线性系统的结构分解和零极点相消资料

1、Ch.4Ch.4 线性系统的能控性和线性系统的能控性和能观性能观性目录目录(1/1)(1/1)目目 录录概述概述4.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性4.2 线性连续系统的能观性线性连续系统的能观性4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性线性定常离散系统的能控性和能观性4.4 对偶性原理对偶性原理4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消线性系统的结构性分解和零极点相消4.6 能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形4.7 实现问题实现问题4.8 Matlab问题问题本章小结本章小结线性系统的结构分解和零极点相消线性系统的结构分解和零极点相消(1/3)4.5 4.5 线性系统的结构

2、分解和零极点相消线性系统的结构分解和零极点相消q 一个系统状态不完全能控,意味着系统的部分状态不能控,但也存在部分状态能控。 到底哪一部分状态能控,哪一部分状态不能控的问题,对于控制系统的分析、设计和综合,显然是至关重要的。 由前面的结论已知,系统的非奇异线性变换不改变能控性,那么是否存在线性变换后将系统的状态变量中完全能控的部分和完全不能控的部分分离开来? 对状态不完全能观的系统, 也存在类似的区分哪些状态能观,哪些状态不能观的问题。线性系统的结构分解和零极点相消线性系统的结构分解和零极点相消(2/3)难点喔难点喔! 也存在能否基于线性变换将系统的完全能观部分和完全不能观部分分离开来? 系统

3、状态空间模型的状态能控性/能观性问题是系统的两个不变的结构性问题,描述了系统的本质特征的问题, 它们与描述系统的输入输出特性的传递函数阵之间有何联系?q 本节主要讨论上述关于线性系统状态空间结构性的2个问题,即: 状态空间模型的结构性分解以及 传递函数阵与能控性/能观性的关系。线性系统的结构分解和零极点相消线性系统的结构分解和零极点相消(3/3)q 本节讨论的主要问题: 基本概念: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极点相消 基本方法: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极点相消判据q 本节讲授顺序为: 能控性分解能控性分解 能观性分解能观性分解 能控能观分解能控能观分解 系统传递函数中的

4、零极点相消定理系统传递函数中的零极点相消定理能控性分解能控性分解(1/18)能控性分解定理能控性分解定理状态不完全能控,其能控性矩阵的秩为rankQc=rankB AB An-1B=ncn则存在非奇异线性变换x=Pc ,使得状态空间模型可变换成4.5.1 能控性分解能控性分解q 对状态不完全能控的线性定常连续系统,存在如下能控性结构分解定理。q 定理4-17 若线性定常连续系统ABC xxuyxx 能控性分解能控性分解(2/18)其中nc维子系统21211212212112100 xxyuxxxxCCBAAAuxxx12121111BAA是状态完全能控的。 而n-nc维子系统2222xxA是状

5、态完全不能控的。能控性分解能控性分解(3/18)能控性分解定理证明能控性分解定理证明利用能控性矩阵的列来构造变换矩阵P导出变换矩阵P的列与变换矩阵的行的关系进行线性变换,证明结论导出矩阵AP的列与变换矩阵P的列的关系q 证明 下面的证明是构造性证明,即不仅证明本定理的结论,还构造出能进行能控结构分解的线性变换矩阵。 以下证明过程的证明思路为:能控性分解能控性分解(4/18)能控性分解定理证明能控性分解定理证明的秩为nc 。 即Qc中任何的列都可以由这nc个线性无关列向量p1, p2, 线性表示。cnp 于是从Qc中总可以找到nc个线性无关列向量p1,p2, ,这nc个列向量构成能控性矩阵Qc的

