2020江西单招数学模拟试题

1、2020年江西单招数学模拟试题1 .若四个募函数 y=xa, y=x b, y=x c, y=x d在同一坐标系中的图象如图，则 a、b、c、d的大小关系是（）A. d >c>b >a B. a >b >c>d C. d >c>a >b D. a>b>d>c【考点】募函数的性质；不等式比较大小.【分析】记住哥函数 a=2 , a= a= - 1 , a=-；的图象，容易推出结果.【解答】解：哥函数a=2 , b=2，c= - d= - 1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x=1的右侧部分的图象，图象由下至上

2、，塞指数增大，所以a>b>c>d.故选B.l+2i-,=0的复数z的共轲复数工对应1 + 1a* b2 .定义运算二ad-be,则符合条件1.4 d1 - L的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的基本概念.【分析】首先根据题意设出复数乙再结合题中的新定义得到一个等式，然后求出复数 Z的共轲复数进而得到答案.【解答】解：设复数 Z=a+bi由题意可得：定义运算=ad- be,：c, dm、，工，1 + 211所以=Z (1+i ) ( 1+2i ) (1 i) =0 ,1+i代入整理可得：(a-b) + (a+b ) i=3+i ,解得：a=2

3、 , b= - 1,所以Z=2 - i,所以;=2+i ,所以复数z的共轲复数7对应的点在第一象限.故选A.3京包，<13.已知函数f (x) =1(、 ，若f (xo) >3,则xo的取值范围是()目” ；A. xo>8 B. OvxoWI 或 xo>8C. 0<xo<8 D. - 1 vxov0 或 0vxo <8【考点】分段函数的应用.【分析】根据题意，讨论 xo<1和xo>1时，求出f (xo) >3时xo的取值范围即可.【解答】解：:函数f (x) =1、1t ，且f (xo) >3,lo §2 K 工AL当

4、 xowi 时，3孙* >3,解得 xo>O,即 OvxoWl ；当 xo > 1 时，log 2xo> 3 ,解得xo>8;综上，xo的取值范围是OvxoWI或xo>8.故选：B.4.平面a外有两条直线 m和n,如果m和n在平面a内的射影分别是 m '和n ',给出下列四个命题： m ' ± ? m ± n ;m ± n? m ' _n 'm '与'相交m与n相交或重合；m '与平彳子m与n平行或重合.其中不正确的命题个数是（）A. 1B. 2C. 3 D. 4【

5、考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察具体的正方体判断， 即可得答案.【解答】解：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察如图的正方体：.ACLBD但AiC, BDi不垂直，故错；AiBABi但在底面上的射影都是 AB故错；.AC, BD相交，但AiC, BD异面，故错；.AB /CD但AiB, CiD异面，故错故选DCi5 .一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了 5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了 5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有()只蜜蜂.A. 55986 B. 46656

6、 C. 216 D. 36【考点】归纳推理.【分析】根据题意，第 n天蜂巢中的蜜蜂数量为 an,则数列an成等比数列.根据等比数列的通项公式，可以算出第 6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有66=46656只蜜蜂.【解答】解：设第 n天蜂巢中的蜜蜂数量为 an,根据题意得数列an成等比数列，它的首项为6 ,公比q=6所以an的通项公式：an=6?6n一1到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有 a6=6 ?65=6 6=46656 只蜜蜂.故选B6 .已知正整数a , b满足4a+b=30 ,使得工+取最小值时，则实数对(a, b)是()a bA. (5, 10) B. (6, 6) C.

7、(10, 5) D, (7, 2)【考点】基本不等式.【分析】利用4a+b=30 与1+3相乘，展开利用均值不等式求解即可. a b【解答】解：二正数 a, b满足4a+b=30 ,.1 1 11L二十r而(4a+b)+胃1_ b 4a 3=30(4+1+ a+ b", , , b 4a ,一，当且仅当一二一二，即当a=5 , b=10时等号成立.a b7 COS 20 ?cosio。+加$访10 tan70 ° -2cos40 =()sin200A. y-B. C. 2 D.豆222【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】由诱导公式和两角和与差的三角函数可得原式一8战0

8、。23门(10" +30")811120"2cos40 0 ,再由二倍角公式化简可得.【解答】解：原式ccs20"Vssinl00 sin700im +. ,h-2cos40+ 3 g丁""：.二二2-2cos40sin20-2cos40ss20*+301)-2cos40-2cos40心口名20。 *4sirL200 ccds20" sin20°=4cos 220° -2 (2cos 220 ° T) =2故选：C8.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外

