三角形章节知识点总结汇总

1、命题与证明知识点梳理(1)定义、命题、定理、公理的有关概念定义、命题、定理、公理的有关概念(1)定义是能明銅指岀慨金含义或特征前旬子定义是能明銅指岀慨金含义或特征前旬子. .它必须严密它必须严密 (2) #=判斯一件事情的语句判斯一件事情的语句. .1齡題由題设和竝两那分组玻齡題由題设和竝两那分组玻- -2谢通的真假：正确的命題称揃算即穡厌的命趣称为假命题谢通的真假：正确的命題称揃算即穡厌的命趣称为假命题. .3互逆命題，在两个歯題申互逆命題，在两个歯題申. .如果第一个命题的題设耀第二介审题的结论如果第一个命题的題设耀第二介审题的结论而第一个谢竝閑结论而第一个谢竝閑结论 是第二是第二个命題的

2、题设个命題的题设. .那么这阴个命題称为互逆命懸那么这阴个命題称为互逆命懸. .笹一个命題都有逆渤題笹一个命題都有逆渤題. .(3) 定理， 经过证明的真命题叫僚定環.因为定理的逆命题不一崔都据真命题 所以不是所夷前定 遐都有逆定埋-(斗)益理有一类命題的正碗性是人们在长期的来践中总結出辜前.养把它们养为利断其他命题真 怙的原姑依据*这样的真命耀叫公理.Ifii馨提乔:对命题的正确性理解对命题的正确性理解一定要一定要港确港确. .判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理，命命题有正、误，题有正、误，错错 误的命误的命题题也是命题也是命题 (2)证明证明

3、1证明证明| |根据根据题设题设. .定义、公理及定理色甜逻定义、公理及定理色甜逻辑推理辑推理来判断一个命題是否正确来判断一个命題是否正确. .这一推这一推理过程理过程 祢为证明祢为证明. .2.证明证明的一般母骤：的一般母骤：审题，找出审题，找出命题的命题的题设和题设和结论结论* *由题由题意画出图形，具有一意画出图形，具有一般性般性* *用数用数 学语学语言写出言写出已宜、已宜、求证；求证；分析征明的思路；分析征明的思路；写出证明过程写出证明过程每一每一歩应有根据歩应有根据. .要推理要推理严密严密. .温馨提示，温馨提示，命题证明应根据证明的歩骤一歩歩逬行；圏形证命题证明应根据证明的歩骤

4、一歩歩逬行；圏形证明需雯明需雯分析好己知分析好己知条件条件. .无需无需再画图再画图重新写已知、求重新写已知、求 砧砧甲学甲学讨讨的知的知识经过识经过严密的书眼帚导出严密的书眼帚导出结论。结论。三角形知识点梳理1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形三角形有三条边，三个内角，三个顶点组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为|_ ABC,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.注意：(1)三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相

5、接；(2)三角形是一个封闭的图形；(3)LABC是三角形ABC的符号标记，单独的没有意义。B2.三角形的分类:(1)按边分类：(2)按角分类：底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形直角三象形一不等边三角形三角形 /A./ACD/B.&三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性.注意：(1)三角形具有稳定性；(2)四边形没有稳定性.适当添加辅助线，寻找基本图形(1)基本图形一，如图8,在MBC中，AB=AC B,A,D成一条直线，则NDAC2/B=2/C或1B=C= DAC2基本图形二，如图9,如果CO是AOB勺角平分线，DE/ OB交OA,OC于

6、D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=D.E当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时， 就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结 论.即：角平分线+平行线T等腰三角形.基本图形三，如图10,如果BD是/ABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN即=BMN是等腰三角形，且MP=NP即：角平分线+垂线T等腰三角线段的垂直平分线知识点梳理(1)定义:经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线如图 1,vCA=CB,直线 mAB 于 C,直线 m 是线段 AB 的垂直平分线(2)性质:线段垂