6、一组基底,cnp证明过程证明过程: 由于系统状态不完全能控,其能控性矩阵Qc=B AB An-1B能控性分解能控性分解(5/18)其中q1,q2,qn为n维行向量。ncqqqP.211 同样,还可以找到n-nc个线性无关向量 使如下线性变换矩阵:nnppc,.,1.11nnncppppPcc为非奇异的。 将变换矩阵Pc选作能控性分解的变换矩阵,则可以作变换x=Pc 。 设Pc的逆矩阵可以记成x 能控性分解能控性分解(6/18) 由于p1,p2, 为从能控性矩阵Qc中挑出来的一组线性无关的列向量并且组成Qc的一组基底,则Ap1, Ap2, A ,亦属于矩阵AQc中的一组列向量。cnpcnp110

7、nnniiiAa A 由于Pc-1Pc=I,因此01ijijq pij 根据凯莱-哈密顿定理能控性分解能控性分解(7/18)即矩阵AQc的列都可由矩阵Qc的列线性表示出来。 因此, Ap1, Ap2,A 都可由矩阵Qc的列线性表示出来,也必然可由Qc的基底p1,p2, 线性表示出来。cnpcnp 故.1022niiincBAaBAABBABAABAQ 所以,由式(4-52),必然有qiApj=0 inc+1,jnc0(452)1ijijq pij能控性分解能控性分解(8/18).21211nnccpppAqqqAPPA 因此,有能控性分解能控性分解(9/18)nnnnnnnnnnnnnnnnn

8、nnnnnnnApqApqApqApqApqApqApqApqApqApqApqApqApqApqApqApqcccccccccccccccc.11111111111111112212111111111111110.0.0.0.0.AAAApqApqApqApqApqApqApqApqApqApqApqApqnnnnnnnnnnnnnnnnnnccccccccccccqiApj=0inc+1,jnc能控性分解能控性分解(10/18) 由能控性矩阵Qc的定义可知,B矩阵的列也可由Qc的基底p1, p2, 线性表示出来。cnp011BBPBc 至此已证明了,当选择变换矩阵为Pc时,系统可分解为状态

9、变量分别为 和 的两个子系统。1x2x 显然,以 为状态变量的n-nc维子系统是状态完全不能控的。2x 下面将证明以 为状态变量的nc维子系统 是状态完全能控的。),(111BA1x 因此,仿照上述证明,我们亦可证明得能控性分解能控性分解(11/18)q 由于线性变换不改变系统的状态能控性,因此线性变换后的能控性矩阵的秩应等于变换前的能控性矩阵的秩。 所以有cnnncnBABABBABABBABABQ.rank0.00.rank.rankrank11111111111111111能控性分解能控性分解(12/18) 根据凯莱-哈密顿定理,由上式又可推得q 通过对定理4-17的证明,对系统的能控性

10、分解得到一个重要结论,即 对任何一个状态不完全能控的线性定常连续系统, 总可通过线性变换的方法将系统分解成完全能控的子系统和完全不能控的子系统两部, 且变换矩阵Pc的前nc列必须为能控性矩阵Qc的nc个线性无关的列或它的一组基底。cnnnBABABBABABc.rank.rank1111111111111111即 和 为能控矩阵对,亦即nc维子系统 是状态完全能控的。11A1B1x能控性分解能控性分解(13/18)q 对于这种状态的能控性结构分解情况如下图所示。 1B 11A12A22A2C1C能控部分 不能控部分 u + 1x2x2x1xy1 + + + + + y2 y 能控性分解能控性分

11、解(14/18)q 由于线性变换不改变系统传递函数阵,所以有1111111221112111221211211)(00*00)()()(BAsICBAsIAsICCBAAAsICCBAsICsGsG能控性分解能控性分解(15/18) 因此,由上式可归纳出一结论: 状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控性分解后能控子系统的传递函数阵。 由于状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控子系统的传递函数阵,则其极点必少于n个,v 即系统存在零极点相消现象。能控性分解能控性分解(16/18)例例4-15q 例4-15 试求如下系统的能控子系统:q 解 由于xyuxx111 100341010121320