9、阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A. 0.6小日B. 0.9小时 C, 1.0小时 D. 1.5小时【考点】频率分布直方图.根据样本的条形图可知，将所有人的学习时间进行求和，再除以总人数即可.解:5 x 0+20 x 0. 5+1 x 10+L 5 X 10+2 x E 455050=0.9 ,故选B.2, 3, 4, 5 中,随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（16 c 18 c 125 C' 125 D'19125【考点】排列、组合的实际应用；等可能事件的概率.【分

10、析】首先计算从 5个数字中随机抽取3个数字的总情况数目，再分情况讨论其中各位数字之和等于9的三位数，计算其可能的情况数目，由古典概型的计算公式，计算可得答 案.【解答】解：从1, 2, 3, 4, 5中，随机抽取3个数字（允许重复），可以组成5X5X5=125个不同的三位数, 其中各位数字之和等于 9的三位数可分为以下情形:3, 5三个数字组成的三位数:135 , 153 , 315 , 351 , 513 , 531 共 6 个;4, 4三个数字组成的三位数:144 , 414 , 441 ,共 3 个;同理由2,3, 4三个数字可以组成6个不同的三位数;由2,2, 5三个数字可以组成 3个

11、不同的三位数;由3,3, 3三个数字可以组成 1个三位数，即333 .故满足条件的三位数共有6+3+6+3+1=19,所求的概率为10 .计算J j JUdx的结果是（）A. 4 Tt B.2tt C.兀 D. u【考点】定积分.【分析】根据积分所表示的几何意义是以（0, 0）为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可.【解答】解： ，乐二乂 2二表示的几何意义是以（0, 0）为圆心，2为半径第一象限内 圆弧与坐标轴围成的面积一V42 onj2211 .斜率为 掾的直线1与椭圆 片+'=lQ>b>0）交于不同的两点，且这两个交点在x轴

12、上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（A 返 B 工C D1A2B'2C' 3 ' 32a2b2,求得关于【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘 £的方程求得e.【解答】解：两个交点横坐标是-c, c所以两个交点分别为(-c, - c) (c, c)11c2 c2代入椭圆=1a2 2bz两边乘2a2b2 则 c2 (2b2+a2) =2a 2b2- b2=a 2 _ c2c2 (3a2-2c2) =2aA4 - 2a2c22aA4 - 5a 2c2+2cA4=0(2a2-

13、c2) (a2- 2c2) =0弓二2 ,或Ia乙,0< e< 1所以e='=a 2故选A12 . 一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图,【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）A. B. 2 兀C.3 D, 3【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径，代入锥体体积公式，可得答案.【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线 1=小正=2加，圆锥的高hW 1=2 ,圆锥底面半径为r=寸4=2 ,11sir故圆锥的体积为：V= ySh= Q冗X 4然2=一,故选：C.二、填空题：本大题共 4小题.每小题5分，满分20分.13 .实数x、y满足不等式组

14、工-，则m=J的取值范围为一=-x+13- y - 2=C0【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，y - 3，一、，一 »一m= 一1的几何意义，为区域内的点到定点由图象可知OD的斜率最小，AD的斜率最大,由 |2，一¥一2二。得 | 产 2'即 A(2' 2),3-2则OD的斜率k= -3, AD的斜率k= -77-77故-3<m w -卷 j故答案为：丸 7 /F214 .如果执行卜面的程序框图，那么输出的Jm的几何意义为两点的斜率进行求解即可.D ( - 1 , 3)的斜率，_

15、1二 1 一23，441【考点】程序框图.【分析】先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后 s的值找出规律，从而得出所求.【解答】解：根据题意可知该循环体运行21次第一次：s=1 ,第二次：s=1+3 ,第三次：s=1+3+5. S=1+3+5+39+41=441故答案为：441 .15.对正整数n,设抛物线y2=2 (2n+1 ) x，过P (2n , 0)任作直线l交抛物线于 An, OA,'OBn ，一口Bn两点，则数列 f- JI的刖n项和公式是一n (n+1 ).1 2(n+l)【考点】数列的求和；直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】设An (xn1, yn1),

16、 B (xn2 , yn2),直线方程为x=ty+2n ，代入抛物线方程得 y2 -2 (2n+1 ) ty - 4n (2n+1 ) =0 ,求出的表达式，然后利用韦达定理代入得» Zk -OBoa -OBOAn-OB = -4n2-4n,故可得 现 三-2n，据此可得数列的前n项门 r2(n+l)l2(nH)J和.【解答】解：设直线方程为x=ty+2n ，代入抛物线方程得 y2 - 2 (2n+1 ) ty - 4n (2n+1 )设 An(Xn1 , yn1 ) , B(Xn2 , yn2 ),贝近二 乂门1上修 + 产口2 二(t2 + l)ynlFn2+2nt(rz + V