7、直平分线上的点与线段两端点的距离相等。(3)如图 2,vCA=CB , 直线 mAB 于 C,点 P 是直线 m 上的点。PA=PB。(4)判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。女口图 3,vPA=PB,当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时， 形不完整就应将基本图形补完整，如图11,图12.就应找出这个基本图形， 如等腰三角A K 3一一 一一*BC图1AA图11闫陰直线 m 是线段 AB 的垂直平分线, 点 P 在直线 m 上。等腰三角形1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等 边三角形是特殊的等腰三角形。2.等腰三角形的性质：（

8、1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。4.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。5.等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。6.含30角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。等边三角形（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形（2）等边三角形的性质：1等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是602等

9、边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一,是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴（3）等边三角形的判定1三条边都相等的三角形是等边三角形；2有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；3有两个角都等于60的三角形是等边三角形；4三个角都相等的三角形是等边三角形.（4）两个重要结论1在直角三角形中，如果一个锐角是30那么它所对的直角边等于斜边的一半.2在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30两个重要结论的数学解释：已知：如图4，在ABC中，/C=90贝1如果AB=2BC，那么/A=30；2如果/A=30 那么AB=2BC.直角三角形

10、1.认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号Rt”表示直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的 斜边，构成直角的两边称为直角边。如果ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。如果AB=AC且/A=90,显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们 称之为等腰直角三因此等边三角形角形。2.掌握直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度 计算以及简单说理。3.会用两个锐角互余的三角形是直

11、角三角形”这个判定方法判定直角三角形。4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并 能灵活应用。5在直角三角形中如果一个锐角是30,则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点：1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。勾股定理及逆定理一、 勾股定理及其证明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 符号语言：在ABC中，/C=90 (已知).a2b2=c2证明：进行图形拼接用面积法证明制作四个全等的直角三角形，然后进行拼接，利用面积法理解勾股定理.baba二、 勾股定理的应用：(1)已知两边(或两边关系)求第三边；(2

12、)已知一边求另两边关系；(3)证明线段的平方关系；(4) 作长为、n的线段.三、 勾股定理的逆定理2 2 2如果三角形的三边长a、b、c满足a b =c那么这个三角形是直角三角形1勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等完成；2勾股定理的逆定理实质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定方法不同，它是用代 数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们会经常用到 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：1.先找出最大边(如c)；2222计算c与a b,并验证是否相等.若c=a b，则ABC是直角三角形.2 2 2若c -a b，则ABC不是直角三角形.2 ,

13、,2 2 ,2,2 2注意：（）ABC中，若ab=c，则/c=90;而b c =a时，则/A=2 2 290；a c =b时，则/B=90.2 2 2（2）若ab:c，则/C为钝角，则ABC为钝角三角形.t2 , 2 2若a b c，则/c为锐角，但ABC不一定为锐角三角形.三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17等.各主要三角形类型之间的对比三角形 类型定义性质判定有两条边相1、等腰三角形是对称图形， 顶角1、（定义法）有两条边相等等的三角形平分线所在直线为它的对称的三角形是等腰三角形是等腰三角轴

14、2、如果一个三角形有两个角形，其中相等2、等腰三角形两底角相等， 即在相等，那么这个三角形是等等腰三 角形的两条边分同一个等腰三角形中，等边对腰三角形，即，在同一个三别叫做腰，另等角角形中，等角对等边一条边叫做3、等腰三角形的顶角平分线， 底底边，两腰的边上的中线和高线互相重合，夹角叫顶角， 腰和底边的 夹角为底角简称等腰三角形的三线合一三条边都相1、等边三角形的内角都相等， 且1、三条边都相等的三角形等的三角形为60是等边三角形是等边三角2、等边三角形是轴对称图形，且2、三个内角都等于60。的等边三形，它是特殊有三条对称轴三角形是等边三角形角形的等腰三角3、等边三角形每条边上的中线，3、有一

