中考数学专题复习三角形综合问题【含解析】

1、1三角形综合问题专题点拨】三角形综合问题是指针对三角形的知识点之间的综合性的考查，特别是等腰三角形、等 边三角形、直角三角形等特殊三角形的性质应用，及其与三角形相关的知识点之间的综合考 查。【解题策略】从具体问题入手T探索三角形知识点T综合各点联系T综合把握各个知识点之间的内在 关系T综合应用并解决问题【典例解析】类型一：三角形边角关系问题例题 1:（2016 青海西宁3分）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）A 3cm， 4cm， 8cm B 8cm， 7cm， 15cmC 5cm， 5cm， 11cm D 13cm， 12cm， 20cm 【考点】三角形三边关系【

2、解析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边， 即可作出判断【解答】解：A、3+4 8,故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C、5+5 20,故以这三根木棒能构成三角形，符合题意.故选 D变式训练 1 ：（2016 湖北荆门3分）已知 3 是关于 x 的方程 x2-（m+1） x+2m=0 的一个实数根，并 且这个方程的两个实数根恰好是等腰厶 ABC 的两条边的边长，则 ABC 的周长为（）A. 7 B. 10 C. 11 D. 10 或 11类型二：三角形全等问题2例题 2: (2016 四川南充

3、) 已知 ABN 和厶 ACM 位置如图所示，AB=AC AD=AE /仁/2.(1) 求证：BD=CE(2 )求证：/ M=/ N.BC【解析】(1)由 SAS 证明 ABDAACE 得出对应边相等即可(2) 证出/ BAN/ CAM 由全等三角形的性质得出/ B=ZC,由 AAS 证明 ACMAABN 得出对应角相等即可.AB=AC【解答】(1)证明：在厶 ABD 和厶 ACE 中，I 血二 AEABDAACE( SAS , BD=CE(2)证明：/ 1=/ 2,/1+/ DAE/ 2+/ DAE即/ BAN/ CAM由(1)得： ABDAACE/ B=/ C,fZC=Z&.在厶

4、ACMn ABN 中，【ZCM=NBAN ,ACMmABN( ASA),/ M=/ N.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键.变式训练 2：(2016 四川泸州)如图，C 是线段 AB 的中点，CD=BE,CD/ BE 求证：/ D=/ E.3类型三：等腰或等边三角形问题例题 3: （2016 山东省荷泽市3分）如图， ACB 和厶 DCE 均为等腰三角形，点 A, D, E 在同一直线上，连接 BE.（1）如图 1,若/ CAB=/ CBA=/ CDEMCED=501求证：AD=BE2求/ AEB 的度数.(2) 如图 2,若/ ACBMDCE=120 ,

5、 CM%ADCE 中 DE 边上的高，BN%AABE 中 AE 边【考点】等腰三角形的性质.【解析】（1）通过角的计算找出/ ACDMBCE 再结合 ACB 和厶 DCE 均为等腰三角 形可得出“ AC=BC DC=EC， 利用全等三角形的判定 （ SAS 即可证出厶 ACD BCE 由此即 可得出结论 AD=BE结合中的 ACdABCE 可得出/ ADCMBEC 再通过角的计算即可算出/ AEB 的度 数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1 ）的结论,通过解直角三角形即可求出线段AD DE 的长度，二者相加即可证出结论.【解答】（1）证明：/ CABdCB

6、AdCDEMCED=50 ,/ACBdDCE=180-2X50=80./ACBdACDdDCB/DCEdDCBdBCE上的高，试BN4/ ACDMBCE/ ACB 和厶 DCE 均为等腰三角形，AC=BC DC=EC:心 c:在 ACD和厶 BCE 中，有，ZACD=ZBCE，Lbe-tc ACDABCE( SAS,AD=BE解： ACD BCE /ADCMBEC点 A D, E 在同一直线上，且/ CDE=50 , /ADC=180-ZCDE=130,/ BEC=130 .vZBECZCEDZAEB 且ZCED=50, ZAEBZBEC-ZCED=130-50=80.(2) 证明： ACB

7、和厶 DCE 均为等腰三角形，且ZACBZDCE=120 , ZCDMZCEMH (180-120)=30./ CML DE ZCMD=90 ,DM=EM在 RtCMD 中,ZCMD=9 ,ZCDM=3 ,vZBECZADC=180-30=150,ZBECZCEMZAEB ZAEBZBEC-ZCEM=15 -30=120, ZBEN=180-120=60在 Rt BNE 中，ZBNE=90 ,ZBEN=60 ,vAD=BE AE=AD+DE AE=BE+DE=5【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：(1)通过角的计算结合等腰三角形的

