随机信号分析 chap1

1、随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-51随机过程随机过程 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-52本章主要内容：本章主要内容： v随机过程的基本概念随机过程的基本概念 v随机过程的数字特征随机过程的数字特征 v随机过程的微分和积分计算随机过程的微分和积分计算 v随机过程的平稳性和遍历性随机过程的平稳性和遍历性 v随机过程的相关函数及其性质随机过程的相关函数及其性质 v复随机过程复随机过程 v正态过程正态过程 v马尔可夫链马尔可夫链 v泊松过程泊松过程 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-53随机变量随机变量 与时间无关与时间无关 随机过程随机过程 与时

2、间相关与时间相关 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-541.1 随机过程的基本概念及统计特性随机过程的基本概念及统计特性 一一 定义定义 对接收机的噪声电压作观察对接收机的噪声电压作观察 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-551 样本函数：样本函数： ， ， ， ，都是，都是时间的函数，称为样本函数。时间的函数，称为样本函数。 )(1tx)(2tx)(3tx)(txn2 随机性：一次试验，随机过程必取一个样随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间此，随机过程不仅是时间t

3、 的函数，还是可的函数，还是可能结果的函数，记为能结果的函数，记为 ，简写成，简写成 。 ),( tX)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-56定义定义2 2：若对于每个特定的时间：若对于每个特定的时间 ， 都是随机变量，则称都是随机变量，则称 为随机过程，为随机过程， 称为随机过程称为随机过程 在在 时刻的状态。时刻的状态。 ), 2 , 1(iti),(itX),(tX),(itXitt )(tX定义定义1 1：设随机试验：设随机试验E E的样本空间的样本空间 ，若对于，若对于每个元素每个元素 ，总有一个确知的时间函数，总有一个确知的时间函数 与它对应，这样，对于所有的

4、与它对应，这样，对于所有的 ，就可以得，就可以得到一簇时间到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的的函数，称它为随机过程。簇中的每一个函数称为样本函数。每一个函数称为样本函数。 SSS),(tX3 随机过程的定义：随机过程的定义： 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-574定义的理解定义的理解 ： 上面两种随机过程的定义，从两个角度描上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。具体的说，作观测时，常用定述了随机过程。具体的说，作观测时，常用定义义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常程的统计特性；

5、对随机过程作理论分析时，常用定义用定义2，这样可以把随机过程看成为，这样可以把随机过程看成为n 维随维随机变量，机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。计特性越准确。 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-58理解：理解： 一个时间函数族一个时间函数族 一个确知的时间函数一个确知的时间函数一个随机变量一个随机变量一个确定值一个确定值t 1 和和 都是变量都是变量t2 2 是变量而是变量而 固定固定3 固定而固定而 是变量是变量 t4 和和 都固定都固定 t随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-59二二 分类分类 1 按随机过程

6、的时间和状态来分类按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：对随机过程任一时刻连续型随机过程：对随机过程任一时刻 的的取值取值 都是连续型随机变量。都是连续型随机变量。 1t)(1tX 离散型随机过程：对随机过程任一时刻离散型随机过程：对随机过程任一时刻 的的取值取值 都是离散型随机变量。都是离散型随机变量。 1t)(1tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-510 离散随机序列：随机过程的时间离散随机序列：随机过程的时间t只能取某只能取某些时刻，如些时刻，如 ， 2 ，.，n ，且这时，且这时得到的随机变量得到的随机变量 是离散型随机变量，是离散型随机变量，即时间和状态是离

7、散的。相当于采样后再即时间和状态是离散的。相当于采样后再量化量化 。 t t t )(tnX 连续随机序列：随机过程的时间连续随机序列：随机过程的时间t只能取某只能取某些时刻，如些时刻，如 ， 2 ，.，n ，且这时，且这时得到的随机变量得到的随机变量 是连续型随机变量，是连续型随机变量，即时间是离散的。相当于对连续型随机过即时间是离散的。相当于对连续型随机过程的采样。程的采样。 t t t )(tnX 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5112 按样本函数的形式来分类按样本函数的形式来分类 不确定的随机过程：随机过程的任意样本不确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值不能被

