2017-2018学年高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学案

1、21.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学习目标1.理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义及计算公式.2. 了解球、圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式.戸预习导学预习导学聾挑战自我点点落实_知识链接1. 棱柱的侧面形状是平行四边形；棱锥的侧面是三角形；棱台的侧面形状是梯形 _L2. 圆柱、圆锥、圆台的底面形状是圆.123.三角形的面积S= qah（其中a为底，h为高），圆的面积S=nr2（其中r为半径）.预习导引柱体、锥体、台体、球的表面积几何体表面积公式圆柱S= 2nr（r+1）（其中r为底面半径，1为母线长）圆锥S=nr（r+l）（其中r为底面半径，l为母线长）圆台S=n（r2+r

2、2+r1+rl）（其中rr分别为上、下底面半径，1为母线长）球S= 4n氏（其中R为球的半径）戸课堂进义戸课堂进义全 車点难点.亍平击破_要点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积例 1 已知正四棱锥底面边长为 4，高与斜高夹角为 30,求它的侧面积和表面积 .解 如图所示，设正四棱锥的高为PO斜高为PE底面边心距为0E它们组成一个直角三角形POE4/OE=2=2,ZOPE=30OE2PE= =4.sin 3012S正四棱锥侧=ch=2X（4X4）X4=32,2S表面积=48.即该正四棱锥的侧面积是32,表面积是 48.规律方法1.要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体

3、的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量2.空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成.跟踪演练 1 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，求其表面积解由主视图知三棱柱的高h= 1，底面三角形边长为2，故S侧=3X2X1=6，S底=2X2 X =2 3，S表=S侧+S底=6 + 2 3.几何体的表面积为 6+ 2、.;3要点二空间几何体的表面积例 2 如图所示，已知直角梯形ABCD BC/ AD/ABC=90，AB=5 cm，BC= 16 cm，AD=4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积解 以AB所在直线为轴旋转一周

4、所得几何体是圆台，其上底半径是 4 cm 下底半径是 16 cm,母线DC=52+142= 13(cm).2 2 2该几何体的表面积为n(4 + 16)X13+n X4+n X16 = 532n(cm ).规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.跟踪演练 2 在题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.3解 以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的

5、高为 16-4= 12(cm)，圆柱的母线长为AD=4 cm，故该几何体的表面积为42 22n X5X4+ nX5 +nX5X13=130n(cm).要点三球的表面积例 3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图,2r2=2a,r2=-a,所以S2= 4nr2= 2n al所以SB= 4nr3= 3n al综上可得 S ： S2:SB=1 :

6、 2 : 3.规律方法1.在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体, 长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解跟踪演练 3 已知H是球0的直径AB上一点，AH：HB=1 : 2,ABL平面a,H为垂足，a截球0所得截面的面积为n，则球0的表面积为 _ .9答案|n(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有 23= 3心作截面，如图，所以有2na2512RHA=32R=3尺二OH3.截面面积为n=n(H*, HM= 1.在 R

7、tHMOP,OM=oH+ HM，R2=IR2+HM=9F2+1,戸当堂检测当堂检测/ /当堂训练.休验成功_1.已知两个球的半径之比为1 : 2,则这两个球的表面积之比为（）A.1:2C.1 : 6答案 B解析 ：半径比为 1 : 2,且S= 4nFt：表面积比为半径比的平方，故选B.2.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为.6,则这个棱柱的侧面积是（）A.2 B.4C.6D.8答案 D解析由已知得底面边长为1，侧棱长为零 6 2= 2. S侧=1X2X4=8.3.已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形，左视图是一个面积为，2 的矩 形，则该正方体的主视

8、图的面积等于（）解析如图，设球0的半径为R则由AH：HB=1： 2得D.1： 8Ac.D. 26B.1答案 D解析根据正方体的俯视图及左视图特征想象出其主视图后求面积由于该正方体的俯视图是面积为1 的正方形，左视图是一个面积为的矩形，因此该几何体的主视图是一个长为2，宽为 1 的矩形，其面积为，2.4. 一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm）,则该几何体的表面积为（）A.12nB.18nC.24nD.36n答案 C解析由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r= 3，母线I= 5,2S表=nrl+nr= 24n.故选 C.5.圆台的上、下底面半径分别是3 和 4,母线长为 6,则其表面积等于（）A.72B.42nC.67nD.72n答案 C22解析S圆台表=S圆台侧+S上底+S下底=n（3 + 4） 6+n3+n4= 67n.课堂小结-11. 如果长方体的长，宽，高分别为a,b,c,那么它的表面积S表=2（ab+bc+ac）；如果正方体的棱长为a,那么它的表面积为S表=6a2.2. 求棱锥的表面积，可以先求侧面积，