15、个角是60的等腰形，也叫正三高线和所对角的角平分线三三角形是等边三角形角形线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴有一个角是1、直角三角形的两锐角互余1、有一个角是直角的三角直角的三角2、直角三角形斜边上的中线等形是直角三角形形是直角三于斜边的一半2、有两个角互余的三角形直角三角形，即“Rt3、直角三角形中30角所对的是直角三角形角形 ”直角边等于斜边的一半3、如果一个三角形中两条4、直角三角形中两条直角边的边的平方和等于第三条平方和等于斜边的平方（勾股边的平方，那么这个三角定理）形是直角三角形（勾股定理逆定理）全等三角形知识点梳理、知识网络”性质对应角相等I 对应边相等边边边SSS全等形

16、 T 全等三角形 J边角边 SAS判定*角边角 ASA角角边 AAS斜边、直角边 HL 角平分线，作图J 生质与判定定理、基础知识梳理(一)、基本概念1、全等”的理解全等的图形必须满足：(1)形状相同的图形；(2)大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形定义：能够完全重合的两个 三角形称为全等三角形。(注：全等三角形是 相 似三角形中的特殊情况)当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边， 互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。(1)全等三角形对应角所对的

17、边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；2、全等三角形的性质(1)全等三角形对应边相等；(2)全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法(1)三边对应相等的两个三角形全等。(2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到

18、这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1） 已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等（AAS）（2） 已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等（SAS）第三组边也相等（SSS）（3） 已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等（AAS或ASA）夹等角的另一组边相等（SAS）经典

19、例题例1.已知如图，在 ABC 中，AD 是/ BAC 的平分线，DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F ,求证：AD 丄 EF。1分析：欲证 AD 丄 EF ,就要证/ AOE= / AOF= 2 / EOF=90。所以要考虑证 AEO 幻 AFO。由题中条件可知 AEO, AFO 已有一边（公共边）一角对应相等，只要证岀AE=AF 问题就解决了，所以需先证明 AEDAAFD。证明：TAD 是/ BAC 的平分线，DE 丄 AB，DF 丄 AC （已知） DE=DF （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）DE =在 RtAAED 和 RtAAFD 中皿=卫瓯公共边丿RtAAED

20、幻 RtAAFD（HL）, AE=AF（全等三角形的对应边相等）在AAEO 和AAFO 中1. 1AAEO 幻AAFO,AOE= / AOF （全等三角形对应角相等）丄/ AOE=二 / EOF=90 ， AD 丄 EF （垂直定义）。例2.写出下列定理的逆命题，并判断真假。（1）同位角相等，两直线平行。(2) 如果 x=3，那么 x2=9.(3) 如果 ABC 是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时， ABC 的三个外角中只有两个钝角。(4) 如果 ABC 幻AABC，那么 BC=BC, AC=AC,/ ABC= / ABC。解：(1)的逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题。(2)

21、 的逆命题是：X2=9,则 x=3。它是一个假命题。T(-3)2=9,X=3或X=-3.(3) 的逆命题是：如果 ABC 的每个内角取一个对应外角时，若三个外角中只有两个钝角，那么 ABC 是直角三角形。它是一个假命题，因为 ABC 还可能是钝角三角形。(4) 的逆命题：如果在 ABC 和 ABC中，BC=BC , AC=AC，/ ABC= / ABC，那么 ABC 7 ABC。这是一个假命题，因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。例3.已知：如图，M, N 分别在/ AOB 的两边上，求作一点 P,使点 P 到 M, N 两点的距离相等，且到/ AOB 两边的距离相等。作

22、法：1、连结 MN，作线段 MN 的垂直平分线 CD。2、作/ AOB 的平分线 0E，交 CD 于 P,点 P 即为所求。例4.在等腰直角三角形 ABC 中，已知 AB=AC，/ B 的平分线交AC 于 D。求证：BC=AC+AD分析：如图：BD 为/ ABC 的平分线，DA 丄 AB，利用角平分线的性质，可以转化法是作 DE 垂直 BC 于 E,则有 AD=DE，容易得至 U DE=CE，AB=BE证明：过 D 作 DE 垂直 BC 于 E,/ BD 为/ ABC 的平分线，/ A=90AD=DE (角平分线的性质)在 Rt ABD 和口 Rt EBD 中，=已证丿证丿妙妙= =占瓯公共边

