2017-2018版高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理学案新人教A版选修1-2

1、2.1.2演绎推理学习目标导航1 理解演绎推理的意义.（重点）2掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（难点）3了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.（易混点）基础初探教材整理演绎推理阅读教材 P30P32的内容，完成下列问题.1 演绎推理（1）含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理.特点：由一般到特殊的推理.2.三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P-锻体验-判断（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）演绎推理一般模式是“三段论”形式.（）（2）演绎推理的结论是一定正确的.（

2、）（3）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.（）【解析】（1）正确.演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提、小前提和结论.认知预习质疑务组討适疑难细究2（2）错误.在演绎推理中，只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下，其结论才是正确的.（3）错误演绎推理是由一般到特殊的推理.【答案】V （2） X （3） X介作探究通关小组合作型蛋0|血把演绎推理写成三段论的形式例将下列演绎推理写成三段论的形式.（1） 一切奇数都不能被 2 整除，75 不能被 2 整除，所以 75 是奇数；三角形的内角和为 180, RtABC的内角和为 180;（3）菱形的对角线互相平分；通项公式为an=

3、3n+2（n2）的数列an为等差数列.【精彩点拨】首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式.【自主解答】（1） 一切奇数都不能被 2 整除.（大前提）75 不能被 2 整除.（小前提）75 是奇数.（结论）三角形的内角和为 180 .（大前提）Rt ABC是三角形.（小前提）RtABC的内角和为 180 .（结论）（3）平行四边形的对角线互相平分.（大前提）菱形是平行四边形.（小前提）菱形的对角线互相平分.（结论）数列an中，如果当n2 时，anan-1为常数，则an为等差数列.（大前提）通项公式an= 3n+ 2,n2 时，anan-1= 3n+ 2 3（n 1） + 2

4、= 3（常数）.（小前提）通项公式为an= 3n+2（n2）的数列an为等差数列.（结论）务组討适疑难细究31.三段论推理的根据，从集合的观点来讲，若集合M的所有元素都具有性质P, S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.2.演绎推理最常用的模式是三段论，在大前提和小前提正确，推理形式也正确时，其 结论一定是正确的.4再练一题1 把下列推断写成三段论的形式.（1）三段论：“只有船准时起航，才能准时到达目的港，这艘船是准时到达目的港的，这艘船是准时起航的”中的“小前提”是（）A.C.等.【解析】（1）大前提为，小前提为，结论为【答案】 D（2）两个角是对顶角，则这两个角相等，（大前提）/ 1

5、 和/2 是对顶角，（小前提）/ 1 和/2 相等.（结论）如图 2-1-9 所示，D E、F分别是BC CA AB边上的点，/BFD-ZA,DE/ BA用三段论的模式依次证明：（1）DF/ AE四边形AEDF为平行四边形;(3)DE= AF（1）同位角相等，两直线平行，（大前提）/BFD和/A是同位角，且/BFD=ZA（小前提）所以DF/ AE（结论）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）DE/ BA且DF/ EA(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形.（结论）（3）平行四边形的对边相等，（大前提）B.D.（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若/1 和/ 2 是对顶

6、角，则/1 和/ 2 相卜例国求证：DE= AF写出“三段论”形式的演绎推理.【精彩点拨】【自主解答】演绎推理的应用图 2-1-95DE和AF为平行四边形的对边，（小前提）所以ED- AF.（结论）61.应用三段论解决问题时， 应当首先明确什么是大前提和小前提， 但为了叙述的简洁, 如果前提是显然的，则可以省略.2数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据- 大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.I_I再练一题2.已知：在如图 2-1-10 所示的梯形ABCD中,AD/ BC AD= DC= AB AC和BD是它的 对角线.图 2

7、-1-10求证：AC平分/BCD BD平分/CBA【证明】大前提：等腰三角形的两底角相等；小前提：ADC是等腰三角形，DA DC是两腰； 结论：/ 1 = 7 2.大前提：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；小前提：7 1 和/ 3 是平行线AD BC被AC截得的内错角; 结论：7 1 = 7 3.大前提：等于同一个量的两个量相等； 小前提：7 2 和 7 3 都等于 7 1； 结论：7 2=7 3,即卩AC平分 7BCD同理可证BD平分 7ABC探究共研型1 我们已经学过了等比数列， 你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数 列”，请你给出“等积数列”的定义.【提示】 如果一个数列从