8、预测。例如接收机噪声电压函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。波形。 确定的随机过程：随机过程的任意样本函确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。号。 3 按概率分布的特性来分类按概率分布的特性来分类随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-512三三 随机过程的概率分布随机过程的概率分布 1 一维概率分布一维概率分布 随机过程随机过程X(t)在任意在任意ti T的取值的取值X(t1)是一维随机是一维随机变量。概率变量。概率PX(t)x1是取值是取值x1，时刻，时刻t1的函数，记的函数，记为为Fx(x1；

9、t1)=PX(t1)x1，称作随机过程，称作随机过程 X(t)的一的一维分布函数。维分布函数。 若若 的偏导数存在，则有的偏导数存在，则有11111),(),(xtxFtxfXX),(txFX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5132 二维概率分布二维概率分布 FX(x1,x2;t1,t2)=P X(t1)x1,X(t2)x2 为了描述为了描述S.P在任意两个时刻在任意两个时刻t1和和t2的状态间的的状态间的内在联系内在联系,可以引入二维随机变量可以引入二维随机变量X(t1),X(t2)的分的分布函数布函数FX(x1,x2;t1,t2)，它是二随机事件，它是二随机事件X(t1)

10、x1和和X(t2)x2同时出现的概率，即同时出现的概率，即称为随机过程称为随机过程X(t)的二维分布函数。的二维分布函数。 若若FX(x1,x2;t1,t2)对对x1，x2的二阶混合偏导存在，的二阶混合偏导存在，则则 21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX为随机过程为随机过程X(t)的二维概率密度的二维概率密度 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5143 n维概率分布维概率分布 随机过程随机过程 在任意在任意n个时刻个时刻 的取值的取值)(tXnttt,21)(,),(),(21ntXtXtX)(,),(),(21ntXtXtX)(tX)(,)(

11、,)(),;,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFnnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),;,(),;,( 构成构成n维随机变量维随机变量 即为即为n维空间的随机矢量维空间的随机矢量X。类似的，可以定。类似的，可以定义随机过程义随机过程 的的n维分布函数和维分布函数和n维概率密度维概率密度函数为函数为随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-515性质：性质： 10),;,(2121ninXttttxxxF21),;,(21nXtttF0),;,(2121nnXtttxxxf3451),;,(212121nnnnXdxdxdx

12、tttxxxf重),;,(),;,(2121212121mnmmXnmmnnXtttxxxfdxdxdxtttxxxf重6 若若 统计独立，则有统计独立，则有 )(,),(),(21ntXtXtX);();();(),;,(22112121nnXXXnnXtxftxftxftttxxxf随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-516四四 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 随机变量随机变量的数字特征通常是的数字特征通常是确定值确定值；随随机过程机过程的数字特征通常是的数字特征通常是确定性函数确定性函数。 对随机过程的数字特征的对随机过程的数字特征的计算方法，是计算方法，是先把时间先

13、把时间t固定，然后用随机变量的分析方法固定，然后用随机变量的分析方法来计算。来计算。 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5171 数学期望数学期望 dxtxxftXEtmX);()()( 显然，显然， 是某一个平均函数，随机过程是某一个平均函数，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示： )(tmX物理意义：如果随物理意义：如果随机过程表示接收机机过程表示接收机的输出电压，那么的输出电压，那么它的数学期望就是它的数学期望就是输出电压的瞬时统输出电压的瞬时统计平均值。计平均值。 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5182

14、均方值和方差均方值和方差 随机过程随机过程 在任一时刻在任一时刻t的取值是一个的取值是一个随机变量随机变量 。我们把。我们把 二阶原点矩称为随二阶原点矩称为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即：程的方差。即： )(tX)(tX)(tXdxtxfxtXEtXX);()()(222)()()()()(222tmtXEtXEtXDtXX222)()()(tmtXEtXX且且随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-519 物理意义：如果物理意义：如果 表示噪声电压，则表示噪声电压，则均方值均方值 和方差和方差 分别表示消耗在单分别表示消耗

15、在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。功率统计平均值。 )(tX)(2tXE)(tXD标准差或均方差：标准差或均方差： )()(ttXDX 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5203 自相关函数自相关函数 先比较具有相同数学期望和方差的两个先比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程。随机过程。 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-521 自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系，通常用状态之间的内在联系，通常用 描述。描述。 ),(21ttRX)()

