2020年河北省高考数学

1、精选优质文档-倾情为你奉上2020年河北省高考数学（理科）模拟试卷（8）一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则z1+i=（）A-32+32iB-32+12iC-12+32iD12+32i2（5分）已知集合A=x|3x1，Bx|x0，则AB（）Ax|0x3Bx|0x3Cx|1x3Dx|1x33（5分）设非零向量a，b满足|a|3|b|，cosa，b=13，a（a-b）16，则|b|（）A2B3C2D54（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，几何体ABCDEC1的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正

2、视图为（）ABCD5（5分）已知双曲线C与双曲线x22-y26=1有公共的渐近线，且经过点P(-2，3)，则双曲线C的离心率为（）A2B233C4D26（5分）已知a，b0，a+b1，则12a+1+2b+1的最小值是（）A95B116C75D1+2257（5分）已知cos(-6)=35，则sin(+3)=（）A35B-35C45D-458（5分）将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A学校的不同分配方法有（）A18种B24种C32种D36种9（5分）已知点（a，b）在圆x2+y21上，则函数f（x）acos2x+bsinxcosx-a2-1的最小正周期

3、和最小值分别为（）A2，-32B，-32C，-52D2，-5210（5分）已知函数f（x）=2x(x0)lnx(x0)，且关于x的方程f（x）+xa0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围（）A0，+）B（1，+）C（0，+）D（，1）11（5分）在三棱锥PABC中，AP平面PBC，PA2PB2PC2，BC=2，则三棱锥PABC的外接球体积为（）A36B13C86D612（5分）已知函数f（x）x+alnx+b在x1处的切线的斜率为1，若该函数存在两个不同的零点x1，x2，则1x1+1x2的取值范围是（）A1，+）B（，1）C（1，+）D（，1二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（

4、5分）已知实数x，y满足y4x，x+2y+60，y4，则z=y+4x-4的最大值为 14（5分）某工厂共有50位工人组装某种零件如图的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时（单位：分钟）与人数的分布情况由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为 若将500个要组装的零件平均分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过 分钟后，所有工人都完成组装任务15（5分）设a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边已知A=3，b=1，且（sin2A+4sin2B）c8（sin2B+sin2Csin2A），则a 16（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为x24+y25=1，F为E的

5、上焦点，A为E的右顶点，P是E上位于第一象限内的动点，Q是E上位于第三象限内的动点，则四边形APFQ的面积最大值是 三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）已知等差数列an的前n项和是Sn，若a11，且a1，a2，a3+1成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=3nan的前n项和是Tn，求Tn18（12分）现代社会的竞争，是人才的竞争，各国、各地区、各单位都在广纳贤人，以更好更快的促进国家、地区、单位的发展某单位进行人才选拔考核，该考核共有三轮，每轮都只设置一个项目问题，能正确解决项目问题者才能进入下一轮考核；不能正确解决者即被淘汰三轮的项目问题都正确解决者即被

6、录用已知A选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为45，23，12，且各项目问题能否正确解决互不影响（1）求A选手被淘汰的概率；（2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为，求的分布列与数学期望19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBC，APABBC=12AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O（1）证明：PO平面ABCD（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值20（12分）已知函数f（x）lnx+2xx2（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）判断并说明函数g（x）f（x）cosx的零点个数若函数g（x）所有零点均在区间m，n（mZ，nZ）内，

7、求nm的最小值21（12分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点（1）若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G证明：点G在定直线上（2）若p2，点M在曲线y=1-x2上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求MPQ面积的取值范围四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（2，0）为一个顶点直线l的参数方程是x=1-ty=2t，（t为参数）（）求椭圆C的极坐标方程；（）若直线l与椭圆C的交点分别为

8、M（x1，y1），N（x2，y2），求线段MN的长度五解答题（共1小题）23已知函数f（x）|xm|2x+2m|（m0）（）当m1时，求不等式f（x）1的解集；（）若xR，tR，使得f（x）+|t1|t+1|，求实数m的取值范围2020年河北省高考数学（理科）模拟试卷（8）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1（5分）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则z1+i=（）A-32+32iB-32+12iC-12+32iD12+32i【解答】解：由题意，z1+2i，则z1+i=-1+2i1+i=(-1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=12+32i故选：

