高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质 课件 新人教A版必修2

1、2.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 自自 学学 导导 引引(学生用书学生用书P55) 1.掌握两个平面垂直的性质定理掌握两个平面垂直的性质定理,并会将面面垂直转化为线并会将面面垂直转化为线面垂直来处理面垂直来处理.2.掌握二面角的平面角的作法掌握二面角的平面角的作法,会进行简单二面角的计算会进行简单二面角的计算.3.结合水坝结合水坝 人造地球卫星运行轨道等具体实例再一次体会人造地球卫星运行轨道等具体实例再一次体会数学在日常生活中的广泛应用数学在日常生活中的广泛应用.课课 前前 热热 身身(学生用书学生用书P55) 1.两个平面垂直两个平面垂直,则一个平面内则一个平面内_的直线

2、与另一个的直线与另一个平面垂直平面垂直.2.三个两两垂直的平面的交线三个两两垂直的平面的交线_.垂直于交线垂直于交线两两垂直两两垂直名名 师师 讲讲 解解 (学生用书学生用书P55) 1.两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理性质定理性质定理:若两个平面垂直若两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面直线必垂直于另一个平面.符号表示符号表示:llaaa图形表示图形表示: 应用两个平面垂直的性质定理时应用两个平面垂直的性质定理时,要注意以下三点要注意以下三点:(1)两个平两个平面垂直面垂直;(2)直线必须在一个平面内直线必须在一个平面内;(

3、3)直线必须垂直它们的直线必须垂直它们的交线交线.2.垂直问题相互转化示意图垂直问题相互转化示意图典典 例例 剖剖 析析 (学生用书学生用书P55) 题型一题型一 面面垂直性质的应用面面垂直性质的应用例例1:如图所示如图所示,P是四边形是四边形ABCD所在平面外的一点所在平面外的一点,ABCD是是DAB=60且边长为且边长为a的菱形的菱形.侧面侧面PAD为正三角形为正三角形,其所其所在平面垂直于底面在平面垂直于底面ABCD.(1)若若G为为AD边的中点边的中点,求证求证:BG平面平面PAD;(2)求证求证:ADPB.分析分析:解答本题可先由面面垂直得线面垂直解答本题可先由面面垂直得线面垂直,再

4、进一步得出线再进一步得出线线垂直线垂直.证明证明:(1)连接连接PG,由题知由题知PAD为正三角形为正三角形,G是是AD的中的中点点,PGAD.又平面又平面PAD平面平面ABCD,PG平面平面ABCD,PGBG.又又四边形四边形ABCD是菱形且是菱形且DAB=60.ABD是正三角形是正三角形,BGAD.又又ADPG=G,BG平面平面PAD.(2)由由(1)可知可知BGAD,PGAD.所以所以AD平面平面PBG,所以所以ADPB. 规律技巧规律技巧:应用线面关系的性质定理或判定定理时应用线面关系的性质定理或判定定理时,都要把都要把条件写清楚条件写清楚 凑齐凑齐,才能确保证明准确无误才能确保证明准

5、确无误.变式训练变式训练1:如右图如右图,在在ABC中中,ABC=90,PA平面平面ABC,AFPC于于F,AEPB于于E,求证求证:EFPC.证明证明:PA平面平面ABC,PABC,又又ABBC,BC平面平面PAB,AE 平面平面PAB,AEBC,又又AEPB,且且PBBC=B,AE平面平面PBC,PC 面面PBC,AEPC,又又PCAF,AEAF=A,PC平面平面AEF,PCEF.题型二题型二 线面关系定理的综合应用线面关系定理的综合应用例例2:已知已知:如下图如下图,平面平面PAB平面平面ABC,平面平面PAC平面平面ABC,AE平面平面PBC,E为垂足为垂足.(1)求证求证:PA平面平

6、面ABC;(2)当当E为为PBC的垂心时的垂心时,求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形.分析分析:已知条件已知条件“平面平面PAB平面平面ABC,”,使我们使我们想到面面垂直的性质定理想到面面垂直的性质定理,便有如下证法便有如下证法.证明证明:(1)在平面在平面ABC内取一点内取一点D,作作DFAC于于F.平面平面PAC平面平面ABC,且交线为且交线为AC,DF平面平面PAC.PA 平面平面PAC.DFAP.作作DGAB于于G.同理可证同理可证DGAP.DG DF都在平面都在平面ABC内内,PA平面平面ABC.(2)连结连结BE并延长交并延长交PC于于H.E是是PBC的垂心的垂心,PCBH