16、(),(2121tXtXEttRX 21212121),;,(dxdxttxxfXxx随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5224 自协方差函数自协方差函数 若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用方差。用 表示，它反映了任意两个时表示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。刻的起伏值之间相关程度。 ),(21ttKX)()(),(2121tXtXEttKX)()()()(1111tmtXtmtXEXX211111)()()()(dxdxtmtXtmtXXX

17、 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-523比较自协方差和自相关函数的关系比较自协方差和自相关函数的关系 )()()()(),(111121tmtXtmtXEttKXXX )()()()()()()()(21121121tmtmtXEtmtXEtmtXtXEXXXX)()(),(2121tmtmttRXXX比较自协方差和方差的关系比较自协方差和方差的关系 )()(),(),(221tmtXEttKttKXXX)()(2ttXDXttt21令令则则随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-524例：求随机相应止弦波例：求随机相应止弦波 的数字期的数字期望，方差及自相关函数。

18、式中，望，方差及自相关函数。式中， 为常数，是为常数，是区间区间0， 上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。 0( )sin()x tt02解：由题可知：解：由题可知： 000( ) ( )sin()sincoscossin xm tE x tEtEtt（1）0000sincos cossin sincos cossin EtEtt Et E22001cos cos( )cos02Efddsin 0E同理同理( )0 xm t随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-525（2）22222( )( )( )( )( )xxxxttm ttE x t 200011sin ()1co

19、s(22 )1cos(22 )22EtEtEt0011cos(2)cos2 sin2sin2 2EtEt0011 cos2cos2 sin2sin2 2t Et E可知可知 sin2 cos2 0EE21( )2xt随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5260 20 101211cos()cos()22tttt（3）12( , )xR t t12 ( ) ( )E x t x t1200sin()sin()Ett122100001cos(2 )cos()2Etttt随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-527五五 随机过程的特征函数随机过程的特征函数1 一维特征函数一

20、维特征函数 随机过程随机过程 在任一特定时刻在任一特定时刻t的取值是的取值是一维随机变量，其特征函数为一维随机变量，其特征函数为:)(tX dxtxfeeEtuCXjuxtjuXX);()();()(其反变换为：其反变换为： duetuCtxfjuxXX);(21);( 0);()();()(unXnnnnutuCjdxtxfXxtXEn阶矩阶矩随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5282 二维特征函数二维特征函数 12121122( ,; , )exp( )( )xC u u t tEju x tju x t 212121)(),;,(2211dxdxttxxfeXxuxuj(

21、)1 12 2121212121221( ,; , )( ,; , )(2 )j u xu xxfx x x t tC u u t t edu du其反变换为：其反变换为： 1212121212( , )( ,; , )Rx t tx x fx x x t t dx dx 0212121221),;,(uuXuuttuuC随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5293 n维特征函数维特征函数 nnnXxuxujdxdxttxxfenn111)(),;,(11)()(exp(),;,(1111nnnnXtXjutXjuEttuuC),;,(11nnXttxxfnxuxujnnXndu

22、duettuuCnn1)(1111),;,()2(1随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5301.2 连续时间连续时间随机过程的微分和积分随机过程的微分和积分 一一 随机过程的连续性随机过程的连续性 1 预备知识：预备知识：对于确定性函数对于确定性函数 ，若若)(xf0)()(lim00 xfxxfx则则 在在 处连续。处连续。)(xf0 x随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5312 随机过程随机过程 连续性定义连续性定义 如果随机过程如果随机过程 满足满足 )(tX)(tX0)()(lim20tXttXEt则称则称 依均方收敛意义下在依均方收敛意义下在t点连续，

23、简点连续，简称随机过程称随机过程 在在t t点均方连续。点均方连续。)(tX)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5323 随机过程随机过程 的相关函数连续，则的相关函数连续，则 连续连续)(tX)(tX)()(2tXttXE),(),(),(),(ttRtttRtttRttttRXXXX 因此，如果对因此，如果对 时刻，函数时刻，函数 在在 点上连续，则随机过程点上连续，则随机过程 必在点必在点t上连续。上连续。 21,tt),(21ttRXttt21)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5334 随机过程随机过程 均方连续，则其数学期望连续均方连续，

