误差理论及数据分析——第一章 哈工大课件

1、误差理论与数据处理误差理论与数据处理信息与电气工程学院信息与电气工程学院罗清华罗清华办公室：科研楼办公室：科研楼1#1#南楼南楼人人网：人人网：Theory of Error and Data Processing关于这门课关于这门课一一. . 先修课程先修课程 概率论与数理统计概率论与数理统计二二. . 主要内容主要内容 误差分析（误差分析（Error Analysis）u 测量、误差、处理方法测量、误差、处理方法 数据处理（数据处理（Data Processing）u多次测量取平均多次测量取平均、回归分析、最小、回归分析、最小二乘二乘三三. . 后续课程和重要性后续课程和重要性 后续课程：

2、后续课程：测控电路测控电路、 电子测量原理电子测量原理 、 仪器设计仪器设计原理原理 重要性：测试测量数据处理、系统建模、预测、仪器校准重要性：测试测量数据处理、系统建模、预测、仪器校准2关于这门课关于这门课三三. . 课程目标课程目标 正确进行误差分析正确进行误差分析 正确进行数据处理正确进行数据处理 正确设计测量方案正确设计测量方案 正确评定测量不确定度正确评定测量不确定度四四. . 学时和课程安排学时和课程安排 学时（学时（4444学时）学时）周二周二(29)： 56节，节，H434周四周四(28) ：34节，节，H434周五周五(28) ：56节，节， H463 课程安排课程安排 课堂

3、授课、作业课堂授课、作业 3第一章第一章 绪绪 论论 1.1 测量的基本概念（测量的基本概念（Measurement） 1.2 测量误差的基本概念（测量误差的基本概念（Error） 1.3 测量结果的评定（测量结果的评定（Assessment） 1.4 数据的有效数字（数据的有效数字（ Significant figure ）与舍入规则）与舍入规则（ Rule of rounding ）41.1 测量的基本概念测量的基本概念 测量的定义测量的定义( (Definition) ) 测量单位制测量单位制( ( System of Units ) )和测量基准和测量基准( (Standard) 测量

4、的实现测量的实现( (Implementation) ) 测量方法测量方法( (Method) )及其分类及其分类( (Classification) 测量的意义测量的意义( (Significance) )和历史和历史( (History) )51.1.1 测量的测量的定义定义 测量（测量（Measurement） 为确定被测对象的量值而进行的实验。是为确定被测对象的量值而进行的实验。是将被测量将被测量与一与一个作为测量单位的个作为测量单位的标准标准进行进行比较比较，获得，获得比值比值的过程。的过程。 测量与测试的区别测量与测试的区别 测试是带有试验性质的测量测试是带有试验性质的测量被测量被

5、测量L L标准量标准量E E反映被测量反映被测量的数字的数字q=L/E6 1.1.2 测量单位制和测量基准测量单位制和测量基准7 单位制（单位制（ System of Units ）1. 定义：相应给定量制而建立的定义：相应给定量制而建立的一组单位一组单位。2. 包括包括基本单位基本单位和由定义公式、因数等确定的和由定义公式、因数等确定的导出单位导出单位组成。组成。 国际单位制（国际单位制（ The International System of Units, SI ） 1. 7个基本单位（长度，质量，温度，时间，电流等）个基本单位（长度，质量，温度，时间，电流等） 2. 两个辅助单位和两个辅

6、助单位和19个导出单位个导出单位 1.1.2 测量单位制和测量基准测量单位制和测量基准8量量 的的 单单 位位单单 位位 名名 称称单单 位位 符符 号号长长 度度米米m质质 量量千克（公斤）千克（公斤）kg时时 间间秒秒s电电 流流安安 培培 A热力学温度热力学温度开开 尔文尔文 K物物 质质 的的 量量摩摩 尔尔 mol发发 光光 强强 度度坎坎 德拉德拉 cd 国际基本单位国际基本单位( ( SI basic unit) 国家选定的非国际基本单位国家选定的非国际基本单位( (Non SI unit)分，小时，天，月，吨，公顷，升，海里分，小时，天，月，吨，公顷，升，海里 1.1.2 测量

