人教版数学必修一-第二章-2.3幂函数1

1、;1.xaybNa我们建立了指数函数的变化而变化，随一定，如果我们知道：我们知道：Nab函数的完美追求。我们建立了对数函数：的变化而变化，随一定，如果xyNbaalog. 2设想：设想：bNa如果 一定， 随 的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？我们先来看看几个具体的问题我们先来看看几个具体的问题: (1)如果张红买了每千克如果张红买了每千克1元的蔬菜元的蔬菜W千克千克,那么她需要支那么她需要支 付付 _P=W 元元(2)如果正方形的边长为如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积那么正方形的面积_(3)如果立方体的边长为如果立方体的边长为a,那么立方体的体积那么立方体的体积_ (4)

2、 如果一个正方形场地的面积为如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的，那么这个正方形的边长边长p是是w的函数的函数S=a S 是是a的函数的函数V=a V是是a的函数的函数V=t km/s V是是t 的函数的函数一 引入 (5)如果某人如果某人 t s内骑车行进内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度那么他骑车的平均速度a是是s的函数的函数a=s1/2 若将它们的自变量全部用若将它们的自变量全部用x来表示来表示,函数值用函数值用y来表来表示示,则它们的函数关系式将是则它们的函数关系式将是:xy xy2xy3xy21xy1以上问题中的函数有什么共同特征？以上问题中的函数有什么共同特征？（1

3、）都是函数；）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；）指数为常数；（4）自变量前的系数为）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为）幂前的系数也为1。 上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。(1)y=x (2)y=x2 (3)y=x3(4)y=x1/2(5)y=x-11.幂函数的定义：幂函数的定义： 形如形如 y = xa 的函数叫做幂函数，的函数叫做幂函数，其中其中 a 是常数且是常数且 a R 。2.幂函数的定义域：幂函数的定义域：是使是使 x a 有意义有意义的实数的集合。的实数的集合。随随a的不同而不同。的不同而不同。 理论理论 式子式

4、子 名称名称 a(常数）常数）X(自变量自变量)Y(函数值函数值) 指数函数函数: y=a x 幂函数幂函数: y= x a 底数底数指数指数指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数看看未知数x是是指数指数还是还是底数底数幂函数幂函数函数函数1.判断下列判断下列函数是否为幂函数函数是否为幂函数.(1) y=x4 xy2-)2(3) y= -x2 21)4(xy (5) y=2x2 (6) y=x3+2 练习练习2.若若幂函数幂函数y=f(x)的图像过点的图像过点则函数的解析式为则函数的解析式为

5、），（22221)( xxf例例1如果函数如果函数 是幂函数，是幂函数，且在区间（且在区间（0，+）内是减函数，求满足条件的）内是减函数，求满足条件的实数实数m的集合。的集合。32221mmxmmxf)()(解解:依题意依题意,得得112mm解方程解方程,得得 m=2或或m=-1检验检验:当当 m=2时时,函数为函数为3)( xxf符合题意符合题意.当当m=-1时时,函数为函数为1)(0 xxf不合题意不合题意,舍去舍去.所以所以m=2下面研究幂函数下面研究幂函数.ayx在同一平面直角坐标系内作出这在同一平面直角坐标系内作出这六个幂函数的图象六个幂函数的图象.结合图象，研究性质：定义域、值域、

6、结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。单调性、奇偶性、过定点的情况等。y=x0研究研究 y=x2yx3yx12yx1yx x-3-2-10123-3-2-101239410149-27-8-10182701-1/3-1/2-111/21/32yx3yx12yx1yxy=xy=x2yx2yx3yx12yx1yx3y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-1,-1)(1,1) x-3 -2 -1 0 1 2 3y=x29410 1 4 94321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(

7、-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1) x-3-2 -1 0 1 2 3y=x3-27 -8 -1 0 1 8 274321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1) x 0 1 2 4 0 1 212yx24321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=

8、x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-1 1 23-1/3-1/2 -1 1 1/2 1/31y x4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0 函数函数性质性质 y=xy=x2y=x3y=x-1定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性公共点公共点幂函数的性质幂函数的

9、性质21xy 理论理论RRR0,+)0,+)0,+)增增0,+)(0,+)减减(-，0减减(-，0)减减RR奇奇奇奇奇奇增增增增增增偶偶非奇非偶非奇非偶x|x0y|y0(1,1)例题：例题：幂函数幂函数 (1)幂函数的幂函数的图象都通过点图象都通过点(2) 如果如果， 在在 区间区间0,+)上是上是 如果如果a， 在区间在区间(0,+)上是上是 当当为偶数时，为偶数时， 幂函数为幂函数为探究：幂函数的性质探究：幂函数的性质增函数增函数减函数减函数(3) 当当为奇数时，为奇数时， 幂函数为幂函数为奇函数奇函数偶函数偶函数；(1,1)练习练习3: 如图所示，曲线是幂函数如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象在第一象限内的图象，已知限内的图象，已知 k分别取分别取 四个四个值，则相应图象依次为值，则相应图象依次为:_ 11,1, 22一般地，幂函数的图象在直线一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，的右侧，大指数在上，小指数在下，在在Y轴与直线轴与直线x =1之间正好相反。之间正好相反。 C4C2C3C11例例1 证明幂函数证明幂函数 在在0,+)上是增函数上是增函数xxf )( 举例举例例例2比较下列各组数的大小；比较下列各组数的大小；5141878725255 3 391 8 213 3 1.)()()(.)(和和和 举例举例例例2、 x