12、31000410rankrankrank2BAABBQc故该系统为状态不完全能控且能控部分的维数为2。能控性分解能控性分解(17/18)其中前两列取自能控性矩阵Qc,后一列是任意选择的但保证变换矩阵为非奇异的。 该变换矩阵的逆矩阵为031100010cP0100011031cP 为分解系统,选择变换矩阵能控性分解能控性分解(18/18)则能控子系统的状态方程为u0122414032121xxxxx 121 00110024124011ccccCPCBPBAPPA 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为能观性分解能观性分解(1/10)能观性分解定理能观性分解定理状态不完全能观,其能观性矩阵的秩为nn

13、CACACQono1.rankrank4.5.2 能观性分解q 类似于能控性分解,对状态不完全能观的线性定常连续系统,有如下能观性结构分解定理。q 定理定理4-18 若线性定常连续系统xyuxxCBA能观性分解能观性分解(2/10)其中no维子系统21121212221112100 xxyuxxxxCBBAAA1111111xyuxxCBA是状态完全能观的。 而n-no维子系统uxxx22221212BAA是状态完全不能观的。则存在非奇异线性变换x=Pox,使得状态空间模型可变换为能观性分解能观性分解(3/10)noqqqP.211其中前no个行向量q1, 为能观性矩阵Qo的no个线性无关的行

14、向量, ,qn为任意选择的n-no个线性无关的行向量但必须使变换矩阵Po-1可逆。onq1onqq 定理4-18的证明可以仿照定理4-17的证明给出。 对能观性分解,能将状态不完全能观的线性定常连续系统进行能观性分解的变换矩阵Po的逆阵可选为能观性分解能观性分解(4/10)q 定理4-18表明: 任何状态不完全能观的线性定常连续系统, 总可通过线性变换将系统分解成完全能观子系统和完全不能观子系统两部, 且变换矩阵Po的逆阵Po-1前no行必须为能观性矩阵Qo的no个线性无关的行或它的一组基底。q 对于这种状态的能观性结构分解情况如下图所示。能观性分解能观性分解(5/10) 1B 11A21A2

15、2A1C能观部分 不能观部分 + 1x2x2x1xy1 2B+ + + + + y u 能观性分解能观性分解(6/10)q 由于线性变换不改变系统传递函数阵,所以1111121122111121122211111)(*0000)()()(BAsICBBAsIAsICBBAAAsICBAsICsGsGq 因此,由上式可归纳出一结论: 状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观性分解后能观子系统的传递函数阵。 由于状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观子系统的传递函数阵,则其极点必少于n个, 即系统存在零极点相消现象。能观性分解能观性分解(7/10)能观性分解能观性分解(8/10)例例4-16q

16、例4-16 试求如下系统的能观子系统:q 解 由于xyuxx2-100113-103-011-00324-32-32-12-10rankrankrank2CACACQO故该系统为状态不完全能观且能观部分的维数为2。列3=列1-2列2能观性分解能观性分解(9/10) 为分解系统,选择变换矩阵其中前两行取自能观性矩阵Qo,后一行是任意选择的但保证变换矩阵为非奇异的。 于是变换矩阵的逆矩阵为10032-12-101oP100201112oP 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为能观性分解能观性分解(10/10)则能观子系统的状态方程为212121112110 xxxxxx01yu001 01-11-0

17、102-1-01011ooooCPCBPBAPPA能控能观分解能控能观分解(1/14)4.5.3 能控能观分解能控能观分解q 对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统,类似于能控性分解和能观性分解过程构造变换矩阵的方法,可构造系统的 能控又能观子空间、 能控但不能观子空间、 不能控但能观子空间以及 不能控又不能观子空间等4个子空间的基底,组成变换矩阵对系统作线性变换,将系统分解为4个子系统:能控能观分解能控能观分解(2/14) 能控又能观子系统、 能控但不能观子系统、 不能控但能观子系统以及 不能控又不能观子系统。q 在一般情况下(并不是总有效),能控能观分解可以 先对系统作能控分解后,

