE. ADBDBD ID,ID2AD DE.ID 2,

7、ADx,DEy,4 yxBD AD2R, 2x6.自变量x 的取值范围是2x6.说明：质，易错点是忽视自变量的取值范围或求错自变量的取值范围选择题1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（）（A）梯形（B）菱形（C）矩形 （D）平行四边形2、 菱形 ABCD 中，周长为 40,/ ABC=120。，则内切圆的半径为（）7同理，r；22( cm) .也7.选 A.r224说明：本题考查三角形内切圆半径的求法，解 题 关 键 作 辅 助 线 ，求 出 三 角 形 的 边 长 和 高线长易错点是企图求出r1的而使思路受阻2典型例题七例（山西省，1998）如图，已知 I 为ABC的内心，射线 AI 交A

8、BC的外接圆于 D， 交 BC 边于点 E. （ 1 ）求证：ID BD；（ 2 ）设ABC外接圆半径R 3, ID 2, AD x, DE y.当点 A 在优弧心上运动时，求函数与自变量 x 间的函数关系式，并指出自变量的取值范围解又E2 L2L5L5L(A)3( B)2(C)、2(D)333223、 如图，O O 是厶 ABC 的内切圆，D、E、F 是切点，/ A=50。，/ C=60 ，则/ DOE=()(A ) 70(B) 110 (C) 120(D) 1304、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为()(A) 1 :2:3( B) 1 : 2 :. 3(C) 1 :3: 2(

9、D) 1 : 2 : 35、 存在内切圆和外接圆的四边形一定是()(A)矩形(B)菱形(C)正方形(D)平行四边形参考答案：BDBDC填空题1. 等边三角形的边长为 4，则外接圆的半径为 _，内切圆半径为 _ ，内切圆半径：高：外接圆半径=_ .2.ABC中，内切圆与AB，BC，CA相切于F,D，E,若A 40，则EOF _，EDF _，BOC _.3.ABC的A 50，B 80，O是ABC的内心，贝 UAOB _.4. 内切圆的半径为r的等边三角形的面积为_5. 在ABC中，若C 90,A 30,AC 3，则内切圆的直径为 _.6若ABC的BC边上的高为AH,BC长为30cm，直线DE /

10、BC交AB、AC分别为D、E,以DE为直径的半圆与BC切于F，若此半圆的面积是18ncm2，则AH _cm.7. 在ABC中，I为内心，若A 70，贝 UBIC _.8. 已知：等边三角形的边长为 4,则它的内切圆与外接圆组成的圆环面积是 _ .答案：1.43,23,1:2:32.140,170,1103.1154.3 3r25.3.36. 10337.1258.4.解答题1. 画一个边长为 3cm 的等边三角形，在画出它的内切圆.2. (山西省，1998)如图，已知点 I ABC 的内心，射线 AI 交厶 ABC的外接圆于点 D，交 BC 边于点 E.(1)求证：ID=BD ;设 ABC 外接圆半径 R=3, ID=2 , AD=x , DE=y，当点A 在优弧 BC 上运动时，求函数 y 与自变量 X 间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.AIED3.已知点I为ABC的内心，如果ABC ACB 100，求BIC的度数。4已知：OO的半径为R，求它的外切等边三角形的周长和面积。5.如图，Rt ABC的内切圆OO切斜边AB于点D，切BC于点F,BO的延长线交AC于点E，求证：BO BC BD BE6.如图，在ABC中，AC