7、单位制和测量基准测量单位制和测量基准9 组合单位组合单位（Composite unit）两个或两个以上单位用乘、除的形式组合而成的新单位两个或两个以上单位用乘、除的形式组合而成的新单位加速度（加速度（m/sm/s2 2），角速度，压力，膨胀系数），角速度，压力，膨胀系数 基准（计量基准量具，基准（计量基准量具，Standard）1. 1. 国家计量基准（主基准）国家计量基准（主基准）2. 2. 国家副计量基准国家副计量基准3. 3. 工作计量基准工作计量基准 1.1.3 测量的实现测量的实现10被测对象被测对象测量方法测量方法测量仪器测量仪器测量人员测量人员测量环境测量环境影响影响影响影响影响

8、影响被测信息被测信息激励信号激励信号对象属性对象属性选择仪器选择仪器测量测量、测量测量、算法算法决定方法决定方法命令及数据命令及数据 1.1.4 测量方法及其分类（测量方法及其分类（I I）11定义定义结果结果直接测量直接测量将被测量与标准量将被测量与标准量直接直接 进行比较（或进行比较（或直接直接 用标用标准仪器）准仪器）直接直接获得被测量的获得被测量的值值间接测量间接测量通过直接测量来获得与通过直接测量来获得与被测量有确定函数关系被测量有确定函数关系的其它量的其它量按确定的函数关系按确定的函数关系间接间接的获取被测量的获取被测量的值的值 1.1.4 测量方法及其分类（测量方法及其分类（II

9、 II）12定义定义关系关系绝对测量绝对测量通过测量所得数据直接通过测量所得数据直接得到被测量值的绝对大得到被测量值的绝对大小小被测量的绝对大小被测量的绝对大小= =标准量标准量+ +偏差值；偏差值；同时就某些方面来同时就某些方面来讲，相对测量比较讲，相对测量比较容易满足精度要求容易满足精度要求相对测量相对测量被测量相对于标准量的被测量相对于标准量的偏差值偏差值 1.1.4 测量方法及其分类（测量方法及其分类（IIIIII）13定义定义关系关系 静态测量静态测量对某种不随时间改变的量对某种不随时间改变的量进行的测量进行的测量静态测量可以视为动静态测量可以视为动态测量的特例，缓慢态测量的特例，缓

10、慢变化的动态测量可以变化的动态测量可以视为静态视为静态动态测量动态测量对时间变化的量连续进行对时间变化的量连续进行的测量，其数据处理常要的测量，其数据处理常要用到随机过程理论用到随机过程理论 1.1.4 测量方法及其分类（测量方法及其分类（IVIV）14定义定义关系关系 等精度测量等精度测量测量过程中，所有测量因测量过程中，所有测量因素都不发生改变。素都不发生改变。两种测量的结果需要采两种测量的结果需要采用不同的处理原则。用不同的处理原则。不等精度测量不等精度测量测量过程中，测量因素发测量过程中，测量因素发生改变，导致测量结果的生改变，导致测量结果的改变。改变。 1.1.5 测量的意义和历史测

11、量的意义和历史15 测量的意义（测量的意义（Significance）1. 1. 日常生活离不开测量日常生活离不开测量 生老病死，衣食住行生老病死，衣食住行2. 2. 科学的进步和发展离不开测量科学的进步和发展离不开测量 诺贝尔物理奖，科学的发展诺贝尔物理奖，科学的发展 1.1.5 测量的意义和历史测量的意义和历史16 测量的历史（测量的历史（history）：很悠久）：很悠久1. 1. 为什么要测量？为什么要测量？ 感官测量时出了问题，借助测量来获取信息感官测量时出了问题，借助测量来获取信息2. 2. 测量的目的：获取更为准确、精确的信息（例如长度）测量的目的：获取更为准确、精确的信息（例如

12、长度）英尺英尺（feet）金属米原器金属米原器光速米原器光速米原器测量的基本概念（小结）测量的基本概念（小结） 测量的定义测量的定义( (Definition) ) 测量单位制测量单位制( ( System of Units ) )和测量基准和测量基准( (Standard) 测量的实现测量的实现( (Implementation) ) 测量方法测量方法( (Method) )及其分类及其分类( (Classification) 测量的意义测量的意义( (Significance) )和历史和历史( (History) )171.2 误差的基本概念误差的基本概念 误差的来源误差的来源( (So