18、 再分别对能控和不能控子系统作能观分解,可得到能控能观分解的4个子系统。 分解过程可如图4-8所示。能观分解能控能观分解能控能观分解(3/14)即系统能控分解能控子系统不能控子系统能观分解能控又能观子系统能控但不能观子系统不能控但能观子系统不能控又不能观子系统q 因此, 关于系统能控能观结构分解有如下定理。也可先作能观分解,再作能控分解。分解结果与先能控分解后能观分解的结果完全等价 图图4-8 能控能观分解过程能控能观分解过程能控能观分解能控能观分解(4/14)能控能观分解定理能控能观分解定理状态不完全能控又不完全能观,则一定存在一个线性变换,使得变换后的状态空间模型为:00000000000

19、4321422143214434332422141312114321xxxxyuxxxxxxxxCCBBAAAAAAAAAq 定理定理4-19 若线性定常连续系统xyuxxCBA能控能观分解能控能观分解(5/14)uxxxxx14143132121111,:BAAAAnoc即系统可分解成如下四个子系统:1. 能控但不能观子系统2. 能控又能观子系统22224242222,:xyuxxxCBAAoc3. 不能控又不能观子系统4. 不能控但能观子系统4343333,:xxxAAnonc4444444,:xyxxCAonc能控能观分解能控能观分解(6/14)q 定理4-22可直接由能控分解定理(定理

20、4-20)和能观分解定理(定理4-21)证明。q 一般直接确定能控能观分解的变换阵Pco比较困难,一般情况下,可采取如图4-8所示的通过逐次能控、能观分解过程中的变换阵确定。 因此,能控能观分解的变换阵Pco为式中,Pc为先进行的能控分解的变换阵； Pc,o和Pnc,o分别为对能控分解所得的能控与不能控子系统进行的能观分解的变换阵。,000000c oc ococcnc onc oIPPPPPPPI能控能观分解能控能观分解(7/14) 类似地,能控能观分解的变换阵Pco也可为式中,Po为先进行的能观分解的变换阵； Po,c和Pno,c分别为对能观分解所得的能观子系统和不能观子系统进行的能控分解

21、的变换阵。,000000o co ccooono cno cIPPPPPPPI能控能观分解能控能观分解(8/14)例例4-17q 例例4-17 已知系统是状态不完全能控和不完全能观的,试将该系统按能控性和能观性进行结构分解。 q 解解 (1) 先对系统进行能控分解。 按照能控分解方法,可构造能控分解矩阵为001110310130012uy xxx100110011cP能控能观分解能控能观分解(9/14) 经变换后,系统按能控性分解为 由上式可见,不能控子空间仅1维且是能观的,故无需再进行分解,为系统分解所得的不能控但能观的子系统。011112200010112ccncnccncuy xxxxx

22、x能控能观分解能控能观分解(10/14)(2) 将如下能控子系统c按能观性进行分解。 按照能观分解方法,可构造能观分解矩阵及其逆矩阵为则可将能控子系统c按能观性分解为10111122011ccnccuy xxxx1,1111,0101c oc oPP,1,1011112010coconcc noc nococ noxxxuxxxyx 能控能观分解能控能观分解(11/14)(3) 综合以上两次变换结果,系统按能控和能观分解为表达式 式中,状态空间分解为 所示的3个子空间: 能控又能观子系统, 能控但不能观子系统, 不能控但能观子系统；相应的变换矩阵为110111200010102xxuyx ,1

23、0011011001100101200011001011c ococPPPI,coc nonc oxxxx能控能观分解能控能观分解(12/14) 若按顺序 排列分解后各子系统的状态变量,则变换后的状态方程可以变换为如定理所示的状态方程。q 由于线性变换不改变系统的传递函数阵,所以由变换后的系统状态空间模型可得如下传递函数阵,c noconc oxxx能控能观分解能控能观分解(13/14)21222211 -441 -331 -221 -1142211443433242214131211421)-(00)-(000*)-(00*)-(0*)-(00000000000-00)-()()(BAsIC