23、占瓯公共边) )Rt ABD 幻 Rt EBD ( HL ) AB=EB ABC 为等腰直角三角形(已知)，/C=45DE 垂直 BC 于 E，/ DEC=90，/ C= / EDC=45 , DE=EC （等腰三角形的性质） BC=BE+CE=AB+DE=AC+ADAD，方说明：这种方法是利用角平分线的性质作DE 丄 BC ,实际上是在长的线段BC 上，作岀了BE=AB=AC，所以只要再证明 AD=EC 就可以证明结论。相应的，还可以将 线段AB 补长，方法如下。方法二：如图，延长 BA 到 M，使得 AM=AD，连接 DM。 证明提示：只要证明三角形 BDM 和三角形 BDC 全等即可。(

24、容易证明/ M= / C=45 )小结：主要内容是角平分线的性质定理和它的逆定理以及线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。 能够利用它们证明两个角相等或两条线段相等； 对于原命题和逆命 题的关系，要能说岀题设和结论都比较简单的命题的逆命题。C【分析】（1）欲证二H，只需证明它所在的两个三角形全等.（2）ZA0B的度数可用A0BN的外角来求，但要注意全等所得到Z4=Z5这一条件的使用.（3 ）要【则_ 1 :.-,:应该为一个等边三角形，可证明 丄一 11 幻口二，从而得到-.（1）证明：T _m 都是等边三角形,_ _ ,丄-m,（2）由（1）知， 二 1_ . 幻 一 丄， 一： _ I .一

25、亠_V1.（3 ）在 1 二和 J 丄中,fZ4 = Z5Z1=Z3CB = gAPCWO即，:.PCQCCPQ二ACQP.又/3 = 60:ZCPQ =3QF = -(180-60=5 = 60即一，丁丄.【点拨】（i）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等.（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋 转变换的三角形全等.例 5.如图，已知点C为线段AB上一点， 胡加和ACEMCM交于点P, BM CN交于点（1） 求证:（2）求一丄 的度数.（3）求证：丄匕._：-11,即二一二.AC = CM在1和_ 一:一丄中,ACN= LMCB

26、CN=CB2例6.如图， ABE 和厶 ADCAABC 分别沿着 AB, AC 翻折 180形成的，若/ 1 :/ 2 ：/ 3 =28 : 5 : 3，/a的度数是 _ .（答案）/a= 80（解析）T/1 :/ 2：Z3= 28 : 5 : 3,设/ 1 = 28X，/ 2= 5X，/ 3 =3X，二 28X+ 5X+ 3X= 36X= 180 ，X= 5即/ 1= 140，/ 2 = 25，/ 3= 15/ ABE 和 ADC 是 ABC 分别沿着 AB, AC 翻折 180 形成的，/ABEAADCAABC/ 2=/ ABE / 3 =/ ACD / a =/EBO/BCD= 2/2+

27、2/3=50 +30=80（点评） 此题涉及到了三角形内角和， 外角和定理， 并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题 见“比例”设未知数 X 是比较常用的解题思路.例 7.如图，在 ABCHAADE 中，AB= AC, AD= AE, BD= CE 求证：/ BAD=/ CAE. （答案与解析）AB = AC证明：在厶 ABD 和厶 ACE 中，AD二AEBD =CEABDA ACE（ SSS/ BAD=/ CAE （全等三角形对应角相等）（点评）把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，判定和性质.要证/ BAD=/ CAE 先找出这两个角所在的三角形分别是厶综合应用全等三角形的BDAWACAE 然后证这两个三角形全等同步练习:1、写岀下列命题的逆命题，并判断真假（1）对顶角相等； （2）两直线平行，同位角相等。（