13、urce of error) ) 误差的定义误差的定义( (Definition) )和表达和表达( (Expression) ) 误差的分类误差的分类( (Classification) ) 误差分析的意义误差分析的意义( (Significance) )18 1.2.1 误差的来源误差的来源19被测对象被测对象测量方法测量方法测量仪器测量仪器测量人员测量人员测量环境测量环境影响影响影响影响影响影响被测信息被测信息激励信号激励信号对象属性对象属性选择仪器选择仪器测量测量、测量测量、算法算法决定方法决定方法命令及数据命令及数据 1.2.1 误差的来源误差的来源20 测量方法测量方法( (Mea

14、suring method) )测量原理近似，测量方法不完善测量原理近似，测量方法不完善 测量仪器测量仪器( (Measuring instrument) )（1 1）标准量具误差）标准量具误差（2 2）仪器误差，附件）仪器误差，附件 测量环境测量环境( (Measuring environment) )温湿度，气压，风向，光照温湿度，气压，风向，光照 测量人员测量人员( (Survey crew) )视觉，听觉，操作视觉，听觉，操作 1.2.2 误差的定义及表示误差的定义及表示21 测量数据测量数据 真值真值( (Truth value) )？NO测量误差测量误差测量误差测量误差= =测得值

15、测得值真值真值（示值误差（示值误差= =仪器示值仪器示值真值）真值）1.2.2 误差的定义及表示误差的定义及表示22 真值的特性真值的特性u 近似可知性近似可知性u 可变性可变性 真值的类型真值的类型u 理论真值理论真值u 约定真值约定真值 指定值，约定值，最佳估计值指定值，约定值，最佳估计值1.2.2 误差的定义及表示误差的定义及表示23 绝对误差（绝对误差（ Absolute error ） 绝对误差（量纲）绝对误差（量纲）= =测量值测量值- -真值真值 有符号有符号 衡量测量值与真值的偏离程度衡量测量值与真值的偏离程度 相对误差（相对误差（ Relative error ） 相对误差（

16、无量纲）相对误差（无量纲）= =（测量值（测量值- -真值）真值）/ /真值真值 衡量测量水平的高低衡量测量水平的高低 引用误差（引用误差（ Fiducial error ，Quoted error） 引用误差引用误差= =示值误差示值误差/ /测量范围上限（或量程）测量范围上限（或量程）测量某一质量测量某一质量G1=50g，误差为误差为1=2g，测量另，测量另一质量一质量G2=2kg，误差，误差为为250g，问哪一个，问哪一个质量的测量效果较好质量的测量效果较好?1.2.2 误差的定义及表示误差的定义及表示24 例例1 测量某一质量测量某一质量G1=50g，误差为，误差为1=2g，测量另一质

17、量，测量另一质量G2=2kg，误差为，误差为250g，问哪一个质量的测量水平较高，问哪一个质量的测量水平较高?解：测量解：测量G1的相对误差为的相对误差为测量测量G2的相对误差为的相对误差为所以，所以，G2的测量结果较好。的测量结果较好。2111104502G222105 . 22000502G1.1.2 误差的定义及表示误差的定义及表示25 例例2 经检定发现，量程为经检定发现，量程为250V的的2.5级电压表在级电压表在123V处的处的示值误差最大，为示值误差最大，为5V。问该电压表是否合格。问该电压表是否合格? 解：按电压表精度等级的规定，解：按电压表精度等级的规定，2.5级表的最大允许

18、引用误差级表的最大允许引用误差为为2.5。而该电压表的最大引用误差为而该电压表的最大引用误差为因最大引用误差小于最大允许引用误差，故该电压表合格。因最大引用误差小于最大允许引用误差，故该电压表合格。%2%1002505q1.1.2 误差的定义及表示误差的定义及表示26 作业作业 （姓名（姓名+学号）学号）+本课程的建议本课程的建议1、某台测温仪表的测温范围为、某台测温仪表的测温范围为2001000 oC，校验该表时得到，校验该表时得到的最大绝对误差为的最大绝对误差为+4oC,试确定该仪表的精度等级。试确定该仪表的精度等级。2、某台测温仪表的测温范围为、某台测温仪表的测温范围为01000oC。根

