2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(全国卷1,含解析)

1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共 5 页，满分 150 分。考生注意：1 答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。1 .已知集

2、合A=：x|x：2?, B=：x|3_2x 0?，则3C A x|x2【答案】A333【解析】由 3-2x0 x-、所月=.r|x=选趾2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量(单位：kg)分别为X1,X2，,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.X1,X2,，Xn的平均数B.X1,X2,，Xn的标准差C. X1,X2,，Xn的最大值D. X1,X2,，Xn的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B3 .下列各式的运算结果为纯虚数的是2 2 2绝密启用前A.f 3)AJB.A I B_.D. A. B=

3、R2A. i(1+i)B. i (1-i)C. (1+i)D. i(1+i)【答案】C3【解析】由(1 i)1 2=2i为纯虚数知选 C.4 .如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是13又A的坐标是(1,3)，故APF的面积为3 (2-1)，选 D.226.如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M N, Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQT平行的是A.B.71D.C.14【答案】B【解析】不妨设正方形边长为比由團形的对称性可知，衣极图中黑

4、日部分面枳相等，即所旨占圆面积的一_ X .TX(Y半.由几何概型槪率的计算公式得所求概率为2选 B.Q*S25 已知F是双曲线C:x2-上=1 的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3).则厶APF3的面积为【答案】D2【解析】由c2= a2b2= 4得c = 2，所以F (2,0)，将x = 2代入x2-y1，得y = 3，所以PF= 3,3A.B.C.D.MB,M5【答案】A【解析 B.AB/MQ,则直线 AB 平面 MXQrll C, A3/MQ, W 线 AB 平面、INQ;由 D, AB XQ， 则直纸 AB平面、INQ.故 A 不满足选 Ax 3y _3,7

5、 .设x,y满足约束条件 x - y _1,则z=x+y的最大值为心，y 经过A(3,0)时最大，故zmax= 3 0 = 3，故选 D.8.函数y二Sin2x的部分图像大致为1COSXA. 0【答案】DB. 1C. 2D. 3【解析】如图，目标函数6【答案】C【解析】由题意知，函数sin 2x1cosx为奇函数，故排除B；当x -二时，y = 0，排除 D；当x = 1时,sin 21 -cos20，排除 A.故选 C.7【解析】由题青知，/(2-x) =ln(2-x)+lnx = y(x)J所f(x)的團象关干肓线筑=1 对称丿 C 正确，D错误；又广 3=丄一亠=黄二(0 x?在(0:1

6、)单调递増，在1:2)单调递减，A, B 错X2 Xx(2 X)误故选 U10.如图是为了求出满足3n-2n1000的最小偶数n,那么在 和二二两个空白框中，可以分别填入入n/!1A=3n-2n1是/输皿 /t JCW)【解析】由题意选择3n-2n1000，则判定框内填A空1000，由因为选择偶数，所以矩形框内填n二n，2,故选 D.则C=AnA.12【答案】B9 .已知函数f (x) =lnx ln(2 _x)，则A.f (x)在(0,2 )单调递增C. y=f (x)的图像关于直线x=1 对称【答案】CB. f(x)在(0,2 )单调递减D.y=f (x)的图像关于点(1,0 )对称A.A

7、1000 和n=n+1C.Aw1000 和n=n+1【答案】DB.A1000 和n=n+2D.Aw1000 和n=n+2.ABC的内角 AB C的对边分别为a、b、c。已知sin B sin A(sinC-cosC)=0,a=2,c=、2,C.-D.8【解析】由題意 sin（J + C） + sinA（smC-cosC）二 0 得sin JcosC+ cos J sinC+ sin J sin C -sinAcos C1= 0 ,即 sin t?（sin T += JJsiii （7门 1 丄十-） = 0；所以4 = 一 由正弦定理丘 r 佥得$=磊用心$得 T，故选氏sin 42 212

8、设A、B是椭圆C：-乞=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足/AMB120。，则m的取值范围3mA.（0,1U【9,：）B.（0,、3U9,：）C. （0,1U【4,：）D. （0,、,3U4,：）【答案】A【解析】当0：m：3，焦点在x轴上，要使 C 上存在点 M 满足.AMB =120，则-_tan 60； 3，即b工3八3，得0：m岂1；当m 3，焦点在y轴上，要使 C 上存在点 M 满足.AMB二120，则m二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知向量a= (- 1, 2),b= (m1).若向量a+b与a垂直，则 m=_【答案】74 4【解析】由题得a，

9、b=(m-1,3)4因为(a b) a = 0所以-（m -1） 2 3 =0解得m = 72114曲线y =x+在点(1 , 2)处的切线方程为 _x【解析】设尹=/(X)，得m_9，故 m 的取值范围为(0,1一.9,:），选 A.atan 60 = J3,即b9则/V) = 2x-X丈所以八 1) = 2-1 = 1所以在 0.2)处的切线方程为 y - gx 即尸 x+Lnn15已知 a 匸(0,) ,tan a =2,则 cos (a )=。24【答案】10【解析】由tan : - 2得sin - 2cos:-2 2又sin雳卷cos 1所以cos2-5因为*三(0, )2所以cos

