关系映射反演原则的应用0

1、关系映射反演原则的应用 1 1、何谓、何谓“关系映射反演原则关系映射反演原则”？ 关系（relationship)映射（mapping)反演（inversion)原则简称为RMI原则，是指一种分析处理问题的普遍方法或准则,对研究问题的关系结构，采取映射和反演两个步骤去解决问题。 如在日常生活中，一个人对着镜子梳头 这是一种“化归”策略，通过寻找适当的映射进行化归。把不会解的，未知的问题转化为会解的、已知问题，或是说把新问题尽量转化为简单的问题，这些思想其实都从属于RMI原则的内容，RMI原则实际上是把这些常见的感性上的认识上升到了一种方法论意义上的理论高度，并具有普遍的指导意义。 RMI基本内

2、容：令 表示一组原象的关系结构（或原象系统），其中包含着待确定的原象 。令 表示一种映射（一一对应法则），通过它的作用假定原象结构系统 被映成映象关系结构 ，其中自然包括未知原象 的映 象 ，如果有办法把 确定下来， 则通过反演即送映射 也就相应地把 确定下来。R*RxMRx*x*x1MIx 上述结构中， ， ， .等可赋予下述含义： 包含着实际问题的事物关系系统； 包含着理论问题的概念关系系统； 从事物关系到概念关系的形成过程； 从概念返回实际事物的逆过程； 实际问题中的未知目标 的映像。Rx*x*RM1 MI1MIR*RMR*RM*xx 解决实际问题运用RMI原则得到答案的运用过程可用如下

3、框图表示： 如拿破仑作战步阵CR*R*Cx*x1MM1 MI2，数学中的RMI原则 我们在从事数学研究工作时，特别是企图解决实际中提出的应用数学问题时，为了得到待求的答案X，往往用到RMI原则。 因为数学是一门精确的科学，所以只要一进入数学领域，不管是任何方法或原则均可获得比较确切的表述形式。下面我们认识这一系列的名词解释。 1、数学对象 凡可表述为数学概念的事物（对象）个体称之为数学对象 例如，数、量、数列、向量、变数、函数、方程等 特点：一意确定性，逻辑演绎性，客体背景存在性2、关系结构 由一些数学对象构成的集合称之为无关系结构。如果在集合的元素（对象）间存在着某种或某些数学关系则称为关系

4、结构 条件：一是结构系统中对象必须是数学对象，二是对象间的联系必须是数学关系，三是结构系统具有某种整体性或可分解性。3、映射 凡是在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立了一种“对应关系”，就定义了一个映射。特别的，如果是一一对应关系，则称为可逆映射。 假如关系结构S中包含一个未知性状的对象x，是问题中需要确定其形状的目标，则称x为目标原像，在映射a作用下，x*=a(x)便称为目标映像 如果目标映像能通过确定的数学方法从映像关系结构系统S*中确定出来，则称映射方法a为可定映映射数学中RMI原则过程框图如下所示：全过程包括的步骤为： 关系映射定映反演得解关系结构系统映像关系结构S*S可定映映射

5、 目标映像 目标原像x*x逆映射13，若干较简单的例子 7131bap 原像关系7131bap 映像关系baplg71lg31lg求得映像的数值plg求得原像的数值p做加法乘法对数映像lg反对数 RMI原则与数值计算例1、计算 的数值 RMI原则与微积分 例3、试求下列幂级数的和函数 采用如下微商算子D的映射 则 变换成一个较简单的映像： 在原像 满足 的限制下，映射D是一一对应，其反演是.433221)(432xxxxS) 1(x,:fdxdDff)(xS).1log(.32)(32xxxxxSf0)0(fxdttggDg011.)(: 因此 的反演便给出了原像表达式 RMIRMI原则与几何

6、问题原则与几何问题 思想方法可用框图表示如下：思想方法可用框图表示如下：)(xSxxxxdttxS0.)1log()1 ()1log()(几何关系问题 映射代数关系问题 求出某些代数关系 确定某种 几何关系 （解析表示）反演（翻译回去）代数计算 课题目的4，较难一点的例子 RMI原则与差分方程 例1、求解差分方程 其初始条件为 引入映射 根据给定的原像关系连同初始条件得： 21nnnfff), 3 , 2( n. 2, 120ff .1)(10nnnntftFf.1)(1210nntftftftF).()(12tFtttF 从而得出映像关系 利用分项分式法 其中 则 可得出 的展开式 比较即得

7、 ).1/(1)(2tttF),1)(1 (12btattt.5121,5121ba,11111)(2btbatabatttF)(tF.1)(10011nnnnnnntftbabatF.2512515122nnnf RMIRMI原则与微分方程原则与微分方程 例3、求解微分方程 其初始条件为 应用拉普拉斯变换作映射，即 对微分方程两边的函数同时做拉式变换，并顾及初始条件。利用初等微积分中的分部积分法，得出映像关系 ,32teyyy . 1)0(, 0)0(yy.)()()(0dttyetFtfst.11)(3)(21)(2ssYssYsYs 从映像关系求出映像，可得 求 的逆变换，利用拉式变换对

8、照表，可以得出 原像： 这便是微分方程的解 )3)(1)(1(2)(sssssY.)3(81) 1(41) 1(83sss)(sY)(sY).23(81)(3ttteeety5，用RMI原则分析“不可能性问题” RMIRMI原则与尺规作图原则与尺规作图 例2、分析古希腊三大难题尺规作图的不可能性，三大难题即作出长度 、 的线段和把任意角三等分。 所谓尺规作图法，按行数对应的解析几何观点来看，无非是利用直线与直线相交、直线与圆周相交、圆与圆相交等截取交点的几种基本方式来进行的。尺规作图数量是联结任意两个有理点经过多次五则运算+、-、 、 、 表示出来的数量。?32 其中 是超越数，知道 、 都不

9、符合尺规作图准则所规定的数量范围。 三分角问题，通过三角恒等式 求出 值就可用尺规作图解决三分角问题，以 为例，另 上式为 对三次方程求根，得出有一个正实根和两个负实根，都必须用有理数的立方根表示出来，因而无法表示为尺规作图准则的数量形式。 综上所述，三大难题尺规作图解法的不可能性。 ?32xxxcos3cos43cos3xcos6020cosy. 021343 yy 以上推理过程可表示为如下框图待做几何量与可作几何量的关系问题待作解析量与可作解析量的关系问题映射（形数对应） 、等不是可作解析量尺规作图不可能性?32反演（几何解释）6，关于RMI原则的补充说明 凡是利用可定映映射 联系起来的原像关系结构 与映像关系结构 便称可定映系统。如果逆映射 具有某种能行性，即能将目标原像的某种所需要的性状经有限步确定下来者，则称该系统为可解结构系统可解结构系统，简记为 . 数学手续数学手续凡是由数值计算、代数计算、解析计算（包括极限手续等）、逻辑演算以及数学论证等步骤作成的形式过程。S*S1);,(*SS 对于给定的一个具有目标原像 的关系结构 ，如果有这样的一个可逆映射 ，它 将 映成映像关系结构 ，在中通过某种形式的有限多步数学手续，能把目标映像 的某种所需要的性状确定下来的话，那么就称 为可定映映射。如果 还具有能行性，则获得