经济数学微积分函数的连续性

1、一、函数的连续性的概念一、函数的连续性的概念二、函数的间断点二、函数的间断点四、小结四、小结 思考题思考题第七节第七节 函数的连续性函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性一、函数的连续性(continuity)1.函数的增量函数的增量(increment).1221的的增增量量称称为为变变量量则则变变到到终终值值从从它它的的初初值值设设变变量量uuuuuuu 注意：注意：可可正正可可负负；u )1(.)2(的乘积的乘积与与是一个整体，不能看作是一个整体，不能看作uu ，变变到到从从，函函数数；相相应应地地的的增增量量在在点点为为自自变变量量称称时时，变变到到内内由由在在当当内内有

2、有定定义义在在设设函函数数)()(),(,),()(0000000 xxfxfyxxxxxxxUxxUxf .)()()(00的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在),(0 xU内有定义内有定义, ,如果当如果当自变量的增量自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函数的增量对应的函数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称那末就称函函数数)(x

3、f在在点点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. . ,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定定义义 2 2 设设函函数数)(xf在在),(0 xU内内有有定定义义, ,如如果果函函数数)(xf当当0 xx 时时的的极极限限存存在在, ,且且等等于于它它在在点点0 x处处的的函函数数值值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那那末末就就称称函函数数)(xf在在点点0 x连连续续. . :定定义义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当 从从这这个个定定义义我我们们可

4、可以以看看出出，函函数数)(xf在在点点 0 x处处连连续续，必必须须满满足足以以下下三三个个条条件件： （1）函函数数)(xf在在点点 0 x处处有有定定义义； （2）极极限限 )(lim0 xfxx存存在在，即即 )(lim)(lim00 xfxfxxxx （3）)()(lim00 xfxfxx . . 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处处连连续续在在试试证证函函数数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0

5、fxfx 例例2 2.),(sin内连续内连续在区间在区间函数函数证明证明 xy证证),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都都是是连连续续的的对对任任意意函函数数即即 xxy3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxf 定理定理.)(),()0(,),)(0000处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定

6、定义义在在若若函函数数xxfxfxfbxxf 000000lim0 xfxfxfxfxfxx例例3 3.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.32),(1,)

7、(处左连续）在右端点（处右连续；）在左端点（内连续；）函数在开区间（上连续：在闭区间函数bxaxbabaxf连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.时时，当当为为其其定定义义域域为为基基本本初初等等函函数数由由第第四四节节可可知知，DxDxf 0,)( )(lim0 xfxx).(0 xf5.基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性.定义域内连续定义域内连续所以基本初等函数在其所以基本初等函数在其二、函数的间断点(points of discontinuity).)(,)(00的的间间断断点点为为称称点点则则的的连连续续点点不不是是函函数数如如果果点点xf

8、xxfx：有以下三种情形有以下三种情形的间断点的间断点为为,)(0 xfx;)()1(0处处没没有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0不不存存在在xfxx).()(lim)(lim,)()3(0000 xfxfxfxxfxxxx 但但存在存在处有定义处有定义在点在点1.可去间断点可去间断点(a removable discontinuity).)()(),()(lim)(的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或，但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx00000 例例4 4.,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨

9、论函数11111012 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1) 1 ( f, 2)01 ( f, 2)01 ( f2)(lim1 xfx),1 (f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充可去间断可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义处函数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例4中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112例例5 5.0, 0,1, 0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f

10、),00()00( ff.0为为函函数数的的间间断断点点 xoxy2.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.都都存存在在函函数数在在该该点点左左、右右极极限限左右极限相等，则为可去间断点；左右极限相等，则为可去间断点；左右极限不相等，则为跳跃间断点左右极限不相等，则为跳跃间断点例例5 5中的间断点为跳跃间断点中的间断点为跳跃间断点3.第二类间断点第二类间断点.)(

11、,)(00的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这时也称其为无穷间这时也称其为无穷间例例7 7.01sin)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x注意注意 函数的间断点可能

12、不只是个别的几个点函数的间断点可能不只是个别的几个点.这时也称其为振荡间断点这时也称其为振荡间断点 , 0, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlets function)在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. ,)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxxxf仅在仅在x=0处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处处间断.o1x2x3xyx xfy ,)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxf11在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点

13、处都间断, 但其绝对值处但其绝对值处处连续处连续.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:例例8 8.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf, 1 a定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例

14、如例如,),(cos,sin内内连连续续在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx三、初等函数的连续性1. 连续函数的和、差、积、商的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性定理定理2 2 严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数严格单调递增（递减）的连续反函数 例如例如,2,2sin上上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.),(cot,

15、arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.2. 反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理例例9,), 0()0,(1内内连连续续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内内连连续续在在 xy定理定理 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是内都是连续的连续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间

16、定义区间是指包含在定义域内的区间. . 初等函数的连续性初等函数的连续性1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的去心邻域内没有定义这些孤立点的去心邻域内没有定义.注意注意例例1010. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例1111.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx注意注意2. 初

17、等函数在连续点求极限可用初等函数在连续点求极限可用代入法代入法.四、小结 思考题1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x4. 初等函数的连续性初等函数的连续性（1）初等函数在其定义区间上连续；）初等函数在其定义区间上

18、连续；（2）初等函数的连续性在求极限时的应用：）初等函数的连续性在求极限时的应用： 代入法。代入法。思考题思考题 若若 )(xf在在 0 x 连续，则连续，则| )(|xf、)(2xf在在 0 x 是否连续？又若是否连续？又若| )(|xf、)(2xf在在 0 x连续，连续，)(xf 在在 0 x是否连续？是否连续？ 思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连连续续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都连连续续.但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续, 但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续思考题思考题 设设xxfsgn)( ，21)(xxg ，试研，试研究复合函数究复合函数)(xgf与与)(xfg的