几何体内切球与外接球全解

1、专题：与球有关的内切与外接问题1 该类问题命题背景宽，常以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接形式考查，多以选择、填空题的形式出现，试题较容易切接问题切接问题 解析 如图，设O为截面圆的圆心，设球的半径为R，则OMR2，又OMO45，OO24R.在RtOOB中，OB2OO2OB2，R2R2874，R22，S球4R28.答案 8练习:一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法2 构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、B、D是棱长为 的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体的外接

2、球，此时球的直径为 ，23选A8如图1所示，正方体,设正方体的棱长为，为棱的中点， 为球的球心。常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.练习：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比 .33:22:1ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O14例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A B CD 长方体各顶点可在一个球面上，故长

3、方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径1. 已知长方体的长、宽、高分别是已知长方体的长、宽、高分别是 、 、1 ，求长方体，求长方体的外接球的体积。的外接球的体积。35A1AC1CO变题：变题：2. 已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四点，且四点，且PA、PB、PC两两两两互相垂直，若互相垂直，若PA=3,PB=4,PC=5，求这个球的表面积和体积。，求这个球的表面积和体积。沿对角面截得：沿对角面截得：ACBPO O18( (2)(20142)(201

4、4银川模拟银川模拟) )长方体的三个相邻面的面积分别长方体的三个相邻面的面积分别为为2,3,6,2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上这个长方体的顶点都在同一个球面上, ,则这个则这个球的表面积为球的表面积为( () )A.A. B.56 B.56 C.14 D.64C.14 D.6472(2)(2)选选C.C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a a，b b，c c，则，则 得得 令球的半径为令球的半径为R R，则，则(2R)(2R)2 22 22 21 12 23 32 21414，所以所以 所以所以S S球球4R4R2 214.14.ab 2b

5、c 3ac 6，a2b 1c 3，27R2 ，例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( ) A.3(10) B.4C.3(8)D.3(7)审题视点 听课记录【解析】由题设条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,根据对称性可知,外接球的球心为上、下两底中心O1、O2连线的中点O,如图所示:在RtAO1O中,AO1=,OO1=,OA2=R2=()2+()2=,15.正三角形ABC的边长为2,将它沿高AD翻折,使点B与点C间的距离为,此时四面体ABCD的外接球的体积为.、三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，则这个球的表面积

6、为 64 在三棱锥中，,，则三棱锥外接球的表面积 . 3520205655, 2,9040111、则该球的表面积为，的侧棱长为侧棱垂直于底面上的直三棱柱各顶点均在同一个球面DCBAACABCCBAABC例题:一个四面体的所有的棱都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（ ）A 3B 43 3C D 62C 解：设四面体为ABCD， 为其外接球心。1O 球半径为R，O为A在平面BCD上的射影，M为CD的中点。连结B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223() ,43 .323RRRR球解得所以SAOBDA1OMR

7、37OBDA1OMR因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为。此时， 则有解得：这个解法是通过利用两心合一的思路：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法40 例例1四棱锥四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为的底面边长和各侧棱长都为 ，点，点S，A，B，C，D都在同一个球

8、面上，则该球的体积为都在同一个球面上，则该球的体积为_解析如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线 SE 上找到一个点O 使得 OAOS， 则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上在 RtSEA 中，SA 2，AE1，故 SE1.设球的半径为 r，则 OAOSr，OE1r.在 RtOAE 中，r2(1r)21，解得 r1，即点 O 为球心，故这个球的体积是43.2则这个球的表面积，体积最大值为若四面体在同一个球面上，、点3,3ABCDCABCABDCBA2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一