24、则其数学期望连续 )(tX证：证：2222YEYEYEY)()()()(22tXtTXEtXttXE 由均方连续的定义，由均方连续的定义， ，则不等式左端趋，则不等式左端趋于于0，那么不等式的右端也必趋于，那么不等式的右端也必趋于0（均值的（均值的平方不可能小于平方不可能小于0） 0 t)()(tXttXY设设随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-534即：即： 0)()()()( tXEttXEtXttXE 注意注意 为确定性函数，由预备知识，可为确定性函数，由预备知识，可知连续。知连续。 )(tXE)(lim)(lim00ttXEttXEtt可将此结果写成可将此结果写成随机信号

25、分析随机信号分析教学教学组组2022-4-535二二 随机过程的导数随机过程的导数 预备知识：预备知识： 对于一般确定性函数，高等数学给出的对于一般确定性函数，高等数学给出的可导定义如下：可导定义如下： 一阶可导：一阶可导： 如果如果 存在，则存在，则 在在t处处可导，记为可导，记为 。 ttfttft )()(lim0)(tf)(tf 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-536二阶可导：二阶可导： hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00 存在，则存在，则 二阶可导，记为二阶可导，记为 ),(tsftstsf ),(2若若随机信号分析随机信号分

26、析教学教学组组2022-4-5371 随机过程可导的定义随机过程可导的定义 如果随机过程如果随机过程 满足满足 )( tX0)( )()(lim20tXttXttXEt则称则称 在在t时刻具有均方倒数时刻具有均方倒数 ，表示为，表示为 )(tX)( tXttXttXmildttdXtXt)()(. .)()( 0随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5382 判别方法判别方法 0)()()()(lim2222211110,21 ttXttXttXttXEtt)()()()(222221111ttXttXttXttXE ),(),(),(),(1),(),(),(),(1),(),(

27、),(),(1221211212211212222222222222211111111111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXXXXX 判断一个随机过程是否均方可微的方判断一个随机过程是否均方可微的方法是采用柯西准则法是采用柯西准则,即即 而而随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-539若若 时，存在二阶混合偏导时，存在二阶混合偏导12ttt21212( ,)Rx t ttt 222121212121212( ,)( ,)( ,)20Rx t tRx t tRx t ttttttt 则则)(

28、)()()(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt = = 可见，随机过程可见，随机过程X(t)在在t处均可微的充分条件处均可微的充分条件为：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶为：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶混合偏导数且连续，即存在混合偏导数且连续，即存在 2121212),(ttXttttR随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5403 数字特征数字特征 （1）随机过程导数的数学期望等于其数学）随机过程导数的数学期望等于其数学期望的导数期望的导数 )()(tXEdtddttdXE证明：证明： )()(lim)(0ttXttXEdttdXEt tt

29、mttmttXttXEXXtt)()(lim)()(lim00dttdmtmXX)()(随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-541（2）随机过程导数的相关函数等于可微随机）随机过程导数的相关函数等于可微随机过程的相关函数的混合偏导数过程的相关函数的混合偏导数 2121221),()()(ttttRtXtXEX 证明：证明： )()(.)()(lim222211110021ttXttXttXttXEtt)()(.)()(lim222211110021ttXttXttXttXEtt2121211221221100),(),(),(),(lim21ttttRtttRtttRttttRX

30、XXXtt21212),(ttttRX)()(21tXtXE随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-542三三 随机过程的积分随机过程的积分 1 预备知识预备知识 对于确定性函数对于确定性函数 ，)(xf baniiixfdxxf10)(lim)( 其中其中 ，1 iiixxx nixi,.,2 , 1,max 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5432 随机过程积分的定义随机过程积分的定义 随机过程随机过程 在确定区间在确定区间 上的积分上的积分Y是一个随机变量，即是一个随机变量，即 ( )X t, a bbadttXY)(若有若有 0)(lim120niiittt

31、XYEi则称则称 为随机过程为随机过程 在在 上的积均方积分上的积均方积分niiibattXmildttXY10)(. .)(, a b( )X t可以推广到带有可以推广到带有“权函数权函数”的随机过程的积分的随机过程的积分 badthXtY),()()(随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5443 数字特征数字特征 （1）随机过程积分的数学期望等于随机过）随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分。程数学期望的积分。 badttXEYE)(niiittXmilE10)(. .niiittXEmil10)(. .badttXE)(baXdttm)(证明证明：随机信号分析随机