17、nP+4n用韦达定理代入得 西瓯二-4ni+l)(t2+l)+4n(2n+l)t。酎2=-4n2 一红,OAn-OB2(n+l)左一2n,一 口 立二殖故数歹U fZd的前n项和一n (n+1 ),l2(n+l)故答案为-n (n+1 ).16 .对下面四个命题：若 A、B、U 为集合，A? U, B? U, AAB=A ,则？ uA? uB;1二项式(2x - -分)6的展开式中，其常数项是240 ;对直线 I、m ,平面 a、3 若 l/a, I/3, aA 3=m ,则 l/m ;函数y= (x+1 ) 2+1 , (x>0)与函数y= - 1+- 1, (x>1)互为反函数

18、.其中正确命题的序号是.【考点】命题的真假判断与应用.【分析】画图判断错误；由二项式的通项求出常数项说明正确；直接证明正确；求出函数的反函数说明错误.【解答】解：对于，如图,若 A、B、U 为集合，A?U, B?U, AAB=A ,则？ uB? uA,错误;二项式(2x - -) 6的展开式中，由X戈式油6一工式一宏)工=(-1)126-工党箕6-亚由 6 3r=0 ,得 r=2 .其常数项是(-1产2配制40,正确；对直线 1、m ,平面 a、3 若 l/a, l/3, an 3=m ,如图，过1分别作平面M , N交3 a于c, d,由线面平行的性质得 c/d,则c/a,再由线面平行的性质

19、得c/m,由平行公理可得1 /m ,正确；对于，由 y= (x+1 ) 2+1 , (xR),得 x= - 1+ 个号一1, (y>2),x 与 y 互换得:y= - 1+ yxl, ( x >2).，函数 y= (x+1 ) 2+1 , (x>0)的反函数为 y= - 1 +(x>2),错误.正确的命题是.故答案为：.、解答题：本大题共 5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.17 .已知 O 为坐标原点，币=(2asin 2x,a),在二(1 , - 2&sinxcosx+1 ), f (z) = 0A* OB+b (a v b 且 aw

20、0).(1)求y=f (x)的单调递增区间；(2)若f (x)的定义域为:，兀值域2 , 5,求a, b的值.【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性.【分析】(1 )利用向量的数量积运算、两角和的正弦公式、正弦函数的单调性并对a分类讨论即可得出;(2)利用正弦函数的单调性和对a分类讨论即可得出.【解答】解：(1) f(x) = OA*OB4-b= 2asi 2/3asinxcosx+a+b=: 1一，2.二二匕工工+a+b=-2a ('-sin2x - cos2 + + +2a+b 乙u=一二士二：二工：一i -11.6当a>0时，由2kn +it3

21、 Jr2"+<2k兀+十,，(kEw),得y=f (x)的单调递增区间为叱吟叱呼,(k3当 av 0 时，2kn -2k+2kTT+-, (kCz),得y=f (x)的单调递增区间knk兀36,(kEw). # 7TTT(2) f(x) = " 2asin(2x4'-)+2a+b,算£ 亏,兀 ViU7H 13 兀,sin(2当a>0时,2a+2a+b=5,今 1 n l ,解得-2a-yj-2a+b=2Iu2a+2a+b=23=1何，不满足a<b'舍去.当av 0时，'-2a-1d-2a+b=5,解得综上：a= - 1

22、, b=6 .18.四棱锥PABCD中，PB，底面 ABCD , CD ± PD .底面ABCD为直角梯形，AD /BC,AB ±BC, AB=AD=PB=3 ,点 E在棱 PA 上，且 PE=2EA .(I )求异面直线 PA与CD所成的角；(n)求证：PC/平面EBD;(出)求二面角 A- BE-D的大小.(用反三角函数表示).【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定.【分析】(1)以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立如图所示的直角坐标系B - xyz ,利用向量法能求出异面直线CD与AP所成的角.(2)连结 AC交BD于

23、G,连结EG,由已知得 PC /EG,由此能证明 PC/平面EBD .(3)求出平面BED的法向量和平面 ABE的法向量，利用向量法能求出二面角A - BE- D的大小.【解答】(本小题满分12分)(1)解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立如图所示的直角坐标系B - xyz .设 BC=a，贝U A (0 , 3 , 0), P (0, 0, 3),D (3, 3, 0), C (0, a, 0),CE= (3, 3- a, 0),西二 3, -3),.CDXPD, .,.CD*PD=C,即 3 (3 a) +9=0 . ，a=6 . CD二(一3, 3, 0), PA=(