8、性质证出 ACdABCE(2)找出线段 AD DE 的长本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用 角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形 的判定定理证出三角形全是关键.变式训练 3:(2016 黑龙江齐齐哈尔 12 分)如图所示，在平面直角坐标系中，过点 A (-三，0) 的两条直线分别交 y 轴于 B C 两点，且 B、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程 x2- 2x- 3=0 的两个根(1) 求线段 BC 的长度；(2) 试问：直线 AC 与直线 AB 是否垂直？请说明理由；(3) 若点 D 在直线 AC 上，且 DB=DC 求

9、点 D 的坐标；(4)在(3)的条件下，直线 BD 上是否存在点 P,使以 A、B、P 三点为顶点的三角形是 等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.类型四：直角三角形问题例题 4:(2016 湖北随州 3 分)如图，在 ABC 中，/ ACB=90 , M N 分别是 ABAC 的中点，延长 BC 至点 D,使 CDfBD,连接 DM DN MN 若 AB=6,贝 U DN= 3.6【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质.【解析】连接 CM 根据三角形中位线定理得到NM 丄 CB MIN/ BC 证明四边形2平行四边形，得到 DN=

10、CM 根据直角三角形的性质得到CM= AB=3,等量代换即可.【解答】解：连接 CM/ M N 分别是 AB AC 的中点， NM= CB MIN/ BC 又 CD= BD MN=CD 又 MIN/ BC四边形 DCMN!平行四边形，DN=CM/ACB=90 , M 是 AB 的中点,tCM 予 AB=3i-iDN=3故答案为：3.（2016 青海西宁2分）如图，OP 平分/ AOB / AOP=15 , PC/ OA PDLOADCMN!于点 D,7PC=4,贝 U PD=_.R类型五：相似三角形问题例题 5:（2016 陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在

11、城南建起了“望月阁”及环阁公园小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学 的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力他们经过观察 发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们 首先用平面镜进行测量.方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点 C,镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5 米，CD=2 米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进

12、行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从 D 点沿 DM 方向走了 16 米,到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG 的影长 FH=2.5 米，FG=1.65 米.如图，已知 AB 丄 BM EDLBM GFLBM 其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB 的长度.【考点】相似三角形的应用.【解析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出厶 ABBAEDC ABFAGFH 进而利用相似三角形的性质得出AB 的长.【解答】解：由题意可得：/ ABCMEDCMGFH=90 ,/ACBMECD/AFB=/ GHF8故厶 ABSA

13、EDC ABFAGFH则坐具AB二翌ED DL GF FH即AB屈期_BC+18. - 一，-一 ！-鑽严解得：AB-99,答：“望月阁”的高 AB 的长度为 99m.变式训练 5:(2016 黑龙江齐齐哈尔8分)如图，在 ABC 中，ADL BQBEL AC垂足分别为 D,E, AD 与 BE 相交于点 F.(1)求证： ACSABFD(2)当 tan/ABD-1 AC-3 时，求 BF 的长.Rn c类型六：解直角三角形问题例题 6：(2016 山东省德州市4分)2016 年 2 月 1 日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第 5 颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从

14、地面L 处发射，当火箭达到 A 点时，从位于地面 R 处雷达站测得 AR 的距离是 6km,仰角为 42.4 ; 1 秒 后火箭到达 B 点，此时测得仰角为 45.5 (1 )求发射台与雷达站之间的距离LR;(2)求这枚火箭从 A 到 B 的平均速度是多少(结果精确到0.01 )?(参考数据：son42.4 0.67 , cos42.4 0.74 , tan42.4 0.905 , sin45.5 0.71 ,COS45.5 0.70 , tan45.5 1.02 )9【考点】勾股定理的应用.【解析】(1)根据题意直接利用锐角三角函数关系得出LR=AR?coHARL 求出答案即可；(2)根据题

15、意直接利用锐角三角函数关系得出BL=LR?tanZ BRL 再利用 AL=ARsinZ ARL求出 AB 的值，进而得出答案.【解答】解：(1 )在 Rt ALR 中，AR=6km / ARL=42.4,pr由 cos / ARL=，得 LR=AF?cosZARL=6 cos42.4 4.44 ( km). AF答：发射台与雷达站之间的距离LR 为 4.44km ;(2)在 Rt BLR 中，LR=4.44km,ZBRL=45.5,DT由 tan / BRL= .，得 BL=LR?tanZ BRL=4.44X tan45.5 4.44 1.02=4.5288 (km),It又 sin / AR

