第五章矩阵特征问题的求解

1、5.1 引言引言 定义定义5.1 设矩阵设矩阵A, B R n n，若有可逆阵若有可逆阵P，使使 则称则称A与与B相似相似。APPB1定理定理5.1 若矩阵若矩阵A, B R n n且相似且相似，则则（1）A与与B的特征值完全相同的特征值完全相同；（2）若若x是是B的特征向量的特征向量，则则Px便为便为A的特征向量的特征向量。定理定理5.2： 设设A R n n具有完全的特征向量系，即存在具有完全的特征向量系，即存在n个个线性无关线性无关 nDAPP 211其中其中 i为为A的特征值的特征值，P的各列为相应于的各列为相应于 i的特征向量的特征向量。 的特征向量构成的特征向量构成Rn的一组基底的

2、一组基底，则经相似变换可化则经相似变换可化A为为对角阵，即有可逆阵对角阵，即有可逆阵P，使使定理定理5.3 ：A R n n， 1, , n为为A的特征值的特征值，则则 niiniiiaAtr11)( （2）A的行列式值等于全体特征值之积，即的行列式值等于全体特征值之积，即nA 21)det( （1）A的迹数等于特征值之和，即的迹数等于特征值之和，即定理定理5.5.4 设设A R n n为对称矩阵为对称矩阵，其特征值其特征值 1 2 n，则则 （1）对任意对任意A R n，x0，1),(),( xxxAxn),(),(min0 xxxAxxn（2）),(),(max01xxxAxx（3）定理定

3、理5.5 （Gerschgorin圆盘定理圆盘定理） 设设A R n n，则则niaaznijjijii, 2, 1,1 表示以表示以aii为中心为中心，以以 半径为的复平面上的半径为的复平面上的n个圆盘个圆盘。 nijjija1（2）如果矩阵如果矩阵A的的m个圆盘组成的并集个圆盘组成的并集S（连通的连通的）与其余与其余（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，n m个圆盘不连接个圆盘不连接，则则S内恰包含内恰包含m个个A的特征值的特征值。 5.2 乘幂法与反幂法乘幂法与反幂法5.2.1 乘幂法乘幂法定理定理5.6 设设A Rn n有完全特征向量系有完全

4、特征向量系，若若 1, 2, n为为A的的n个特征值且满足个特征值且满足n21 对任取初始向量对任取初始向量x(0) Rn，对乘幂公式对乘幂公式)1()( kkAxx确定的迭代序列确定的迭代序列xk，有下述结论有下述结论： （1）当当 时时，对对i = 1, 2, , n211)()1(lim kikikxx收敛速度取决于收敛速度取决于 的程度的程度，r 2 n ，且，且 | 2 | | n |。取取 0（常数），用矩阵（常数），用矩阵B = A - 0I 来代替来代替A进行乘幂迭代。进行乘幂迭代。0 ii (i = 1, 2, , n)iiiiiivvAvvIABv)()(000 设设 i

5、(i = 1, 2, , n)为矩阵为矩阵B B 的特征值，则的特征值，则B与与A特征值之间特征值之间应有关系式：应有关系式：关于矩阵关于矩阵B的乘幂公式为的乘幂公式为 )0(0)0()()(xIAxBxkkk 为加快收敛速度，适当选择参数为加快收敛速度，适当选择参数 0，使使kjnj01020max)( 达到最小值。达到最小值。 jjnjjkvv201021101)( jkjnjjkvv12111 当当 i (i = 1, 2, , n)为实数，且为实数，且 1 2 n时，取时，取)(212*0n 则为则为 ( 0) 的极小值点。这时的极小值点。这时122122122*01*02221212

6、121 nnnn5.2.3 反幂法反幂法若若 A 有有| 1 | | 2 | | n |，则，则 A 1 有有11111 nnA 1 的主特征根的主特征根 A的绝对值最小的特征根的绝对值最小的特征根)()1(kkxAx )(1)1(kkxAx 如何计算如何计算解线性方程组解线性方程组对应同样一组特征向量。对应同样一组特征向量。设设A Rn n可逆，则无零特征值，由可逆，则无零特征值，由)0( xxAx 有有 xxA 11 规范化反幂法公式为规范化反幂法公式为 ), 1, 0()max()()1()()()(kyAxxxykkkkk如果考虑到利用原点移位加速的反幂法，则记如果考虑到利用原点移位加

7、速的反幂法，则记B = A - 0I，对任取初始向量对任取初始向量x(0) Rn， ), 1, 0()max()()1()()()(kyBxxxykkkkk5.3 子空间迭代法子空间迭代法斯密特斯密特（Schmidt）正交化过程：正交化过程： 设设 1， 2， 3 为为R3上的三个线性无关的向量，上的三个线性无关的向量，令令 ，则，则 1为单位长度的向量，再令为单位长度的向量，再令2111222211222,),( 可以验证可以验证（ 1, 2）= 0，即，即 1与与 2正交。若令正交。若令22311333),(),( 则则0),(),(2313 2333 即与即与 1, 2正交，将其单位化为