24、0, 3,.-cos<PA* CD>-CD-PA同| 面I工Mx蜒F，异面直线CD与AP所成的角为60(2)证明：连结AC交BD于G,连结EG.GC BC 2 乂耳丁GC EP. PC/EG又EG?平面EBD, PC?平面EBD,.PC /平面 EBD (3)解：设平面BED的法向量为7=(x,V, z),翡(0, 2, 1),面5=(3, 3, 0),2y+l =。+3广。所比1：-21于是.却1吗,常，工)又因为平面ABE的法向量n二(1,0, Q),所以，二面角 A - BE - D的大小为arb19.当n为正整数时，区间In= (n, n+1 ), an表示函数f (x)

25、=4Lx3- x在In上函数值取 Q整数值的个数，当 n>1时，记bn=a n - an i.当x>0, g (x)表示把x "四舍五入"到个 位的近似值，如 g (0.48 ) =0 , g (近)=1 , g (2.76 ) =3 , g (4) =4 ,，当n为正整 数时，cn表示满足g (#) =n的正整数k的个数.(I )求 b2, C2 ；(n )求证：n > 1 时，b n=c n ;，、，一Il+ 一士 一 、，、一(出) 当n为正整数时，集合 Mn= |g (&)=n , k C N +中所有兀素之和为 Sn,记2Tn= (2n+

26、2n) Sn,求证：T1+T2+T3+ +TnV3.【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】(I)求出f (x)的导数，根据函数的单调性分别计算出，ai, a2,从而计算出b2,C2即可；(n)根据 f (x)递增，得到 f (n) < f (x) < f (n+1 ),分别计算出 bn=a n - an 1=2n , cn=2n ,从而证出结论；(出)通过数列求和求出Tn的表达式，n=1 , 2, 3,，作和T1+T2+T3+Tn,放缩法证明即可.【解答】解：(I ) f (x) =x 2 - 1= (x+1 ) (x1 ),当 xC (1, 2), f (x) >0,

27、f (x)为增函数，f (1);一卷<f (冥)< f (2)搂,总1=1 . JJ同理xC ( 2, 3)时，f (x) >0, f (x)为增函数，式2)二1<仪公<£(3)二 E, - a2=5 ,，b2=a2 a1=4 又.(2表示满足的正整数k的个数.得 <五<|, 3<k<享k=3 , 4, 5, 6 -02=4 .(n)当n为正整数，且n > 1 ,xC (n, n+1 )时，f(工)二卷J 一工为增函数， J .f ( n) < f (x) < f ( n+1 ),f (n+l) - f (n)=

28、n2+n -1-.an=n2+n - 1 J.an-产(n - 1 ) *+(门 - 1) - 1, bn=a n - an i=2n .又©表示满足 式小)二r:的正整数k的个数，门2 - n+-<k<n2+n+-,. .k=n 2 - n+1 , n2 - n+2 , n2 - n+3，n2+n ,共 2n 个. .Cn=2n ,，bn=Cn (m)由(n)知：Ft- g(VP=n kEN'2_ f _1-,1,1，I-)=rn ' + .匚 n+二匚 n-1n -U占乙乙，：2 -2 " -r i1二，- . - .，- 一n门nz -nt

29、l nz-n+2 严工一时,uuu-1如? +1 i- cb Qn - n+1Z=:1224n - 1i1=,二 2 * 2n* +2n(n 1) 2q(n+1)2乙 .Tl+T 2+T3+ +Tn2(一2022）+十一方叱224)+(2)2n)+(.-)(n- I)2n &14-1) 22乙=一二20 212”2°20.设双曲线13的两个焦点分别为Fi、F2,离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线|1、l2的方程;（n）若A、B分别为11、12上的点，且21AB|=5|FiF2|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;（出）过点N （1, 0）能否作出直线1,

30、使1与双曲线交于 P、Q两点，且而?i前二0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【考点】双曲线的简单性质.【分析】（I）运用离心率公式和 a, b, c的关系，解方程可得a=1 ,进而得到双曲线方程；（n）设A（X1, y 1）, B（X2, y2）,运用代入法，由中点坐标公式和两点的距离公式，即可得到中点的轨迹方程和轨迹；（出）假设存在满足条件的直线l.设l: y=k （x-1）, l与双曲线交于 P（X1, y1）、Q（X2,y2）,联立直线方程和双曲线方程，消去y,得到x的方程，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标公式，即可判断.【解答】解：（I）e=2 , .c2=4a 2