19、据工艺要求、温。根据工艺要求、温度指示值的误差不允许超过正负度指示值的误差不允许超过正负 7oC，试问应如何选择仪表的精，试问应如何选择仪表的精度等级才能满足以上要求度等级才能满足以上要求?注：注：（1）将仪表的允许误差去掉正负号和号，就是仪表的精确将仪表的允许误差去掉正负号和号，就是仪表的精确度等级国家规定。度等级国家规定。 （2）我国生产的仪表常用的精度等级有）我国生产的仪表常用的精度等级有0.005，0.02，0.05，0.1，0.2，0.4，0.5，1.0，1.5，2.5，4.0。1.2.3 误差的分类误差的分类27 测量误差的分类（测量误差的分类（Classification） 1.

20、 随机误差随机误差 2. 系统误差系统误差 3. 粗大误差粗大误差 随机误差（随机误差（Random error） 定义：在同一条件下对同一被测量进行多次重复测量时，定义：在同一条件下对同一被测量进行多次重复测量时， 各测量数据的误差或大或小，或正或负，其取值的大小没有各测量数据的误差或大或小，或正或负，其取值的大小没有确定的规律性，是不可预知的。确定的规律性，是不可预知的。 特点：特点： a. a. 随机，不恒定；随机，不恒定； b. b. 不可测；不可测； c. c. 整体通常服从正态分布整体通常服从正态分布1.2.3 误差的分类误差的分类28 系统误差（系统误差（Systematic e

21、rror） 定义：在顺次测量的系列测量结果中，其值固定不变或定义：在顺次测量的系列测量结果中，其值固定不变或按某确定规律变化的误差。按某确定规律变化的误差。 规律：规律： 测量误差具有确定的值或规律测量误差具有确定的值或规律恒定性恒定性 在相同的考察条件下，可重复表现在相同的考察条件下，可重复表现重现性重现性 原则上可用函数的解析式、曲线或数表示；原则上可用函数的解析式、曲线或数表示； 这一规律性并不一定确知。这一规律性并不一定确知。1.2.3 误差的分类误差的分类29 粗大误差（粗大误差（Thick error, Mistake error , Outlier） 定义：超出正常范围的大误差。

22、定义：超出正常范围的大误差。 正常范围正常范围误差的正常分布规律决定的分布范围，只要误差取值不误差的正常分布规律决定的分布范围，只要误差取值不超过这一正常的范围，应是允许的。粗大误差是随机的，超过这一正常的范围，应是允许的。粗大误差是随机的，但不同于随机误差，仅表现在数值大小上的差别，因此但不同于随机误差，仅表现在数值大小上的差别，因此差别不明显时，不太容易区分。差别不明显时，不太容易区分。 粗大误差产生原因粗大误差产生原因 一般粗大误差是由测量中的一般粗大误差是由测量中的失误失误造成的，必须剔除掉。造成的，必须剔除掉。 1.2.4 误差分析的意义误差分析的意义30 测量误差的普遍意义测量误差

23、的普遍意义 1. 1. 测量误差不可避免，但有大小之分测量误差不可避免，但有大小之分 2. 2. 一定情况下，测量精确度的提高受到限制一定情况下，测量精确度的提高受到限制 3. 3. 测量误差不可避免，在合理范围内，就认为正常测量误差不可避免，在合理范围内，就认为正常 误差分析的意义误差分析的意义 1. 1. 减小误差的影响，提高测量精度减小误差的影响，提高测量精度 2. 2. 对测量的结果的可靠性作出评定，即给出精确度的估计，对测量的结果的可靠性作出评定，即给出精确度的估计， 衡量测量水平的高低衡量测量水平的高低 3. 3. 以最小的投入，获取最大的产出以最小的投入，获取最大的产出误差的基本

24、概念（小结）误差的基本概念（小结） 误差的来源误差的来源( (Source of error) ) 误差的定义误差的定义( (Definition) )和表达和表达( (Expression) ) 误差的分类误差的分类( (Classification) ) 误差分析的意义误差分析的意义( (Significance) )311.3 测量结果的评定测量结果的评定 精度精度准确度准确度( (Accuracy) ) 表示测量数据的平均值与真值的表示测量数据的平均值与真值的 接近程度。（系统误差的综合）接近程度。（系统误差的综合） 精密度精密度( (Precision) 表示重复测量所得数据的相互接

