D2-5随机变量的相互独立性

1、 第二章 第五节随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性二、两个随机变量的函数的分布二、两个随机变量的函数的分布一、随机变量的相互独立性定义定义2.5.1设是二维随机变量，若对任意实,X Y ,P Xx YyP Xx P Yy数，有, x y独立。即则称随机变量与相互( , )( )( )XYF x yFx FyXY定理定理2.5.1设是二维连续型随机变量，则,X YX与相互独立的充分必要条件是对任意实数,Y, x y有。( , )( )( )XYf x yfx fy证明证明 充分性若,( , )( )( )XYf x yfx fy则( , )( , )d dxyF

2、 x yf u v v u 故与相互独立。XY( )( )d dxyXYfu fv v u ( )d( )dxyXYfuufvv( )( )XYFx Fy必要性即.( , )( )( )XYf x yfx fy则( , )( )( )XYF x yFx Fy若与相互独立，XY( )( )d dxyXYfu fv v u ( )d( )dxyXYfuufvv由联合概率密度函数的定义知是( )( )XYfu fv的联合概率密度函数，(, )X Y证毕证毕对于二维离散型随机变量，有下述定理：定理定理2.5.2设是二维离散型随机变量，则,X YX与相互独立的充分必要条件是对的任意一Y,X Y对可能取值

3、，有( ,)ijx y,ijijP Xx YyP XxP Yy即,1,2,ijijpp pi j( , )0f x y ，例例1：设的联合概率密度函数为(, )X Y201, 02( , )30 xyxxyf x y其它问与是否相互独立？YX解解: 首先求与的边缘概率密度函数，YX( )( , )dXfxf x yy当或时,0 x 1x ( )0Xfx 则；当时，01x22202( )d233Xxyfxxyxx则22201( )30Xxxxfx其它( , )0f x y ，当或时,0y 2y ( )( , )dYfyf x y x又( )0Yfy 则；当时，02y1201( )d336Yxyy

4、fyxx则102( )360Yyyfy其它显然( , )( )( )XYf x yfx fy因此与不独立。XY例例2：袋中有5件产品，其中2件是次品，现从袋中10X第一次取出是次品第一次取出是正品逐次取出2件产品，设采用有放回抽取，规定：10Y第二次取出是次品第二次取出是正品试判断与的独立性。XY解解: 利用公式可得的联合分布律如下(, )X Y,|ijijiP Xx YyP Xx P YyXxYX0 101iiP XxpjjP Yyp925625625425352513525容易看出，与相互独立。XY例例3：已知随机变量和的分布律为1X2X1Xip-1011412142Xip01121212

5、01P X X （1）求与的联合分布律；1X2X（2）问与是否独立？为什么？1X2X解解:由,1201P X X 得,1200P X X 故12121,11,10P XXP XX 则12111,014P XXP X 12210,112P XXP X12111,014P XXP X121110,010424P XX (1)则和的联合分布律为1X2XYX-1 0101iiP XxpjjP Yyp14001211401412141212（2）显然与不独立。1X2X注：在实际应用中，通常不是靠定义或定理来判断随机变量是否相互独立，而是根据实际问题本身来判断随机变量是否独立。两个随机变量相互独立的概念可

6、直接推广到个随n机变量。维随机变量的联合分布函数定义n12(,)nXXX为121122( ,),nnnF x xxP Xx XxXx若对于任意实数，都有12,nx xx121212( ,)()()()nnXXXnF x xxFx FxFx则称随机变量是相互独立的。12,nXXX对于维连续型随机变量及维离散型随机变量，nn也有类似于定理2.5.1与定理2.5.2的结论。定理定理2.5.3设 是相互独立的随机变量,12,nXXX则随机变量的函数也是1122(),(),()nnf XfXfX相互独立的。二、两个随机变量的函数的分布例例4：设的联合分布律如下(, )X YYX-1 0101116516

7、216316316216求和的分布律。XYXY解解:的可能取值为1，0，1，2XYipXY012-1116716616216的可能取值为1，0，1XYipXY01-1516916216例例5：设二维连续型随机变量的联合概率密度(, )X Y为，求的概率密度函数.( , )f x yZXY( )Zfz解解: 设的分布函数为,Z( )ZFz则( )(, )ZFzP XYzPX YD其中( , )|Dx yxyzxyODxyzxyODxyzP XYz( , )d dDf x yx y( , )d dz xf x y y x 令,txy则,ytx 得( )( ,)d dzZFzf x tx txd(

8、,)dztf x tx x两边对求导得z( )( ,)dZfzf x zx x由与在中的对称性，得XYZ( )(, )dZfzf zy y y特别地，当与相互独立时，设其概率密度函数XY分别为、，有( )Xfx( )Yfy( )( )()dZXYfzfx fzx x()( )dXYfzy fyy这两个积分即是函数与的卷积。( )Xfx( )Yfy201( )0Xxxfx其它例例6：已知与相互独立，概率密度函数分别为XY0( )0yYeyfx其它求的概率密度函数。ZXY解解:( )()( )dZXYfzfzy fy y0()dyXfzy ey当时01zy()2()Xfzyzy则2()1()0Xz

9、yzyzfzy 其它当时，0z 0( )()dyZXfzfzy ey下面求()Xfzy在时均为0，0y 因此；( )0Zfz 当时,01z()Xfzy在时非0,0yz则0( )2()d2(1)zyyZfzezyyez当时，1z ()Xfzy在时非0,1zyz 则1( )2()d2zyyZzfzezy ye因此00( )2(1)0121yZyzfzezzez例例7：设与相互独立，且分布函数分别为，XY( )XFx( )YFy，试求及的max(, )ZX Ymin(, )X Y分布函数及。max( )Fzmin( )Fz解解: :max( ),FzP ZzP Xz Yz ( )( )XYP Xz

10、P YzFz F zmin( )1FzPzPz 1,P Xz Yz 1P Xz P Yz 111P XzP Yz 11( ) 1( )XYFzF z 例例8：设二维连续型随机变量的联合概率密度(, )X Y函数为，求的概率密度函数.( , )f x yXZY( )Zfz解解: 设的分布函数为，则Z( )ZFz( )ZXFzP ZzPzY( , )d dxzyf x yx y0( , )d dzyf x y x y 0( , )d dzyf x y x y 当时,0y xzy当时,0y xzy故的概率密度函数为Z( )( )ZZfzFz00(, )d(, )dyf zy y yyf zy y y

11、则( )(, )dZfzy f zy yy一般地，若随机变量是二维连续型随机变量Z(, )X Y数为，则可用下面方法求得的分布函数,Z( , )f x y( )(, )ZFzP ZzP g X Yz的函数，且的联合概率密度函(, )X Y(, )Zg X Y( , )d dzDf x yx y其中为面上由所决定的区域.zDxOy( , )g x yz关于两个随机变量的函数的概率分布问题可推广到个随机变量的函数上面。n例例9：假设随机变量相互独立，且同1234,XXXX分布，00.6iP X 10.4iP X (1,2,3,4)i 求行列式1234XXXXX的概率分布。解解:1423XX XX X，记114YX X，223YX X与相互独立且同分布1Y2Y的可能取值为0，11Y 141411,111P YP X