9、D2（5分）已知集合A=x|3x1，Bx|x0，则AB（）Ax|0x3Bx|0x3Cx|1x3Dx|1x3【解答】解：集合A=x|3x1=x|0x3，Bx|x0，ABx|0x3故选：A3（5分）设非零向量a，b满足|a|3|b|，cosa，b=13，a（a-b）16，则|b|（）A2B3C2D5【解答】解：|a|3|b|，cosa，b=13，a（a-b）=a2-ab=9|b|2-3|b|2×13=8|b|2=16，|b|=2故选：A4（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，几何体ABCDEC1的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（）ABCD【解答

10、】解：根据几何体ABCC1DE的侧视图和俯视图，所以正视图为直角梯形，即点A的射影落在D点，点B的射影落在C点，线段BE的射影落在EC的位置故选：A5（5分）已知双曲线C与双曲线x22-y26=1有公共的渐近线，且经过点P(-2，3)，则双曲线C的离心率为（）A2B233C4D2【解答】解：根据题意，双曲线C与双曲线x22-y26=1有公共的渐近线，设双曲线C的方程为x22-y26=t，（t0），又由双曲线C经过点P（2，3），则有2-12=t，则t=32，则双曲线的C的方程为x22-y26=32，即：x23-y29=1，其焦距c23，a=3，所以双曲线的离心率为：e=ca=2故选：D6（5分

11、）已知a，b0，a+b1，则12a+1+2b+1的最小值是（）A95B116C75D1+225【解答】解：a，b0，a+b1，由权方和不等式可得12a+1+2b+1=12a+12+2b+1(12+2)2a+12+b+1=9252=95，（12a+12=2b+1，“”），故选：A7（5分）已知cos(-6)=35，则sin(+3)=（）A35B-35C45D-45【解答】解：已知cos(-6)=35，则sin(+3)=cos2-（+3）cos（6-）cos（-6）=35，故选：A8（5分）将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A学校的不同分配方法有（）A

12、18种B24种C32种D36种【解答】解：根据题意，分两种情况讨论，其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有C31A21A2212种情况，没有人与甲在同一个学校，则有C21C32A2212种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有12+1224种；故选：B9（5分）已知点（a，b）在圆x2+y21上，则函数f（x）acos2x+bsinxcosx-a2-1的最小正周期和最小值分别为（）A2，-32B，-32C，-52D2，-52【解答】解：点（a，b）在圆x2+y21上，a2+b21f(x)=acos2x+bsinxcosx-a2-1 =a1+cos2x2+b2sin2x-a2-1 =12

13、(bsin2x+acos2x)-1 =b2+a22(bb2+a2sin2x+ab2+a2cos2x)-1 =12sin(2x+)-1，（tan=ab）函数的最小正周期为22=，当sin（2x+）1时，函数有最小值-32故选：B10（5分）已知函数f（x）=2x(x0)lnx(x0)，且关于x的方程f（x）+xa0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围（）A0，+）B（1，+）C（0，+）D（，1）【解答】解：因为条件等价于函数yf（x）的图象与直线yx+a只有一个交点作出图象如图：由图可知，a1，故选：B11（5分）在三棱锥PABC中，AP平面PBC，PA2PB2PC2，BC=2，则三棱锥PA

14、BC的外接球体积为（）A36B13C86D6【解答】解：设三棱锥PABC的外接球的半径为RPBPC1，BC=2，PB2+PC2BC2，PBPC又AP平面PBC，APPB，APPC（2R）212+12+226，解得：R=62则三棱锥PABC的外接球体积=43×(62)3=6故选：D12（5分）已知函数f（x）x+alnx+b在x1处的切线的斜率为1，若该函数存在两个不同的零点x1，x2，则1x1+1x2的取值范围是（）A1，+）B（，1）C（1，+）D（，1【解答】解：f（x）x+alnx+b的导数为f（x）1+ax，可得在x1处的切线的斜率为1+a，由1+a1，可得a2，则f（x）x

15、2lnx+b，由题意可得x12lnx1+bx22lnx2+b，即有x1-x2lnx1-lnx2=2，由x1，x20，可得1x1+1x22x1x2，即有21x1+1x2x1x2；设x1x20，要证x1x2x1-x2lnx1-lnx2，即证lnx1lnx2x1x2-x2x1，即为lnx1x2x1x2-x2x1，设t=x1x2，t1，即证lntt-1t，即为2lntt-1t，设g（x）2lnx（x-1x），x1，导数为g（x）=2x-1-1x2=-(x-1)2x20，可得g（x）在x1递减，则g（x）g（1）0，可得2lnx（x-1x）0，x1，则成立则21x1+1x2x1x2x1-x2lnx1-l