25、近表示重复测量所得数据的相互接近 程度程度 （离散程度）（随机误差的综合）。（离散程度）（随机误差的综合）。 精确度精确度 是对精密度和准确度的综合评定。是对精密度和准确度的综合评定。321.3 测量结果的评定测量结果的评定33随机误差小随机误差小系统误差大系统误差大精密度高精密度高准确度低准确度低随机误差大随机误差大系统误差小系统误差小精密度低精密度低准确度高准确度高随机误差小随机误差小系统误差小系统误差小精密度高精密度高准确度高准确度高以打靶为例来比较说明以打靶为例来比较说明精密度精密度、准确度准确度、精确度精确度三者之间的关系。三者之间的关系。图中图中靶心靶心为射击目标，相当于为射击目标

26、，相当于真值真值，每次测量相当于一次射击。，每次测量相当于一次射击。1.4 数据的有效数字与舍入规则数据的有效数字与舍入规则34 数据的误差及其表述方法数据的误差及其表述方法 数据的有效数字（数据的有效数字（Significant figure） 数字的舍入规则数字的舍入规则 （Rule of rounding） 数字运算规则（数字运算规则（Rule of operation） 科学计数法（科学计数法（Scientific notation）2 1.4.1 数据的误差及其表述方法数据的误差及其表述方法35 测量误差测量误差( (Measurement error) ) 测量过程中各种因素引入的

27、误差测量过程中各种因素引入的误差 数据处理误差数据处理误差( (Error of data processing) ) 1. 1. 近似关系处理，例如非线性近似关系处理，例如非线性 函数的线性化；函数的线性化； 2. 2. 估计引入的误差；估计引入的误差； 舍入误差（舍入误差（Rounding error） 数据误差表述方法数据误差表述方法 1. 1. 给出数据的精度参数：标准差或者扩展不确定度；给出数据的精度参数：标准差或者扩展不确定度； 2. 2. 有效数字表达；有效数字表达； 2 1.4.2 数据的有效数字数据的有效数字36 有效数字（有效数字（Significant figure） 若

28、数据的最末一位有半个单位以内的误差，而其它数字若数据的最末一位有半个单位以内的误差，而其它数字都是准确的，则各位数字都是都是准确的，则各位数字都是“有效数字有效数字”。一般，为确切。一般，为确切表述数据的精度，给出的数据只应保留有效数字。表述数据的精度，给出的数据只应保留有效数字。 有效位数（有效位数（Significant digit） 测量结果中，从第一个非零数字开始，所有的数字的个测量结果中，从第一个非零数字开始，所有的数字的个数。数。 科学计数法中的指数部分不计在内。科学计数法中的指数部分不计在内。1.4.2 数据的有效数字数据的有效数字37对于小数，第一个非零有效数字前面的零不是有效

29、数字。对于小数，第一个非零有效数字前面的零不是有效数字。如：如： 0.0023有效数字为最后有效数字为最后两两位。位。数据末尾的一个或数个零应为有效数字。如数据末尾的一个或数个零应为有效数字。如1450 有效数字有效数字应为应为4位，位，0.460有效数字为有效数字为3位位数字末尾的零的含义有时并不清楚，此时往往采用数字末尾的零的含义有时并不清楚，此时往往采用10的方的方次表示。如：次表示。如：12 000m表示为表示为 有效数字为有效数字为2位，若位，若写成写成 有效数字为有效数字为3位位4102 . 1 41020. 1 1.4.3 数据的舍入规则数据的舍入规则38 四舍四舍若舍去部分的数

30、值若舍去部分的数值小于小于保留数字末位的保留数字末位的0.50.5个单位，则个单位，则舍去舍去多余数字后保留数字不变。多余数字后保留数字不变。 六入六入若舍去部分的数值若舍去部分的数值大于大于保留数字末位的保留数字末位的0.50.5个单位，则舍去个单位，则舍去多余数字后，保留数字的多余数字后，保留数字的末位加末位加1 1。 五凑双五凑双若舍去部分的数值正好若舍去部分的数值正好等于等于保留数字末位的保留数字末位的0.50.5个个单位，则单位，则在舍去多余数字后，在舍去多余数字后，保留数字的末位凑成偶数保留数字的末位凑成偶数，即当保留，即当保留数字末位为偶数时不变，当末位数字为奇数时，末位加数字末