32、信号分析教学教学组组2022-4-545（2）随机过程积分的均方值和方差）随机过程积分的均方值和方差 随机过程积分的均方值等于随机过程自随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分；其方差为随机过程协相关函数的二重积分；其方差为随机过程协方差的二重积分。方差的二重积分。 )()(22112babadttXdttXEYE babadtdttXtXE)()(2121 babadtdttXtXE2121)()( babadtdttXtXE2121)()( babaXdtdtttR2121),(随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-546222YEYEY babababaXdttX

33、EdttXEdtdtttR22112121)()(),( babaXXXdtdttmtmttR212121)()(),( babaXdtdtttK2121),(随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-547(3) 随机过程积分的相关函数：等于对随机过随机过程积分的相关函数：等于对随机过程的相关函数作两次变上限积分（先对程的相关函数作两次变上限积分（先对t1,后后对对t2积分）积分） 101)()(tdXtY202)()(tdXtY120021)()(),(ttYdXdXEttR 1200)()(ttddXXE 1200),(ttXddR随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4

34、-5481.3 平稳随机过程及其遍历性平稳随机过程及其遍历性 一一 平稳随机过程平稳随机过程1 严平稳随机过程严平稳随机过程(1) 定义定义 如果对于任意的如果对于任意的n和和 ，随机过程，随机过程 X(t)的的 N 维概率密度满足：维概率密度满足：)t ,t ,t ;x,x,(xfn21n21X)t ,t ,t ;x,x,(xfn21n21X则称则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机过程为严平稳（或狭义）随机过程 。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-549(2) 一、二维概率密度及数学特征一、二维概率密度及数学特征 严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关严平稳随机过程的一维概率

35、密度与时间无关111( )( )XXE X tx fx dxm222111( )( )XXE Xtx fx dx 22111( )()( )XXXD X txmfx dx1令11( ;0)( )tXXfxfx );();(1111txftxfXX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-550严平稳随机过程的二维概率密度只与严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的的时间间隔有关，而与时间起点无关时间间隔有关，而与时间起点无关 12121212(,; ,)(,;,)XXfx x t tfx x tt12212令11(;0,)( ,; )tXXfx xttfx x t 121212

36、12( , ),( ,; )( )XXXRt tx x fx x t dt dxR t 212( , )( )( )XXxXKt tK tR tm21211( ,)( )( )( )XXXXXRt tmt mtR tm随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-551(3)严平稳的判断严平稳的判断 按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其需要知道其n维概率密度，可是求维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难维概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不

37、是严平稳的，具体方法有两个：严平稳的，具体方法有两个： (1) 若若X(t)为严平稳，为严平稳，k为任意正整数，则为任意正整数，则 与时与时间间t无关。无关。 )(tXEk (2) 若若X(t)为严平稳，则对于任一时刻为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相具有相同的统计特性。同的统计特性。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5522 宽平稳随机过程宽平稳随机过程XXmtm)()()(22tXEtX若随机过程若随机过程 X(t)满足满足)(),(),(2121XttXRXXEttR则称则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。为宽平稳或广义平稳随机过程。严平稳与宽平稳的关系

38、：严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。稳与宽平稳等价。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-553二二 平稳随机过程的性质平稳随机过程的性质 性质性质1 0)()0(22XXtXER平均功率平均功率 性质性质2 )()(XXRR)()(XXKK偶对称性偶对称性 性质性质3 )()0(XXRR)()0(2XXXKK极值性极值性证：证：任何正函数的数字期望恒为非负值，即任何正函数的数字期望恒为非负值，即0)()(2tXtXE0)()()(

39、2)(22tXtXtXtXE对于平稳过程对于平稳过程X(t)，有，有)0()()(22XRtXEtXE代入前式，可得代入前式，可得0)(2)0(2XXRR于是于是)()0(XXRR同理同理)()0(2XXXKK随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-554对周期性平稳过程对周期性平稳过程X(t)=X(t+T)，T为周期，为周期，有有 。 性质性质4 )()(TRR证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到)()()()()()(XXRtXtXETtXtXETR性质性质5 若平稳过程含有一个周期分量，则若平稳过程含有一个周期分量，则 含含有

