“费马点”与中考试题

1、1“费马点”与中考试题费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号， 他是解析几何的发明者之一.费马点一一就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费尔马的结论：对于一个各角不超过 120的三角形，费马点是对各边的张角都是120的点，对于有一个角超过120的三角形，费马点就是这个内角的顶点.下面简单说明如何找点P 使它到ABC三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？这就是所谓的费尔马问题.图 1解析：如图 1，把 APC 绕 A 点逆时针旋转 60得到 APC,连接 PP.则厶 APP 为等边三角形， AP= PP P C = PC,所以 PA+PB+PC= PP + PB+ PC.点

2、C可看成是线段 AC 绕 A 点逆时针旋转 60而得的定点，BC 为定长，所以当 B、P、 P、C 四点在同一直线上时，FA+PB+PC 最小.这时/ BPA=180- / APP =180-60 =120 ,/APC=/A P C =180-ZAP P=180 -60 =120,/BPC=360-ZBPA-ZAPC=360 -120。-120 =120因此，当厶ABC的每一个内角都小于 120。时，所求的点 P 对三角形每边的张角都是120 可在 AB、BC 边上分别作 120 的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于 120时，所求的 P 点就是钝角的顶点.费尔马问题

3、告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换.本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例，供同学们学习参考.例 1（2008 年广东中考题）已知正方形ABCD 内一动点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为2.6，求此正方形的边长.2分析：连接 AC,发现点 E 到 A、B、C 三点的距离之和就是到ABC三个顶点的距离 之和，这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同.解 如图 2，连接人6 把厶 AEC 绕点 C 顺时针旋转 60得到 GFC，连接 EF、BG、AG，可知 EFC、 AGC 都是等边三角形，则 EF=CE.又 FG =AE, AE+BE+C

4、E = BE+EF+FG （图 4）.点 B、点 G 为定点（G 为点 A 绕 C 点顺时针旋转 60所得）.E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值，此时E、F 两点都在 BG上（图 3）. BG=BO +GO =2a+ a2 2点 E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为.2 .6 .2a+ 6a= 2 6，解得a=2.2 2注本题旋转厶 AEB、 BEC 也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试.例 2（2009 年北京中考题）如图 4,在平面直角坐标系xOy中， ABC 三个顶点的坐标分别为A -6,0,B 6,0,C 0,4、.3，延长 AC 到点 D,使 CD=1AC,过

5、点 D 作2DE / AB 交 BC 的延长线于点 E.（1）求 D 点的坐标；线段 BG 即为点设正方形的边长为a，那么BO=CO=a,2GC=2a, GO=-a.223（2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线kx b将 四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3） 设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线y =kx b与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍， 试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所

6、用的时间最短.分析和解：（1） D 点的坐标（3,6、3）（过程略）.（2）直线 BM 的解析式为 y - -、3x 6、3（过程略）.（3）如何确定点 G 的位置是本题的难点也是关健所在.设Q 点为 y 轴上一点，P 在 y轴上运动的速度为 v,则 P 沿 MTQTA 运动的时间为-,使 P 点到达 A 点所用的2v v一1时间最短，就是MQ + AQ 最小，或 MQ + 2AQ 最小.解法 1/ BQ=AQ, MQ + 2AQ 最小就是 MQ + AQ+ BQ 最小，就是在直线 MO上找点 G 使他到 A、B、M 三点的距离和最小至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变 形，注意到题目中等边

7、三角形的信息，考虑作旋转变换.把厶 MQB 绕点 B 顺时针旋转 60。，得到厶 MQB，连接 QQ、MM （图 5）,可知QQB、AMM、都是等边三角形，则 QQ = BQ.又 M Q =MQ , MQ + AQ+ BQ= M Q + QQ +AQ.点 A、M 为定点，所以当 Q、Q 两点在线段 A M 上时，MQ + AQ + BQ 最小.由条件1可证明 Q 点总在 AM 上,所以 A M 与 0M 的交点就是所要的 G 点（图 6）.可证 0G=丄 MG .4图 5图 6图 71解法 2 考虑MQ + AQ 最小，过 Q 作 BM 的垂线交 BM 于 K，由 0B=6,OM =6、3,2

8、1可得/ BMO = 30 所以 QK = MQ21要使一 MQ + AQ 最小，只需使 AQ+ QK 最小，根据“垂线段最短”，可推出当点 A、2Q、K 在一条直线上时，AQ+QK 最小，并且此时的 QK 垂直于 BM，此时的点 Q 即为所求的点 G (图 7).过 A 点作 AH 丄 BM 于 H,则 AH 与 y 轴的交点为所求的 G 点.由 0B=6, OM =6、3，可得/ OBM=60 ,/ BAH=30 在 RtAOAG 中，OG=AO tan / BAH =2 3 G 点的坐标为(0,2.3) (G 点为线段 OC 的中点).例 3(2009 年湖州中考题)若点 PABC 所在

9、平面上一点，且/ APB= / BPC=/ CPA=120 ,则点 P 叫做 ABC 的费马点.(1) 若 P 为锐角 ABC 的费马点，且/ ABC=60PA=3,PC=4,则 PB 的值为_ ;(2) 如图 8，在锐角厶 ABC 的外侧作等边 ACB 连结 BB 求证：BB 过厶 ABC 的费马点 P, 且 BB=FA+PB+PC.图 8B5解: (1)利用相似三角形可求 PB 的值为2 3.(2)设点 P 为锐角 ABC 的费马点, 即/ APB= / BPC= / CPA=120如图 8,把厶 ACP 绕点 C 顺时针旋转 60到厶 BCE,连结 PE ,则厶 EPC 为正三角形./ BEC = / APC =120 , / PEC=60/ BEC+ / PEC=180即 P、E、B 三点在同一直线上/ BPC=120 / CPE=60 ,/ BPC + / CPE =180；即 B、 P、 E 三点在同一直线上 B、P、E、B 四点在同一直线上，即 BB 过 ABC 的费马点 P.又 PE=PC, BE= FA, BB =E B +PB + PE=FA+PB+PC.注 通过