24、BBAsIAsIAsIAsICCBBAAAAAAAAAsICCBAsICsGsG能控能观分解能控能观分解(14/14)因此,由上式可归纳出一结论: 状态不完全能控又不完全能观系统的传递函数阵等于其能控能观分解后能控又能观子系统的传递函数阵。 由于状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观子系统的传递函数阵,则其极点必少于n个, 即系统存在零极点相消现象。 由于系统不能控和不能观测的部分,不会出现在传递函数中,所以,传递函数仅是系统的部分描述。 而状态空间描述则既包含能控、能观测部分,也包含不能控、不能观测部分,所以是系统的完全描述。系统传递函数中的零极点相消定理(1/11)4.5.4 系统传递函

25、数中的零极点相消定理q 由上述系统的三种结构分解可知, 对状态不完全能控或不完全能观的系统,其传递函数阵等于分解后能控能观子系统的传递函数阵, 其极点数少于原系统状态变量的个数n,即系统的传递函数阵中存在零极点相消现象。 究竟状态空间模型的状态能控性与能观性与系统的传递函数阵之间有何关系? 下面的定理就揭示了这一点。系统传递函数中的零极点相消定理(2/11)极点相消定理极点相消定理q 定理4-20 SISO线性定常连续系统状态空间模型的传递函数中没有零极点相消的充要条件为,该表达式的状态既完全能控又完全能观。q 证明 由于 线性变换不改变能控性和能观性,亦不改变传递函数, 而且每个状态空间模型

26、都可变换成特征值标准型(对角线/约旦标准型),因此,不失一般性,下面仅对特征值标准型完成证明过程。 证明过程的思路证明过程的思路为:利用块矩阵计算方法,计算特征值标准型的传递函数阵计算该传递函数阵中各特征值对应的因子式分析各因子式不存在有零极点相消的充要条件系统传递函数中的零极点相消定理(3/11)极点相消定理证明极点相消定理证明q 由于对角线标准型可以视为约旦标准型在每个约旦块的维数为1时的一种特例,下面仅讨论约旦标准型情况,即系统各矩阵可以表示为lllCCCCBBBBJJJA.00.0.00.0212121系统传递函数中的零极点相消定理(4/11)其中Ji(i=1,2,l)为特征值i的mi

27、mi( mi=n)约旦块;块矩阵Ji、Bi和Ci分别可表示为li 1iiiimiiiimiiiimmiiiicccCbbbBJ,2,1 ,21.00.0.00.1系统传递函数中的零极点相消定理(5/11)liiiilllBJsICBBJJsICCBAsICsG1111111)-(.0.0.-.)-()(则系统的传递函数为即系统的传递函数阵为各个约旦子系统的传递函数阵之和。系统传递函数中的零极点相消定理(5/11)liimmiimilimiiiiiimiiiliiiisscbbbbsIcccBJsICsGiiiii111 ,1,211,2,1 ,11)-(1/)-( /.00.0.00.1-.)

28、-()(其中 表示传递函数中幂次低于mi的x幂级数之和。)(1xim q 将各个约旦子系统的传递函数阵展开,有由于 分别是SISO系统(A,B,C)中A的约旦块所对应的B的分块的最后一行和C的分块的第一列的元素,因此由线性定常连续系统能控能观性的模态判据知:1 ,imicbi和系统传递函数中的零极点相消定理(6/11)q 下面分每个特征值仅有一个约旦块和某个特征值有多于一个约旦块这两种情况来讨论。1. 当约旦标准型中每个特征值仅有一个约旦块时,式(4-58)中G(s)的表达式的l个特征值i互异。 由式(4-58)可知,若传递函数G(s)中不存在零极点相消现象,则意味着licbimii,.,2, 101 ,即,1001,2,.,ii mibcil和,111( )/( -)1/( -)(458)iiilmi miimiiG sbcss 系统传递函数中的零极点