40、同一个周期分量。有同一个周期分量。 )(XR随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-555若平稳随机过程若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量，不含有任何周期分量，则则性质性质6 2)()(limXXXmRR0)()(limXXKK对于此类非周期的平稳过程，当增大对于此类非周期的平稳过程，当增大 时，随机时，随机变量变量X(t)与与X(t+)之间的相关性会减弱；在之间的相关性会减弱；在 的极限情况下，两者相互独立，故有的极限情况下，两者相互独立，故有证：证：)()(lim)(limtXtXERX2)()(limXmtXEtXE亦即亦即2)()(limXXXmRR同理，可求得同理，可

41、求得0)()(limXXKK随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-556性质性质7 若平稳过程含有平均分量若平稳过程含有平均分量(均值均值) ，则相，则相关函数也含有平均分量，且等于关函数也含有平均分量，且等于 , 即即2Xm2Xm则则 。2)()(XXXmKR)()0(2XXXRR若若X(t)是非周期的，是非周期的，由协方差函数的定义，可得由协方差函数的定义，可得2)()()()()(XXXXXmRmtXmtXEK由此由此2)()(XXXmKR若若X(t)是非周期，则有是非周期，则有2)(XXmR证：证：)()0()0(2XXXXRRK且在且在t=0时时,可得可得随机信号分析随机

42、信号分析教学教学组组2022-4-557平稳随机过程必须满足平稳随机过程必须满足对所有对所有 均成立。均成立。 性质性质8 0)(deRjX自相关函数的付氏变换非负，这要求相关函数连续自相关函数的付氏变换非负，这要求相关函数连续（平顶，垂直边均是非连续）。（平顶，垂直边均是非连续）。注：注：相关函数（协方差）的典型曲线相关函数（协方差）的典型曲线随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-558平稳过程的相关系数和相关时间平稳过程的相关系数和相关时间此值在此值在1，1之间。之间。 表示不相关，表示不相关， 表表示完全相关。示完全相关。 表示正相关，表明两个不同时刻起表示正相关，表明两个不

43、同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。 相关系数相关系数22)()0()()(XXXXXXmRKKr0)(Xr1)(Xr0)(Xr随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-559相关时间相关时间 当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。 通常把相关系数的绝对值小于通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔的时间间隔 ，记做，记做相关时间相关时间, 即即: 时的时间间隔时的时

44、间间隔 为相关时间。为相关时间。05. 0)(0Xr0 有时我们用钜形（高为有时我们用钜形（高为 ,底为底为 的矩形）面积的矩形）面积等于阴影面积等于阴影面积( 积分的一半）来定义相关时间，即积分的一半）来定义相关时间，即1)0(Xr0)(Xr00)(drX物理意义物理意义相关时间相关时间 越小，就意味着相关系数越小，就意味着相关系数 随随 增加而降落增加而降落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之，的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越越大，则表时随机过程随时间变化越慢。大，则表时随机过程随时间变化越慢。 0)(Xr0随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-560

45、例：已知平稳随机过程例：已知平稳随机过程 X(t)的自相关函数为的自相关函数为 RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100 求求X(t)的均值、均方值和方差。的均值、均方值和方差。 RX(t)=（100cos10t）+（100e-10|t|+100） = RX1(t)+ RX2(t)式中，式中，RX1(t)=100cos10t是是X(t)中周期分量的自相关中周期分量的自相关函数，此分量的均值函数，此分量的均值mx1=0; RX2(t)=100e-10|t|+100是是X(t)的非周期分量的自相关，的非周期分量的自相关，由性质由性质6，可得，可得22( )10XXmR 1222

46、210( )( )300( )300 100200 xxxXXXmmmE XtRoRX oM 所以有所以有解：解：随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-561三三 遍历性或各态历经性遍历性或各态历经性 1 遍历性过程的定义遍历性过程的定义 如果一个随机过程如果一个随机过程 X(t),它的各种时间平均（时间足它的各种时间平均（时间足够长）依概率够长）依概率1收敛于相应的集合平均收敛于相应的集合平均,则称则称X(t)具有严具有严格遍历性格遍历性,并称它为严遍历过程。并称它为严遍历过程。 严遍历性的定义严遍历性的定义 宽遍历性的定义宽遍历性的定义 设设X(t)是一个平稳随机过程是一个平稳