31、位为偶数时不变，当末位数字为奇数时，末位加1 1。“四舍六入五凑双”1.4.3 数据的舍入规则数据的舍入规则39将将3.141593.14159分别取分别取3 3、4 4位有效数字？位有效数字？答：根据规则一、规则二，舍入后的有效数字分别为答：根据规则一、规则二，舍入后的有效数字分别为3.143.14和和3. 3.142142。2.552.55（保留二位有效数字）（保留二位有效数字）2.652.65（保留二位有效数字）（保留二位有效数字）按以上规则舍入数字，可保证数据的按以上规则舍入数字，可保证数据的舍入误差最小舍入误差最小，在数据，在数据运算中不会造成舍入误差的运算中不会造成舍入误差的迅速累

32、积迅速累积。但对于表示精度的数。但对于表示精度的数据（标准差、扩展不确定度等），在去掉多余位数时，据（标准差、扩展不确定度等），在去掉多余位数时，只入只入不舍不舍。 1.4.4 数据的运算规则数据的运算规则40数据数据加减运算加减运算中，所得中，所得运算结果运算结果（和或差）的（和或差）的小数点后小数点后保留的位数保留的位数，应与参与加减运算的各数据中，应与参与加减运算的各数据中小数点后位数小数点后位数最少最少的那一数据的位数相同。的那一数据的位数相同。4.2861.320.45635.1497（5.15） 数据数据乘除运算乘除运算时，参与运算的各数据中有效数字位数最时，参与运算的各数据中有效

33、数字位数最少的数据的相对误差最大，运算结果的少的数据的相对误差最大，运算结果的有效数字位数有效数字位数应与应与这一数据的有效数字位数相同。这一数据的有效数字位数相同。462.80.641.22242.78033（2.410）为尽力减小数字舍入带来的误差，参与运算的各数据可多为尽力减小数字舍入带来的误差，参与运算的各数据可多保留一位数字。保留一位数字。1.4.4 数据的运算规则数据的运算规则41 数据经数据经乘方与开方乘方与开方运算，所得结果的有效数字位数与该运算，所得结果的有效数字位数与该数据的位数相同。例如：数据的位数相同。例如：3.2510.5625（10.6）对数对数计算中，所取对数应与

34、真数有效数字位数相同，例计算中，所取对数应与真数有效数字位数相同，例如：如：lg32.81.51587（1.52）运算的中间结果的数字可多保留运算的中间结果的数字可多保留1212位，以便减小舍入误位，以便减小舍入误差的影响。差的影响。1.4.4 数据的运算规则数据的运算规则42 运算中，计数数据的有效位数时，对于常数运算中，计数数据的有效位数时，对于常数、e、 及及其它无误差的数值，其有效数字的位数可认为是无限的，其它无误差的数值，其有效数字的位数可认为是无限的，在计算中需要几位就取几位：在计算中需要几位就取几位：1/2=0.5000 其有效数字可任意取用其有效数字可任意取用运算中，计算数据的

35、有效位数时，若第一位有效数字等运算中，计算数据的有效位数时，若第一位有效数字等于或大于于或大于8，则其有效数字的位数可多计一位。，则其有效数字的位数可多计一位。8.51.380.2673.13191（3.13）2 1.4.5 科学计数法科学计数法43 科学计数法科学计数法（Scientific notation） 拿拿10的整数幂来记数的方法的整数幂来记数的方法 实例实例 以千克为单位，地球的质量以千克为单位，地球的质量 以千克为单位，中子的质量以千克为单位，中子的质量 有效位数的问题有效位数的问题 6.327*10(3) ，有效位数：，有效位数：4数据的有效数字与舍入规则（小结）数据的有效数字与舍入规则（小结）44 数据的误差及其表述方法数据的误差及其表述方法 数据的有效数字（数据的有效数字（Significant figure） 数字的舍入规则数字的舍入规则 （Rule of rounding） 数字运算规则（数字运算规则（Rule of operation） 科学计数法（科学计数法（Scientific notation）2关于这门课关于这门课一一. . 大学的转变大学的转变 学习内容