8、正交，将其单位化为于是向量组于是向量组 1, 2, 3构成构成R3上一组标准正交基，且上一组标准正交基，且232322131221321321),(),(),(,QR其中其中Q = 1, 2, 3为正交矩阵，为正交矩阵，R是上三角阵。是上三角阵。对对n维向量空间，设维向量空间，设 1, , n为为Rn上上n个线性无关的向量，个线性无关的向量，类似有类似有11 2111 11222),( 2222 22311333),(),( 2333 jjnnjnn ),(11 2nnn 232322322113122111),(),(),(),(),(),(,nnnnnn 即即QR Q为正交阵为正交阵，R

9、为上三角阵为上三角阵将将n个线性无关向量变换为个线性无关向量变换为n个两两正交向量的方法称为个两两正交向量的方法称为 斯密特正交化方法。斯密特正交化方法。斯密特正交化过程将可逆阵斯密特正交化过程将可逆阵A分解为正交阵与上三角阵的乘积。分解为正交阵与上三角阵的乘积。5.4 对称矩阵的雅克比对称矩阵的雅克比 (Jacobi) 旋转法旋转法 1预备知识预备知识1）若若B是上（或下）三角阵或对角阵，是上（或下）三角阵或对角阵，则则B的主对角元素即是的主对角元素即是B的特征值的特征值。2）若矩阵若矩阵P满足满足PTP = I，则称则称P为正交矩阵为正交矩阵。显然显然PT = P-1，且且P1, P2,

10、是正交阵是正交阵时时，其乘积其乘积P = P1P2Pk仍为正交矩阵仍为正交矩阵。3）称矩阵称矩阵jiPij11cossin11sincos11为旋转矩阵为旋转矩阵 2雅克比方法雅克比方法设矩阵设矩阵A Rn n是对称矩阵是对称矩阵，记记A0 = A，对对A作一系列旋转相似变换作一系列旋转相似变换), 2, 1(1 kPAPATkkkk其中其中Ak (k = 1, 2,)仍是对称矩阵仍是对称矩阵，Pk的形式的形式 jiPk11cossin11sincos11 )()()()(kijkijkjjkiipppp sin cos)()()()( kqpkpqkqqkppppppqpjippkijkii

11、,01)()( Pk是一个正交阵是一个正交阵，我们称它是我们称它是（i, j）平面上的旋转矩阵平面上的旋转矩阵 PkAk-1Pk只改变只改变A的第的第i行行、j行行、i列列、j列的元素列的元素；Ak和和Ak-1的元素仅在第的元素仅在第P行（列）和第行（列）和第q行（列）不同行（列）不同，它们之间有如下的关系它们之间有如下的关系：qpiaaaaaaaakqikiqkipkiqkpikiqkipkip,cossinsincos)()1()1()()()1()1()( )sin(coscossincoscossin2sinsincossin2cos22)1()1()1()(2)1()1(2)1()(

12、2)1()1(2)1()( kpqkqqkppkpqkqqkpqkppkqqkqqkpqkppkppaaaaaaaaaaaa我们选取我们选取Pk，使得使得 ，因此需使因此需使 满足满足0)(kpqa)1()1()1(22tg kqqkppkpqaaa 将将 限制在下列范围内限制在下列范围内44 如果如果 0)1()1( kqqkppaa0)1( kpqa4 0)1( kpqa4 直接从三角函数关系式计算直接从三角函数关系式计算sin 和和cos ，记，记)1()1()1()1()1(2sinkijkjjkiikjikiiaaaxaay则则yx2tg当当 时，有下面三角恒等式：时，有下面三角恒等

13、式：422222tg112cos1cos2yxy于是于是 2221cos2yxy采用下面公式计算采用下面公式计算 sin 222cos2tgcossin22sinyxx特征向量特征向量的的计算计算P0 = ITkkkPPP1qpjPPPPPPPPkijkijkiqkipkiqkiqkipkip,cossinsincos)1()()1()1()()1()1()(记记则则 Pk 的元素为的元素为：算法：算法： 1从从A(k-1)中找出绝对值最大元素中找出绝对值最大元素qpakqp,)1(,2若若 ，则为对角阵，停则为对角阵，停 )1(kpqa ) 1(kpqa若若 )1()1(kqqkppaay（1）令令 )1()1()1(sign2kqqkppkpqaaax222cosyxy（2） 当当 y = 0时，时， 421cossin2sin22yxx2cos121cosC（3） CS22sinsin（4） qiiqipiqpiiqipipaCasaaaSaCaaqppqqqpppqqqpqppqqqqpqppppaSCaSCaaaCaSCaSaaSaSCaCaa)()(22222222（5）计算特征向量计算特征向量qpjPPCPSPPSPCPPijijiqipiq