47、随机过程,如果其均值和相关函数如果其均值和相关函数都具有遍历性都具有遍历性,则称则称X(t)为宽为宽(或广义或广义)遍历过程遍历过程,或简称或简称遍历过程。遍历过程。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-562定义定义果它依概率果它依概率1收敛于集合均值，即收敛于集合均值，即则称则称X(t)均值具有遍历性。定义时间自相关函数为均值具有遍历性。定义时间自相关函数为 则称则称X(t)自相关函数具有遍历性自相关函数具有遍历性 。如果它依概率如果它依概率1收敛于集合自相关函数，即收敛于集合自相关函数，即TTTdttXTtXtXA)(21lim)()(TTTXdttXtXTtXtXtt)()

48、(21lim)()(),(XmtXEtXtXA)()()()()()()()(),(XXRtXtXEtXtXtt为时间均值，如为时间均值，如随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5632 遍历过程的实际应用遍历过程的实际应用 一般随机过程的时间平均是随机变量，但遍历过程一般随机过程的时间平均是随机变量，但遍历过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不可不可能无限长，只要足够长即可。能无限长，只要足够长即可。 3 遍历过程和平稳过程的关

49、系遍历过程和平稳过程的关系 遍历过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是遍历遍历过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是遍历的。（遍历必定平稳由遍历定义即可知）的。（遍历必定平稳由遍历定义即可知）随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5644 遍历过程的两个判别定理遍历过程的两个判别定理 均值遍历判别定理均值遍历判别定理 平稳过程平稳过程X(t)的均值具有遍历性的充要条件的均值具有遍历性的充要条件平稳过程平稳过程X(t)的自相关函数具有遍历性充要条件的自相关函数具有遍历性充要条件 自相关函数遍历判别定理自相关函数遍历判别定理 式中：式中：0)()21 (1lim202dmRTTTXTX0)

50、()()21 (1lim120211dRBTTTTX)()()()()(111tXtXtXtXEB随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-565证：证：. .012Tl i mTXXTm dtmT原命题等价于：原命题等价于： . . .11( )( )( )22TTl i ml i mTTTTEX tEX t dtE X t dtTT2. .201( )0(1)( )02XTl i mTXtDX tR tmdtTT. .1( ) ( )2Tl i mTTDX tDX t dtT . .1( )2Tl i mTTDX t dtT. .21( ) 2XTl i mTTEX tm dtT.

51、 .221( ) 4XTl i mTTEX tm dtT. .21( ) 2XTl i mTTEX t dtmT随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5661212. .21( )( )4XXTTl i mTTTE X tmX tmdt dtT2112. .21()4XTTl i mTTTK tt dt dtT2121212121),(),(21uttJ12tt 12ttu设设22ut21ut则则t1t2-TT2T2Tu-2T Tu2Tu2 Tu2Tu2随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5672. .01( )0(1)02Tl i mTtDX tdtTT)(2141

52、lim )(22222duKdTtXDXTTTTT于是于是dKTTXTTT)()2(41lim222dmRTTXXTTT)()(21 (21lim222dmRTTXXTT)()(21 (1lim220)()( RR从而命题得证。从而命题得证。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-568对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关函数关函数 连续，则可以证明此过程具有遍连续，则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为历性的一个充分条件为)(XRdRX0)(注意：注意：判断一个平稳过程是否遍历的，我们总是先假设判断一个平稳过程是否遍历的，我们总是先假设

53、其是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以其是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以概率概率1 1等于统计平均），一般不用两个判别定理。等于统计平均），一般不用两个判别定理。 5.随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-569例：设例：设 ,式中式中a， 为常数，为常数， 是是在上均匀分布的随机变量。试问：在上均匀分布的随机变量。试问：X(t)是否平稳？是否平稳？是否遍历？是否遍历？0( )cos()X tat0020( )( )( ).( )cos().2XmtE X tx t fdatd 0Xm( ,)( )()XR t ttE X t X tt0002coscos(