16、L=得 AL=ARsinZ ARL= si n4 2.4 4.02 ( km), Af AB=BbAL=4.5288-4.02=0.50880.51(km).答：这枚火箭从 A 到 B 的平均速度大约是 0.51km/s .【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键.变式训练 6:(2016 海南)如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD, CD=4 米，坡角/ DCE=30，小红在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60,在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45其中点AC、E 在同一直线上.(1)求斜坡 CD 的高度 DE（2）求大楼 AB

17、的高度（结果保留根号）10【能力检测】1.（2016 贵州毕节 3 分）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条高的交点 B 三条角平分线的交点C.三条中线的交点 D 三条边的垂直平分线的交点2.（2016 广西桂林8分）如图，平行四边形 ABCD 勺对角线 AC BD 相交于点 0, E,F 分别是 0A 0C 的中点，连接 BE, DF（1 ）根据题意，补全原形；3.（2016 湖北随州 10 分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形” 如图（1）、图（2）、图（3）中，AM BN 是 ABC

18、的中线，ANL BN 于点 卩，像厶 ABC 这样的三角形均为“中 垂三角形”.设 BC=a AC=b AB=c.【特例探究】（1、如图 1,当 tan / PAB=1 c=4 卡：时，a=_沁,b= 4;如图 2,当/ PAB=30 ,c=2 时，a= 浙 ,b= V1S ;【归纳证明】（2、请你观察（1）中的计算结果，猜想 a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你的结论.11【拓展证明】(3) 如图 4, ?ABC中，E、F 分别是ADDBC 的三等分点，且 AD=3AE BC=3BF 连接 AF、4.(2016 湖北武汉 10 分)在厶 ABC 中，P 为边

19、AB 上一点.如图 1 ,若/ ACP=ZB,求证： AC = AP- AB(2)若 M 为 CP 的中点，AC= 2, 女口图 2,若/ PBM=ZACP AB= 3, 求 BP 的长；5.(2016 山东省济宁市3分)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为 6 米，坡面BC 的坡度为 1:1 ,为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度， 使新坡面的坡度为 1:二.(1 )求新坡面的坡角 a;(2)原天桥底部正前方 8 米处(PB 的长)的文化墙 PM 是否需要拆桥？请说明理由.BE、CE 且 BE! CE 于 E, AF 与 BE 相交点 G AD=3 二,AB=3,求 AF 的长.,/

20、 A=ZBM= 60,直接写出卫BP的长.C12P A R13【参考答案】变式训练 1：（2016 湖北荆门3分）已知 3 是关于 x 的方程 x2-（m+1） x+2m=0 的一个实数根，并 且这个方程的两个实数根恰好是等腰厶 ABC 的两条边的边长，则 ABC 的周长为（）A. 7 B . 10 C . 11 D . 10 或 11【考点】解一元二次方程 -因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角 形的性质【解析】把 x=3 代入已知方程求得 m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰 ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可.【解答】解：把

21、x=3 代入方程得 9-3 （m+1） +2m=0,解得 m=6，则原方程为 x2- 7x+12=0，解得 x1=3， x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰 ABC 的两条边长，1当 ABC 的腰为 4，底边为 3 时，则 ABC 的周长为 4+4+3=11;2当 ABC 的腰为 3，底边为 4 时，则 ABC 的周长为 3+3+4=10.综上所述，该 ABC 的周长为 10 或 11.故选： D变式训练 2：（2016 四川泸州）如图，C 是线段 AB 的中点，CD=BE,CD/ BE 求证：/ D=ZE.【考点】全等三角形的判定与性质.14【解析】由 CD/ BE 可证得/ ACDMB

22、,然后由 C 是线段 AB 的中点，CD=BE, 利用 SAS 即可证得 ACD CBE 继而证得结论.【解答】证明：/ C 是线段 AB 的中点， AC=CB/CD/1 BE /ACDMB,在ACD 和CBE 中，rAOCB；+ ZACD=ZB,LCD=BE ACD CBE( SAS), /D=ZE.变式训练 3:(2016 黑龙江齐齐哈尔 12 分)如图所示，在平面直角坐标系中，过点 A (-二，0) 的两条直线分别交 y 轴于 B C 两点，且 B、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程 x2- 2x- 3=0 的两个根(1) 求线段 BC 的长度；(2) 试问：直线 AC 与直线 AB 是

