线性目标函数最值

1、简单的线性规划 “简单的线性规划简单的线性规划”是在学习了直线方程的基础是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是大纲对上，介绍直线方程的一个简单应用，这是大纲对数学知识应用的重视数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决方法较成熟、应用较广泛的一个分

2、支，并能解决科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实际问题际问题. 简单的线性规划p 中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法实际问题提供了一种重要的解题方法数学建模法数学建模法.通通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应

3、用，培养学生学习数学的兴趣、应决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。用数学的意识和解决实际问题的能力。回顾二元一次不等式表示平面区域 由于对在直线由于对在直线ax+by+c=0同同一侧所有点一侧所有点(x，y)，把它的坐标，把它的坐标(x，y)代入代入ax+by+c，所得的实，所得的实数的符号都相同，故只需在这条数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一特殊点直线的某一侧取一特殊点(x0，y0)以以ax0+by0+c的正负的情况便可的正负的情况便可判断判断ax+by+c0表示这一直线表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当哪一侧的平面区域，特殊地，当

4、c0时常把原点作为此特殊点时常把原点作为此特殊点二元一次不等式表示的平面区域Oxy 在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合(x，y)|x+y-1=0是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-10的解为坐标的点的集合(x，y)|x+y-10是什么图形? 11x+y-1=0探索结论 结论：二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c0 x+y-10 xyo-34二元一次不等式表示平面区域例例1 画出不等式2x+y-60表示的平面区域。Oxy36注意：把直把直线

5、画成虚线以线画成虚线以表示区域不包表示区域不包括边界括边界2x+y-6=0(1)Oxy1 1例例2：根据所给图形，把图中的平面区域：根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：用不等式表示出来：yxO234 2 (2)简单线性规划 设x，y满足以下条件 5x+6y 30 y 3x Y 1 求z=2x+y的最大值与最小值。 思考 1 x，y满足什么条件？ 2 式子z=2x+y中z的几何意义是什么？ 3 当 在何处时z有最大值和最小值？0l复习回顾复习回顾1.在同一坐标系上作出下列直线在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7.02)0(

6、2:平行平行的直线与的直线与形如形如结论结论 yxttyxxYo2.作出下列不等式组的所表示的平面区域作出下列不等式组的所表示的平面区域1255334xyxyx55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy问题问题1 1：x 有无最大（小）值？有无最大（小）值？问题问题2 2：y 有无最大（小）值？有无最大（小）值？问题问题3 3：2 2x+y 有无最大（小）值？有无最大（小）值？1255334xyxyx二二.提出问题提出问题把上面两个问题综合起来把上面两个问题综合起来:1255334xyx

7、yx设设z=2x+y,求满足求满足时时,z的最大值和最小值的最大值和最小值.55x=1x-4y+3=03x+5y-25=01ABCC: (1.00, 4.40)A: (5.00, 2.00)B: (1.00, 1.00)Oxy.1255334. 1所表示的区域所表示的区域先作出先作出 xyxyx02 yx02:. 20 yxl作作直直线线Rttyxll ,2:. 30直线直线平行的平行的作一组与直线作一组与直线直线直线L L越往右平越往右平移移,t,t随之增大随之增大. .以经过点以经过点A(5,2)A(5,2)的的直线所对应的直线所对应的t t值值最大最大; ;经过点经过点B(1,1)B(1

8、,1)的直线所对应的的直线所对应的t t值最小值最小. .3112,12252minmax ZZ线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件： 求z的最大值与最小值。 1255334xyxyx 目标函数（线性目标函数）线性约束条件任何一个满足任何一个满足不等式组的不等式组的（x,yx,y）可行解可行解可行域可行域所有的所有的最优解最优解线性规线性规划问题划问题线性规划线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解； 可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域； 最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行

9、解叫线性规划问题的最优解。 可行域可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)使使z=2x+y取得取得最大值最大值的可行解的可行解 ，且最大值为且最大值为 ；练习练习1.已知二元一次不等式组已知二元一次不等式组x-y0 x+y-10y-1（1）画出不等式组所表示的平面区域；）画出不等式组所表示的平面区域；满足满足 的的解解(x,y)都叫做可行解；都叫做可行解；z=2x+y 叫做叫做 ；（2）设）设z=2x+y，则式中变量，则式中变量x,y满足满足的二元一次不等式组叫做的二元一次不等式组叫做x,y的的 ；y=-1x-y=0 x+y=12x+y=0返回返回(-1,-1)(2,-1)3xy0

10、使使z=2x+y取得取得最小值最小值的可行解的可行解 ，且最小值为且最小值为 ；这两个这两个可行解可行解都叫做问题的都叫做问题的 。线性规划练习练习1: 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：11yyxxy解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值3.当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：

11、 （2 2）移移：在线性目标函数所表示的一组平行：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；点且纵截距最大或最小的直线； （3 3）求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解； （4 4）答答：作出答案。：作出答案。 （1 1）画画：画出线性约束条件所表示的可行域；：画出线性约束条件所表示的可行域； 小小 结结 设设z=2x-y+2,求满足求满足1255334xyxyx变式训练时时,z的最大值和最小值的最大值和最小值.几个结论：几个结论：1、线性目标函数的最大（小）值一般、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。处取得。2、求线性目标函数的最优解，要注意、求线性目标函数