31、,. c2=a 2+3 , . .a=1 , c=2 ,.双曲线方程为y2 -之二,渐近线方程为 厂士尊I 33y),(n)设 A (xi, yi), B (x2, y2), AB 的中点 M (x,. .2|AB|=5|F 1F2|ab 奇 Iff?X 2c=10,水盯一 K, 函-Vs _ V3y2)2=lC,篁 j., 2x=x i+x 2, 2y=y i+y 2、/t），-【巧 + 功），J V5(Vi+¥z) 序2(町+ K2)二 1。， 3期隹号)2=100,即75则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为io衣，短轴长为工邛3的椭圆.-1（出）假设存在满足条件的直线

32、1.设l: y=k （x-1）, l与双曲线交于P (xi, yi )、Q (x2, y2),赤?铳二0 ， xix2+y iy2=0 ,2+k2(x1-l)tx2_l)=0,I K2+k21工2 一（打+工2）+1二0,'尸 k(K- 1)2 J =(3/-1) J-6k%+3k2-Q0, 7 6k?3/ 31 2 3kI 3k2 - 1.*2+3=0，k不存在，即不存在?t足条件的直线l.21 .已知函数f (x) =ln (ex+a) (a为常数)为实数集 R上的奇函数，函数 g (x)=#(x) +sinx 是区间-1, 1上的减函数.(1)求a的值;(2)若g (x) wt2

33、+入t+1在xC -1 , 1及入所在的取值范围上恒成立，求 t的取值范围;(3)讨论关于x的方程Inx 2 时工直2ex+rr的根的个数.【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题.【分析】(1)因为定义域是实数集R,直接利用奇函数定义域内有0,则f(- 0) = -f (0)即f (0) =0 ,即可求a的值；(2)先利用函数g (x)的导函数g' (x)=入+cosx <0在T, 1上恒成立，求出 第J取值 范围以及得到g (x)的最大值g ( - 1) = - 1 - sin1 ;然后把g (x) <t2+入t+1在x - 1 , 1上恒成立

34、转化为- 入-sin1 42+注+1 (入w-1),整理得(t+1 )入+t2+sin1+1 >0 (入w -1)恒成立，再利用一次函数的思想方法求解即可.1 nx1 n y(3)先把方程转化为 =x 2 - 2ex+m，令 F (x) =(x>0),G (x)=x2-2ex+m (xXX>0),再利用导函数分别求出两个函数的单调区间，进而得到两个函数的最值，比较其最值即可得出结论.【解答】解：(1)因为函数f (x) =ln (ex+a) (a为常数)是实数集 R上的奇函数,所以 f ( 0) = -f (0)即 f (0) =0 ,则 ln (e0+a) =0 解得 a=

35、0 , a=0时，f (x) =x是实数集R上的奇函数;(2)由(1)得 f (x) =x 所以 g (x) = ?x+sinx , g' (x)=入+cosx ,因为g (x) 在-1, 1上单调递减，g' (x)=入+cosx W0 在-1 ,1上恒成立,' ''入W 1 5 g (x ) max =g ( T )=一入一sin1 ,只需一入一sin1 <t2+ 入t+1 (入w 1),(t+1 )入+t2+sin1+1 >0 (入w T)恒成立,令 h ( X) = (t+1 ) +t，sin1+1 (入w 1)则.rt+i<o一

36、八2、，解得t W 1hi. - 1)= - t - 1+t 2+sinl+l>0(3)由(1)得 f (x) =x，方程转化为 "工=x 2 - 2ex+m，令 F (x) =(x>0) , G ( x) =x 21 - Inx1 - Inx. F' (x) =2，令 F' (x) =0 ,即J=0 ,得 x=e当 xC (0, e)时，F' (x) >0, .F (x)在(0, e)上为增函数；当 xC ( e, +8)时，F' (x) < 0, F (x)在(e, +8)上为减函数；当 x=e 时，F (x) max=F

37、(e) = e而 G (x) = (x-e) 2+m - e2(x>0)2ex+m (x>0), .G (x)在(0, e)上为减函数，在(e, +8)上为增函数;当 x=e 时， G (x) min =m - e2，当m-e2>,，即m>e2+工时，方程无解；ee当m - e2=工，即m=e2+ 工时，方程有一个根； e已当m - e2工，即m < e2+工时，方程有两个根;请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选彳4-1 :几何证明选讲22 .如图，在等腰梯形 ABCD中，AD /BC , AB