16、nx2，则1x1+1x21故选：C二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知实数x，y满足y4x，x+2y+60，y4，则z=y+4x-4的最大值为-27【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示，z=y+4x-4表示平面区域内的点（x，y）与D（4，4）连线的斜率，观察可知，kDCy+4x-4kDB，联立y=4x，x+2y+6=0，解得x=-23，y=-83，即B(-23，-83)，故z=y+4x-4的最大值为-83+4-23-4=43-23-123=-27故答案为：-2714（5分）某工厂共有50位工人组装某种零件如图的散点图反映了工人们组装每个零件所用的

17、工时（单位：分钟）与人数的分布情况由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为3.3若将500个要组装的零件平均分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过35分钟后，所有工人都完成组装任务【解答】解：根据散点图填写下表，人数35612168工时3.03.13.23.33.43.5所以这50人所用工时中位数是3.3；500个零件平均分给50人，每人10个，最多用时为3.5×1035（分钟）；所以都完成时至少用时35分钟故答案为：3.3，3515（5分）设a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边已知A=3，b=1，且（sin2A+4sin2B）c8（sin2B+sin2C

18、sin2A），则a2【解答】解：因为（sin2A+4sin2B）c8（sin2B+sin2Csin2A），所以（a2+4b2）c8（b2+c2a2），又b1，所以（a2+4b2）bc8（b2+c2a2），所以a2+4b22=8×b2+c2-a22bc=8cosA=4，则a2+42=4，解得a2故答案为：216（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为x24+y25=1，F为E的上焦点，A为E的右顶点，P是E上位于第一象限内的动点，Q是E上位于第三象限内的动点，则四边形APFQ的面积最大值是26【解答】解：如图，由椭圆E的方程为x24+y25=1，a=5b2，可得c1，四边形QA

19、PF的面积为三角形QAF与三角形AFP的面积和，要使三角形AFP的面积最大，则P到直线AF的距离最大，要使三角形QAF的面积最大，则Q到直线AF的距离最大，设与直线AF平行的直线方程为x2y+m，联立x=-2y+m5x2+4y2=20，可得24y220my+5m2200由400m24×24×（5m220）0，解得m±26则两平行线x+2y26与x+2y26=0的距离为d=465四边形QAPF的面积的最大值是：12×5×465=26故答案为：26三解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17（12分）已知等差数列an的前n项和是Sn，若a11

20、，且a1，a2，a3+1成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）记bn=3nan的前n项和是Tn，求Tn【解答】解：（1）因为a1，a2，a3+1成等比数列且a11，所以得（a1+d）2a1（a1+2d+1），化简得d21，所以d1或者1，当d1时，a20，所以a1，a2，a3+1不是等比数列，与已知矛盾，数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，所以ann；（2）bn=3nan=n3n，所以Tn=131+232+n3n，3Tn=132+233+n3n+1，所以2Tn=13+32+3n-n3n+1，=3(1-3n)1-3-n3n+1 =-32-2n-123n+1，Tn=34+2n-143n

21、+118（12分）现代社会的竞争，是人才的竞争，各国、各地区、各单位都在广纳贤人，以更好更快的促进国家、地区、单位的发展某单位进行人才选拔考核，该考核共有三轮，每轮都只设置一个项目问题，能正确解决项目问题者才能进入下一轮考核；不能正确解决者即被淘汰三轮的项目问题都正确解决者即被录用已知A选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为45，23，12，且各项目问题能否正确解决互不影响（1）求A选手被淘汰的概率；（2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为，求的分布列与数学期望【解答】解：（1）某单位进行人才选拔考核，该考核共有三轮，每轮都只设置一个项目问题，能正确解决项目问题者才能进入下一

22、轮考核；不能正确解决者即被淘汰三轮的项目问题都正确解决者即被录用A选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为45，23，12，且各项目问题能否正确解决互不影响A选手被淘汰的对立事件是A选手被录用，A选手被淘汰的概率为：P1-45×23×12=1-415=1115（2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为，则的可能取值为0，1，2，3，P（0）1-45=15，P（1）=45×(1-23)=415，P（2）=45×23×(1-12)=415，P（3）=45×23×12=415，的分布列为： 0 1 2 3 P 15