7、.又已知又已知AE是平面是平面PBC的垂线的垂线,PCAE.PC平面平面ABE.PCAB.又又PA平面平面ABC.PAAB.AB平面平面PAC.ABAC.即即ABC是直角三角形是直角三角形. 规律技巧规律技巧:(1)已知两个平面垂直时已知两个平面垂直时,过其中一个平面内的一点过其中一个平面内的一点作交线的垂线作交线的垂线,则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面于另一个平面,于是面面垂直转化为线面垂直于是面面垂直转化为线面垂直,由此得到结由此得到结论论:两个相交平面同时垂直于第三个平面两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也则它们的交线也垂直

8、于第三个平面垂直于第三个平面.(2)的关键是要灵活利用的关键是要灵活利用(1)题的结论题的结论.变式训练变式训练2:如图如图,=AB,CD ,CDAB,CE,EF ,FEC=90,求证求证:平面平面EFD平面平面DCE.证明证明:,=AB,CD ,CDAB,CD,EF ,CDEF.又又FEC=90,CEEF.又又CDCE=C,EF平面平面DCE,又又EF 平面平面EFD,平面平面EFD平面平面DCE.题型三题型三 折叠问题折叠问题例例3:如下图如下图,在矩形在矩形ABCD中中,AB=2AD,E是是AB的中点的中点,沿沿DE将将ADE折起折起,(1)如果二面角如果二面角ADEC是直二面角是直二面

9、角,求证求证:AB=AC;(2)如果如果AB=AC,求证求证:平面平面ADE平面平面BCDE.分析分析:(1)已知平面已知平面ADE平面平面BCDE,过过A作作AMDE于于M,则则AM平面平面BCDE.(2)已知已知AB=AC,取取BC中点中点N,连结连结AN,则则ANBC.证明证明:(1)过过A作作AMDE于于M,则则AM平面平面BCDE.又又AD=AE,M是是DE中点中点,取取BC中点中点N,连结连结MN,则则MNBC,BC平面平面AMN,ANBC.又又N是是BC中中点点,ABC为等腰三角形为等腰三角形,AB=AC.(2)取取BC中点中点N,连结连结AN.AB=AC,ANBC.取取DE中点

10、中点M,连结连结MN AM,MNBC.BC平面平面AMN,AMBC.又又M是是DE中点中点,AD=AE,AMDE.又又DE与与BC是相交直线是相交直线,AM平面平面BCDE.又又AM 平面平面ADE,平面平面ADE平面平面BCDE.变式训练变式训练3:把正方形把正方形ABCD沿对角线沿对角线AC折起折起,当以当以A B C D四点为顶点的三棱锥体积最大时四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线直线BD和平面和平面ABC所成角的大小为所成角的大小为( )A.90 B.60C.45D.30解析解析:当三棱锥当三棱锥DABC体积最大时体积最大时,平面平面ABC平面平面ADC,取取AC的中点的中点E,连结连

11、结BE,DE,ADC为等腰直角三角形为等腰直角三角形,DEAC,DE面面ABC,即即DBE为直线为直线BD与平面与平面ABC所成的角所成的角,而而DBE为等腰直角三角形为等腰直角三角形,DBE=45,故选故选C.答案答案:C易错探究易错探究例例4:已知直线已知直线a 平面平面,ab,b.求证求证:a.错解错解:由题设由题设b知直线知直线b与平面与平面有交点有交点,设交点为设交点为Q,过直过直线线a和点和点Q作平面作平面交平面交平面于过点于过点Q的一条直线的一条直线a,则则a (如图所示如图所示)b,ba,又又ab,aa,a ,a,a.错因分析错因分析:在错解中在错解中,应用平面几何中的定理应用

12、平面几何中的定理“同垂直于一条同垂直于一条直线的两条直线平行直线的两条直线平行”,得得aa导致错误导致错误,该定理要求涉及该定理要求涉及的三条直线都在同一平面内的三条直线都在同一平面内,而现在仅有而现在仅有a和和a在平面在平面内内,直线直线b不能保证也在平面不能保证也在平面内内,因而不能满足使用定理的条因而不能满足使用定理的条件件,从而给出了错误的证明从而给出了错误的证明.正解正解:(1)若直线若直线a与与b相交相交(如图如图(1)所示所示).设设ab=P,则由则由a b可确定平面可确定平面,设设=a,则由则由b知知ba,在平面在平面内内,由由ba,ba知知aa.a ,a,a. (2)若若a与

13、与b不相交不相交,如图如图(2)所示所示,在直线在直线b上任取一点上任取一点P,过过P作作直线直线aa(在点在点P和直线和直线a确定的平面内确定的平面内,过点过点P作作aa).ab,ab.同理同理,设过设过a和和b的平面的平面=l,则则al,al,又又a ,l,a.技技 能能 演演 练练(学生用书学生用书P56)基础强化基础强化1.(2006广东广东)给出下列四个命题给出下列四个命题,其中真命题的个数是其中真命题的个数是( )如果一条直线和一个平面平行如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个经过这条直线的平面和这个平面相交平面相交,那么这条直线和交线平行那么这条直线和交线平行.如果