8、第 2 项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.探究 2 若an是等积数列，且首项a1= 2,公积为 6，试写出an的通项公式及前n项合情推理与演绎推理的综合应用探究7和公式.【提示】由于an是等积数列，且首项a1= 2，公积为 6,所以a2= 3,as= 2,a4= 3,a5= 2,a6= 3，即刘的所有奇数项都等于 2,所有偶数项都等于 3，因此an的通项公式为an=1 2，“为奇数,3,n为偶数.3X1+X2+3uX1+ 3X2+ 33x1+ 3x2+ 233x1+ 3x2+ 2X3=3X1+ 3X2+3彎，n为偶数, 其前 n项和公式

9、 S=_n5n 12+ 2=2，n为奇数.81探究 3 设f(x) =-x，先分别求f(0) +f(1) ,f( 1) +f(2) ,f( 2) +f(3)，然3 +丫3后归纳出一个一般结论，并给出证明., 1 1【提示】f(0)+ f(1)= 3。+3+3+ 311+ 肿 3 + ,3V3- 1 3-击逅2+6=亍同理f( 1) +f(2)二亍，f( 2) +f(3)由此猜想：当X1+X2= 1 时，f(X1)+f(X2)= -3.证明：设Xi+X2= 1 ,小11则f(X1) +f(X2)=3X133X2+# 33X1+ 3X2+ 2 .;3故猜想成立.卜例因9图 2-1-11【精彩点拨】

10、(1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为厶BCD的重心.(2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明.【自主解答】(1)证明： AB1AD ACLAD ADL平面ABC ADLBC又ACL 平面BCDACLBC/ ADAAO= A,BCL平面AODBCLDO同理可证CDLBOOBCD的垂心.即SABC=SBOC-SBCR同理可证：SAC=COD，SBCD,SAB=SBOD SBCDSABC+SAC卄SAB=SBCD，(SBOC+SCO+SBOl) =SBCD，SBC=SBCD猜想:SABc+S7ACD+SLABD=SIXBCD证明：连接DO并延长交BC于E,连接AE BO CO由

11、(1)知AD!平面ABCAE?平面ABCADLAE又AOL EDAE=EO- ED2BC-AE2=2B。-沁ED,10合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确提和推理形式都正确的前提下II_I再练一题3.已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，则数列bn=Qaia2禺（n N）也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论【导学号：81092016】【解】 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：ai+ct+a“若数列an是等差数列，则数列bn=-也是等差数列

12、.证明如下：n n1dn ai+- - -ai+a2+an2d设等差数列an的公差为d,贝Ubn=n=-n=ai+ 2（n 1）,所以数列bn是以ai为首项，I为公差的等差数列.i演绎推理中的“一般性原理”包括（）1已有的事实；定义、定理、公理等；个人积累的经验.A.B.C.D.【解析】 演绎推理中的“一般性原理”包括“已有的事实”“定义、定理、公理等”.【答案】 A2下面几种推理过程是演绎推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果/A与/B是两条平行直线的同旁内角，则/A+ Z B= 180B. 某校高三（1）班有 55 人，（2）班有 54 人，（3）班有 52 人，由此得出高三所有

13、班级中 的人数都超过 50 人C. 由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质但合情推理常常帮助我们阶股3.体验落11D.在数列an中，ai= 1,sh=1an-1+ 圭（n2），通过计算a2,a3,a4猜想出an的通项公式【解析】A 是演绎推理，B, D 是归纳推理，C 是类比推理.【答案】 A3用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的【解析】这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a20”.显然结论错误，原因是大前提错误.【答案】 A4. 函数y=