10、5,sin：=2555JinJI因为cos( ) = cos：cos sin：sin444兀J5 JF 2亦J2 3J10所以cos( )=452521016.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCAL平面SCB SAACSB=BC三棱锥S-ABC的体积为 9,则球O的表面积为 _。【答案】36：【解析】取SC的中点0,连接OA,OB因为SA=AC,SB=BC所以OA _SC,OB _SC因为平面SAC_平面SBC所以OA_平面SBC设OA=r3101 11 1 VASBCSSBCOA2r r r r3一3:3 213所以丄r3=9= r = 33所以球的

11、表面积为4二r3 4=36二三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17.（ 12 分）记S为等比数列：an-的前n项和，已知S2=2,S3=-6.（1）求Sn1的通项公式；（2）求Sn,并判断S+1,Sn,Sn+2是否成等差数列【解折】 设&的公比为 g 由题设可得吗（l + g+厂二 一 6故 g J 的通项公式为 j = （-2）.【解析】(1)由已知/BAP二ZCDP =90，得AB _ AP,CD _ PD.由于AB/CD，故AB _ PD，从而AB_平面PAD.3

12、证明：平面PABL平面PAD4若PA=PDAB=DC APD =90：,且四棱锥P-ABCD勺体积为-，求该四棱锥的侧面积1721 题为必考题，每个试题考生由可得-晋=子（少4严_ ?砂亠J严L由干 g+s 典二=+（-1）11卜厂-尹（-ir =2S 卑,3JJJ故成等差数列一18.（ 12 分）如图，在四棱锥P-ABC中,AB/CD，且.BAP二.CDP =9020.( 12 分)11又AB平面PAB，所以平面PAB_平面PAD.（-）在平面内作PE一*辺?垂足为E由（1）知胭_平面 R4D ,故.15_PE,可得尸_平面ABCD设.4B = xf则由已知可得.4D =VJ.V、 PE =

13、故四棱锥PABCD的体积齐* =AB AD PE = .331C由题设得-空=二 故疋=233从而出=FD = 2,JD=8C = y , PB = PC =22可得四棱锥 P-.1SCD 的侧 M 积为-PA PD + -PA AB +-PD-DC+BC2sin 60= 6+2 的* 219.（ 12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.下面是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.19.969.9610.09.929.9810.0214抽取次序9101

14、11213141516零件尺寸10.29.9110.110.09.2210.010.09.9563245经计算得X二丄x=9.97,1( -x) .1#-16x2)：0.212,16=16 i/卅6寫12(1)求(x,) (i：赳2 ,1)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若I r |：0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(X -3s,X 3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)从这一天抽检的结果看

15、，是否需对当天的生产过程进行检查？(ii)在(X-3s,X3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01 )【解析】 由样本数据得(1)(2 = 12的相关系数为宙于|尸| .设直线/的方程为故线段肋的中 A-(2.2), |=|-1-A将丁=厂亠橄代入 F =罕得丘一心一 4 加-0斗A 16(W 1) 0 J 即?HA1 日寸 jX：=二JrF 1 - 1从而 2=41* x:|=4/2(m+l)由題设知即 4(胡+ 1)=2(附1),解得M= 7.所叹直线曲的方程为yx-721.( 12 分)已知函数f (x)=ex(ex-a)

16、 -a2x.(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f(x) _0，求a的取值范围.【解析】(1)函数f (x)的定义域为(一匚：),f (x) = 2e2x-aex- a2= (2exa)(ex-a),1若a=O，则f(x) = e，在单调递增.2若a 0，则由f (x) =0得x = 1 na.当x(Yjn a)时，f (x)：0； 当x (I n a,：)时，f (x) 0，所以f (x)在(fn a)单调递减，在14(In a,：)单调递增.3若a:：0,则由f(x) = 0得x = In(-旦).当x (YJn( -a)时，f (x) : 0；当x (In(-a),：)时，f (x

17、) . 0，故f (x)在(YJn(-a)单调递2 2 2a减，在(ln( ),)单调递增.2(2)若a二0，则f (x) =e2x，所以f (x) _0.2若a 0,则由(1)得，当 x =In a时，f (x)取得最小值，最小值为f (In a) - -a2In a.从而当且仅当2-a In a _ 0,即卩a乞1时，f (x) _ 0.aa23 a3若a：0，则由(1)得，当 x =In()时，f (x)取得最小值，最小值为f (In() = a In().22422 3a3从而当且仅当a2 In( ) -0,即a_-2e4时f(x)_0.423综上，a的取值范围为_2e4,1.(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 44:坐标系与参数方程(10 分)x =3cou H在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 i (0为参数)，直线I的参数方程为j =si n 日，x =a +4tx a 4t( t 为参数).y二1-1,(1 )若a=-1，求C与I的交点坐标；(2)若C上的点到I的距离的最大值为,17，求 a.【解析】 曲线 C的普通方程+y:=l.当Q= -1 时，崔奸的普通方程为 x+4y-3 = 0.、1