14、一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这那么这条直线垂直于这个平面条直线垂直于这个平面.如果两条直线都平行于一个平面如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线相互平行那么这两条直线相互平行.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面那么这两个平面相互垂直相互垂直. A.4B.3C.2D.1解析解析:为直线和平面平行的性质定理为直线和平面平行的性质定理,所以正确所以正确.为直线与平面垂直的判定定理为直线与平面垂直的判定定理,所以正确所以正确.不正确不正确.平行于同一平面的两条直线相交平行于同一平面

15、的两条直线相交 平行平行 异面都有可能异面都有可能.为两个平面垂直的判定定理为两个平面垂直的判定定理,所以正确所以正确.答案答案:B2.用用表示一个平面表示一个平面,l表示一条直线表示一条直线,则平面则平面内至少有一条直内至少有一条直线与线与l( )A.平行平行B.相交相交C.异面异面D.垂直垂直解析解析:排除法排除法.当当l与与相交时相交时,A不成立不成立,当当l时时,B不成立不成立,当当l 时时,C不成立不成立.因此排除因此排除A B C,故故D正确正确.答案答案:D4.设平面设平面平面平面,在平面在平面内的一条直线内的一条直线a垂直于平面垂直于平面内的内的一条直线一条直线b,则则( )A

16、.直线直线a必垂直于平面必垂直于平面B.直线直线b必垂直于平面必垂直于平面C.直线直线a不一定垂直于平面不一定垂直于平面D.过过a的平面与过的平面与过b的平面垂直的平面垂直答案答案:C5.在正四面体在正四面体P-ABC中中,D,E,F分别是分别是AB,BC,CA的中点的中点,下面下面四个结论中不成立的是四个结论中不成立的是( )A.BC平面平面PDFB.DF平面平面PAEC.平面平面PDF平面平面ABCD.平面平面PAE平面平面ABC解析解析:如图所示如图所示:(1)DFBC,DF 平面平面PDF,BC 平面平面PDF,BC平面平面PDF.故故A成立成立;(2)BCPE,BCAE,BC平面平面

17、PAE,又又DFBC,DF平面平面PAE,故故B成立成立;(3)由由(2)知知,平面平面PAE平面平面ABC,故故D成立成立.综上知综上知,不成立的应是不成立的应是C.答案答案:C6.(2008四川四川)已知平面已知平面平面平面,=l.点点A,A l,直线直线ABl,直线直线ACl.直线直线m,m.则下列四种则下列四种位置关系中位置关系中,不一定成立的是不一定成立的是( )A.ABmB.ACmC.ABD.AC解析解析:m,m,ml.ABl,ABm.ACl,ACm.ABl,l ,AB ,AB.综上知综上知,A B C成立成立,故选故选D.答案答案:D7.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中

18、中,平面平面ACD1与平面与平面BB1D1D的位置关系是的位置关系是_.解析解析:由底面由底面ABCD是正方形知是正方形知,ACBD,又又ACBB1,AC平面平面BB1D1D,又又AC在平面在平面ACD1内内,平平面面ACD1平面平面BB1D1D.垂直垂直8.如图如图,已知点已知点M是菱形是菱形ABCD所在平面外的一点所在平面外的一点,且且MA=MC,求证求证:AC平面平面BDM.分析分析:要证要证AC平面平面BDM,只要证明只要证明AC垂直于平面垂直于平面BDM内的内的两条相交直线两条相交直线.证明证明:连结连结BD,AC,设设BDAC=O,连结连结MO,能力提升能力提升9.已知已知:如右图

19、如右图,平面平面平面平面,=l,在在l上取线段上取线段AB=4,AC BD分别在平面分别在平面和平面和平面内内,且且ACAB,DBAB,AC=3,BD=12,求求CD长长.解解:连结连结BC.ACAB,AC,ACBD.BDAB,BD,BDBC.CBD是直角三角形是直角三角形.在在RtBAC中中,在在RtCBD中中,.CD长为长为13. 2222345BCACAB2251213CD 10.如图如图,S是是ABC所在平面外一点所在平面外一点,SA平面平面ABC,平面平面SAB平面平面SBC.求证求证:ABBC.证明证明:如右图如右图,作作AESB于于E,平面平面SAB平面平面SBC,AE平面平面SBC,AEBC,SA平面平面ABC,SABC又又SAAE=A,BC平面平面SAB,ABBC.品品 味味 高高 考考(学生用书学生用书P57)11.(2009山东山东)如图如图,在直四棱柱在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中中,底面底面ABCD为等腰梯为等腰梯形形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,A