14、2x+ 5 的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：_ ;小前提：_ ;结论：_ .【答案】一次函数的图象是一条直线函数y= 2x+ 5 是一次函数函数y= 2x+ 5 的图象是一条直线5. 用三段论的形式写出下列演绎推理.（1）矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；（2）y= cosx（x R）是周期函数.【解】（1）因为矩形的对角线相等，（大前提）而正方形是矩形，（小前提）所以正方形的对角线相等.（结论）（3）因为三角函数是周期函数，（大前提）而y= cosx（x R）是三角函数， （小前提）所以y= cosx（x R）是周期函数.（结论）学业分层测评（建议用时：45

15、分钟）学业达标-一、选择题1.下面几种推理中是演绎推理的为( )A. 由金、银、铜、铁可导电，猜想:金属都可导电121 1 11B. 猜想数列 1X2，2X3，3X4，的通项公式为an=n n+(n N+)132C.半径为r的圆的面积s=nr,则单位圆的面积S= nD.由平面直角坐标系中圆的方程为（xa）2+ （yb）2=r2,推测空间直角坐标系中球的2 2 2 2方程为（xa） + （yb） + （zc） =r【解析】 A, B 为归纳推理，D 为类比推理，C 为演绎推理.【答案】 C2.已知ABC中, ZA= 30,/B= 60,求证：avb.证明：/A= 30,ZB= 60,.ZAvZ

16、B,.avb,画线部分是演绎推理的（）A.大前提B.小前提C.结论D.三段论【解析】 结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提.【答案】 B3“因为对数函数y= logax是增函数（大前提），而y= x是对数函数（小前提）， 所以y=. x 是增函数（结论）.”上面推理错误的是（）A. 大前提错导致结论错B. 小前提错导致结论错C. 推理形式错导致结论错D. 大前提和小前提都错导致结论错【解析】大前提y= logax是增函数错误，当 0a2ab,所以 2(a2+b2) a2+b2+ 2ab.2 2【解析】 由小前提和结论可知，是

17、在小前提的两边同时加上了a+b,故大前提为：若ab,贝 Va+cAb+c.【答案】 若aAb,贝U a+cAb+c7命题：“若空间两条直线a,b分别垂直平面 a ,则a/b”.学生小夏这样证明：设a,b与面 a 分别相交于A B,连接A B,Ta丄 a ,b丄 a ,AB? a ,二a丄AB b丄AB a/b.这里的证明有两个推理，即:？和？.老师认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是 _.【解析】 ？时，大前提错误，导致结论错误.【答案】 ？&“如图 2-1-12，在ABC中,AOBC CD是AB边上的高，求证：/ACD/BCD.C.zL 图 2-1-12证明：在厶ABC中

18、,因为CDL AB, AOBC,所以AOBD于是/ACD/BCD则在上面证明的过程中错误的是(填序号).A. 115【解析】 由ADBD得到/ACD/BCD勺推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“ADBD，而AD与BD不在同一三角形中，故错误.【答案】 16三、解答题9用三段论证明通项公式为an=cqn(c,q为常数，且cq0)的数列an是等比数列.【证明】 设an+1,an是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)，n+1+icq因为 =-=q(常数)(小前提)，ancq所以an是等比数列(结论)2*Z1 x所以aT+ ua+

19、号，整理得a-a(2x-2-x)=0,必有=1.能力提升1.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a,b)内可导且单调递增，贝恠(a,b)内，f(x)0 恒成立.因为f(x) =x3在(一 1,1)内可导且单调递增，所以在(一 1,1)内，f(x) = 3x20恒成立.以上推理中()A.大前提错误D.推理形式错误【解析】f(x)在(a,b)内可导且单调递增，则在(a,b)内，f(x) 0 恒成立，故大前提错误，选 A.【答案】 A2.设是 R 内的一个运算，A是 R 的非空子集.若对于任意a,bA,有abA,则 称A对运算封闭.下列数集对加法、 减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的 是()A.自然数集B.整数集C.有理数集 D.无理数集【解析】 A 错，因为自然数集对减法不封闭；B 错，因为整数集对除法不封闭； C 对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故 有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错，因为无理数集对加、 减、乘、除法都不封闭.10.已知x2a0 且函数f(x) =+aa的值.【解】由于f(x)是偶函数，所以f( -x) =f(x)对x R 恒成立，即2-xxa2a0,所以aB.小前提错误C.结论正确R 上的偶函数，求