23、415 415 415数学期望E（）=0×15+1×415+2×415+3×415=8519（12分）如图，在四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBC，APABBC=12AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O（1）证明：PO平面ABCD（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：AP平面PCD，APCDADBC，BC=12AD，四边形BCDE为平行四边形，BECD，APBE又ABBC，AB=BC=12AD，且E为AD的中点，四边形ABCE为正方形，BEAC又APACA，BE平面APC，则BEPOAP平面PCD，AP

24、PC，又AC=2AB=2AP，PAC为等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，POAC且ACBE0，PO平面ABCD（2）解：以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示设OB1，则B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（2，1，0），则BC=(-1，1，0)，PB=(1，0，-1)，PD=(-2，1，-1)设平面PBD的法向量为n=(x，y，z)，令z1，得n=(1，3，1)设BC与平面PBD所成角为，则sin|cosBC，n|=|BCn|BC|n|=2211=221120（12分）已知函数f（x）lnx+2xx2（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）判断并说明函数g

25、（x）f（x）cosx的零点个数若函数g（x）所有零点均在区间m，n（mZ，nZ）内，求nm的最小值【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），f'(x)=1x+2-2x=-2x2+2x+1x，令f（x）0，得x1=1+32，x2=1-32（舍），当x（0，x1）时，f（x）0，当x（x1，+）时，f（x）0，函数f（x）在（0，x1）单调递增，在（x1，+）单调递减（2）g（x）lnx+2xx2cosx，当x（0，1）时，g'(x)=1x+2-2x+sinx，又f'(x)=1x+2-2x单调递减，故g（x）1+22+01，g（x）在（0，1）单调递增，又g(1)=1-

26、cos10，g(14)=ln14+12-116-cos140，存在唯一x1（0，1），使得g（x1）0；当x1，2)时，g'(x)=1x+2-2x+sinx，g(x)=-1x2-2+cosx0，g（x）单减，又g'(2)=2+2-+10，故g（x）0，g（x）在1，2)上单增，又g（1）1cos10，故g（x）0，此时不存在零点；当x2，3)时，g'(x)=1x+2-2x+sinx，g(x)=-1x2-2+cosx0，g（x）单减，又g'(2)0，g'(2)=12+2-4+sin20，存在x02，2)，使得g（x0）0，且当x2，x0)时，g（x）0，g

27、（x）单增，当x（x0，3）时，g（x）0，g（x）单减，又g(2)=ln2+-240，g(2)=ln2-cos20，g(3)=ln3+6-9-cos30，存在唯一x2（2，3），使得g（x2）0；当x3，+）时，g（x）x1+2xx2+1x2+3x0，故不存在零点综上，g（x）存在两个零点x1（0，1），x2（2，3），nm的最小值为321（12分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点（1）若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G证明：点G在定直线上（2）若p2，点M在曲线y=1-x2上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求MPQ面积的取

28、值范围【解答】（1）证明：易知F(0，p2)，设P(x1，x122p)，Q(x2，x222p)由题意可知直线l的斜率存在，故设其方程为y=kx+p2由y=kx+p2x2=2py，得x22pkxp20，所以x1x2=-p2由x22py，得y=x22p，y'=xp，则kPG=x1p，直线PG的方程为y-x122p=x1p(x-x1)，即x1px-y-x122p=0，同理可得直线QG的方程为x2px-y-x222p=0，联立，可得(x1-x2)y=x1x2(x1-x2)2p因为x1x2，所以y=x1x22p=-p2，故点G在定直线y=-p2上（2）解：设M（x0，y0），MP，MQ的中点分别为(x1+x02，x124+y02)，(x2+x02，x224+y02)因为MP，MQ得中点均在抛物线C上，所以x1，x2为方程(x+x02)2=4×x24+y02的解，即方程x2-2x0x+8y0-x02=0的两个不同的实根，则x1+x22x0，x1x2=8y0-x02，=(2x0)2-4(8y0-x02)0，即x024y0，所以PQ的中点N的横坐标为x0，则|MN|=18(x12+x22)-y0=18(x1+x2)2-2x1x2-y0=34