9二项分布及其应用-拔高难度-讲义

1、二项分布及其应用引入姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0. 8，假设他每次命中率相同，请问他 4 投 3 中的概率是多少？问题1:在4次投篮中姚明恰好命中 问题2:在 4 次投篮中姚明恰好命中 问题3:在 4 次投篮中姚明恰好命中 问题 4:在 4次投篮中姚明恰好命中 问题5:在n次投篮中姚明恰好命中1 次的概率是多少？2 次的概率是多少？3 次的概率是多少？4 次的概率是多少？ k 次的概率是多少？解读1、条件概率(1 )条件概率的定义：对于任何两个事件A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A) ”来表示.(2)条件概率公式：P A I

2、 BPBAPA 其中PA 0AIB称为事件 A 与 B 的积或交(或积).把由事件 A 与 B 的交(或积)，记做 D AI B (或 D AB ).(3)条件概率的求法：利用定义，分别求出P A 和 p B A，得 P B AP AIB . P A借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即 nA 再求事件 n AI B，得n AI Bn A2、相互独立事件同时发生的概率(1)事件的独立性 ：如果事件 A (或 B)是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响, P(B|A) P(B)，这时，我们称两个事件 A , B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事 件.如果事件 A

3、 与 B 相互独立，那么事件 AgB 发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即0各对应项的值，X 服从参数为 n , p 的二项分布，记作P AgB P A gP B .如果事件 A , A2,，An相互独立，那么这 n 个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积，即 P(A I A2I L I An) P(AJ P(A2)L P(An)，并且上式中任意多个事 件 A 换成其对立事件后等式仍成立.(2)相互独立”与事件互斥”两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型).两事件相互独立不一定互斥.3、二项分布(1

4、)独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及 A，并且事件 A 发生的概率相同在相同的条件下，重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)Cnpk(1 p)n k(k 0,1, 2, L , n).(2 )二项分布若将事件 A 发生的次数设为 X ,事件 A 不发生的概率为 q 1 p ,那么在 n 次独立重复试验 中，事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(X k) V pkqn k，其中 k 0, 1, 2, L , n .于是得到 X(qnp)0 OnCnp q11 n

5、 1.Cn p q Lk k n kCnp qn nL Cnp q如果事件 A 与 B 相互独立，那么事件 AgB 发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即0X01knP00 nCnp q11 n 1Cnp qk k n kCnp qnn 0Cnp q的分布列由 于 表 中 的 第 二 行恰 好 是项 展 开 式典例精讲一选择题(共 10 小题)1.(2018 春?抚顺期末)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P,各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.1,P(X=4)vP(X=6),贝UP=()A. 0.7B. 0.62.(2015

6、春？庐江县期末)已知随机变量A. 1B. 23. (2016 秋？武汉期末)已知随机变量14XB (n ,-)，若 D (x)=-，则 P (X=2)334.(2017 春?城北区校级期末)已知随机变量g n满足令n=8 且E服从二项分布B (10, 0.6),则 E (n)和 D (n)的值分别是()A. 6 和 2.4B. 2 和 2.4C. 2 和 5.6D. 6 和 5.66.(2016 春？曲靖校级期末)随机变量g服从二项分布 B(n, p),且 Eg=3,0A.1315B.8113C243D.802431& N (2, 4)，则 D (令 1)=(C. 0.5D. 45.(

7、2016 春？福建月考)已知随机变量1X 服从二项分布 B (4,)，则 D (3X+1)A. 3B. 4C. 9D. 10D$ =20 则 p 等于()21A .B . 一33则 n 和 p 的值分别是（）（3X+2）和 D （3X+2）的值分别是7.（2016 春?邯郸期中）设随机变量=5，则 P （Y 1）为（）91A.216B.818. （2015 春?重庆期末）若随机变量XB (2, p),丫B (4, p),若 P (X 1)65C81D. 1XB （n, p）,其均值是 80,标准差是 4,A.100,B. 200, 0.4C. 100, 0.8D. 200, 0.69. （20

8、14 春?东莞期末）若随机变量X 服从两点分布，其中P (X=0) =1，贝 U EA. 4 和 4B. 4 和 2C. 2 和 4D. 2 和 210.（2014?赣州一模）设随机变量 X 服从二项分布 XB1(5,-),贝 U 函数 f (x)=x2+4x+X 存在零点的概率是（5A -31C -32.填空题（共5 小题）11 . （2017 春？福州期末）若B(n, p)且 E ( $ =3，3D(e =8，贝 u p 仁=)91的值为_ .12.（2013 春?鼓楼区校级期末）某篮球运动员在三分线外投球的命中率是2，他投球 5 次，恰好投进 2 个的概率是_ .113._（2015 春

9、？珠海期末）已知随机变量 B （6,-）,则 E （2 =_ .314._ （2015 春？曲靖校级期中）设匕B （n, p）, E （ =12, V （ =4,则 n 的 值是.215.（2017 春?兴化市校级月考）已知随机变量 X 服从二项分布 XB （6,-）,3贝U P （X=2）的值为_ .三.解答题（共 4 小题）16.（2013 秋?宜昌期末）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是3，乙31胜的概率是-，不会出现平局.（1）如果两人赛 3 局，求甲恰好胜 2 局的概率和乙至少胜 1 局的概率；（2）如果采用五局三胜制（若甲、乙任何一方先胜 3 局，则比赛结束，结果为 先胜

10、3 局者获胜），求甲获胜的概率.117.（2016 秋?清城区期末）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近 50 天的统计结果如下:日销售量11.52天数102515频率0.2ab若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立.(I)求 5 天中该种商品恰好有两天的销售量为 1.5 吨的概率；(U)已知每吨该商品的销售利润为 2 千元，X 表示该种商品某两天销售利润的 和(单位：千元)，求 X 的分布列和数学期望.18. (2015 秋？渭城区校级期末)五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项 优惠活动活动规则如下：消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券.(假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的 边界时，重新转一次)指针所在的区域及对应的返券金额见右上表例如： 消费 218 元，可转动转盘 2 次，所获得的返券金额是两次金额之和.(1)已知顾客甲消费后获得 n 次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为 p，每次转动转盘的结果相互独立，设E为顾客甲转动转 盘指针落在区域边界的次数，E的数学期望 EE丄，标准差空11，求 n、p2550的值；(2)顾客乙消费 280 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为 (元)