54、22 )2aEttt 02cos( )2XatR t故故X(t)是宽平稳随机过程。是宽平稳随机过程。解：2),()(22attRtXEX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5700. .1( )( )cos()2l i mTAX tX tatdtT00. .cossin0l i mTaTT0002. . .11cos(22 )(cos.)222TTl i ml i mTTTTattdtt dtTT 0022. .20cos.cos222l i mTaaTttT故故X(t)也是宽遍历随机过程。也是宽遍历随机过程。)()(),(tXtXttX随机信号分析随机信号分析教学教学组组202

55、2-4-5711.4 随机平稳随机过程随机平稳随机过程一一 两个随机过程的联合概率分布两个随机过程的联合概率分布 设有两个随机过程设有两个随机过程 和和 ,它们的概率密度它们的概率密度)(tX)(tY分别为分别为2211( ,; , )Xnnf x xx t tt2211(,; ,)Ymmf y yyt tt定义这两个过程的定义这两个过程的(n+m)维联合分布函数为：维联合分布函数为： 1111(,;,; , ; ,)XYnmnmFxxyytt tt1111( ),.( ); ( ),. ()nnmmp X txX tx Y tyY ty随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-572

56、定义这两个过程的定义这两个过程的(n+m)维联合概率密度为：维联合概率密度为：1111(,;,; , ; ,)XYnmnmfxxyytt tt1）若两个过程的）若两个过程的n+m维联合概率分布给定，则它们的维联合概率分布给定，则它们的全部统计特性也确定了。全部统计特性也确定了。注注2）可以由高维联合分布求出它们的低维联合概率分布。）可以由高维联合分布求出它们的低维联合概率分布。3）若两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而）若两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关，则称此二过程为联合变化，即与时间的起点无关，则称此二过程为联合严平稳或严平稳相依。严平稳或严平稳相依。m

57、nmnmnXYmnyyxxttttyyxxF111111), ,;,;,;,(随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-573 设两个随机过程设两个随机过程 和和 ，它们在任意两个，它们在任意两个时刻时刻t1，t2的取值为随机变量的取值为随机变量 、 ,则定义它们则定义它们的互相关函数为：的互相关函数为：二二 两个随机过程的互相关函数两个随机过程的互相关函数 )(tX)(tY)(1tX)(2tY121212( , )( ) ( )( , ; , )XYXYRt tE X t Y txyfx y t t dxdy 式中，式中， 1212( , )( , ; , )XYft tx y t

58、t是随机过程是随机过程 和和的二维联合概率密度。的二维联合概率密度。)(tX)(tY1 定义定义随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-574随机过程随机过程 和和 的中心互相关函数定义为：的中心互相关函数定义为：)(tX)(tY112212( , )( )( ) ( )( )XYXYKt tE X t mtY t m t1212( )( )( , ; , )XYXYxmtym tfx y t t dxdy 式中，式中， 和和 分别是随机变量分别是随机变量 和和)(1tX)(2tY)(1tmX)(2tmX的数学期望。的数学期望。 此式也可以写成此式也可以写成121212( , )(

59、, )( )( )XYXYXYKt tRt tmt m t随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-5752 统计独立、不相关、正交的概念统计独立、不相关、正交的概念 1）统计独立）统计独立1111( ,;,; , ; ,)XYnmnmFxxyytt tt1111(,; ,)(,; ,)XnnYmmFxx ttFyytt若若或或 1111( ,;,; , ; ,)XYnmnmfxxyytt tt1111( ,; ,)(,; ,)XnnYmmfxx ttfyytt则称随机过程则称随机过程 和和 相互独立。相互独立。 )(tX)(tY随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-576

60、2）不相关）不相关 若两个随机过程若两个随机过程 和和 对任意两个时刻对任意两个时刻)(tX)(tYt1, t2都具有都具有 或或 ，0),(21ttKXY)()(),(2121tmtmttRXXXY)(tX)(tY3）正交）正交则称则称 和和 不相关。不相关。若两个随机过程若两个随机过程 和和 对任意两个时刻对任意两个时刻)(tX)(tYt1, t2都具有都具有 或或 ，0),(21ttRXY)()(),(2121tmtmttKXXXY)(tX)(tY则称则称 和和 互为正交过程。互为正交过程。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-4-577 (1) 如果两个随机过程相互独立，且他们