23、否垂直？请说明理由；(3) 若点 D 在直线 AC 上，且 DB=DC 求点 D 的坐标；(4)在(3)的条件下，直线 BD 上是否存在点 P,使以 A、B、P 三点为顶点的三角形是 等腰三角形？若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.15【解析】(1)解出方程后，即可求出 B、C 两点的坐标，即可求出 BC 的长度；(2)由AB、C 三点坐标可知 OA=OC?O,所以可证明 AO&ABOA 利用对应角相等 即可求出/ CAB=90 ;(3)容易求得直线 AC 的解析式，由 DB=DC 可知，点 D 在 BC 的垂直平分线上，所以 D 的纵坐标为 1，将其代入直线 AC

24、 的解析式即可求出 D 的坐标；(4)A B P 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：AB=APAB=BPAP=BP 然后分别求出 P 的坐标即可.【解答】(1)Vx2-2x-3=0, x=3 或 x= - 1, B ( 0, 3), C (0,- 1), BC=4(2)vA(-二,0),B(0,3),C(0, -1),OA=二，OB=3 OC=12OA=OB?OC/ AOCMBOA=90,【考点】三角形综合题.16 AOC BOA/ CAOMABO/ CAOMBAOMABOMBAO=90,/ BAC=90 ,ACLAB(3)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ,把 A (

25、-, 0)和 C (0, - 1)代入 y=kx+b ,17-l=b直线 AC 的解析式为：y=-亠二 x- 1,3/ DB=DC点 D在线段 BC的垂直平分线上,D的纵坐标为 1 ,把 y=1 代入 y= - x- 1,x=-2 二，D的坐标为(-2，1),(4) 设直线 BD 的解析式为：y=mx+n,直线 BD 与 x 轴交于点 E,把 B (0, 3)和 D (- 2 乙 1)代入 y=mx+n,f- E （- 3 一，0）, OE=3 扣,/ BEO=30 ,同理可求得：/ ABO=30 ,/ ABE=30 ,当 PA=AB 时，如图 1,解得：解得直线BD的解析式为：y=.x+3,

26、 X=3二tan18此时，/ BEAKABE=30 , EA=ABP 与 E 重合，P 的坐标为（-3 .= 0）,当 PA=PB 寸，如图 2,此时，/ PAB=/ PBA=30 ,/ ABE=/ ABO=30 ,/ PAB=/ ABO PA/ BC:丄PAO=90 ,点 P 的横坐标为-二，y=2,P (- .= 2),当 PB=AB 时，如图 3,由勾股定理可求得：AB=2.二,EB=6,若点 P 在 y 轴左侧时，记此时点 P 为 Pi, 过点 Pi作 PiF 丄x轴于点 F, PiBAB,EPi=6- 2 .二 sin / BEO x- 3, P1(-3,3-朋),若点 P 在 y

27、轴的右侧时，记此时点 P 为 P2,过点 P2作 P2G 丄X轴于点 G,副19-P 2B=AB=,EP2=6+2 J,-sin / BEO= ,EP JGF2=3+:常,令 y=3+代入 y=丄二 x+3 ,3-x=3,.P2（3，3+左）,综上所述，当 A、B P 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点 P 的坐标为（-3 二，0）,（_ 忑,2）， （- 3, 3占），（3, 3+讥）.20副21变式训练 4:(2016 青海西宁2分)如图，0P 平分/ AOB / AOP=15 , PC/ OA PDLOA 于点 D,PC=4,贝 U PD= 2.0SA【考点】角平分线的性质；含30 度

28、角的直角三角形.【解析】作PELOA 于 E,根据角平分线的性质可得PE=PD 根据平行线的性质可得/ ACPMAOB=30 ,由直角三角形中 30的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得 PE 即可求得 PD【解答】解：作 PEIOA 于 E,/ AOPMBOP PDLOB PEI OA PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等） ，/ BOPMAOP=15,/ AOB=30 ,/ PC/ OB/ ACPdAOB=30,在 Rt PCE 中，PE= PC=X4=2 （在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的2 2一半）, PD=PE=2（2016 黑龙江齐齐哈尔8分）如图，在厶 ABC

29、 中，ADLBC BE!AC 垂足分别为 D,E , AD 与 BE 相交于点 F.故答案是：2.22(1)求证： ACSABFD(2)当 tan / ABD=1 AC=3 时，求 BF 的长.【考点】相似三角形的判定与性质.【解析】(1)由/ C+ZDBF=90，/ C+ZDAC=90，推出/ DBF2DAC 由此即可证明.(2)先证明 AD=BD 由厶 ACSABFD 得：_= =1，即可解决问题.BF BD【解答】(1)证明：TADL BCBELACZBDFZADCZBEC=90,ZC+ZDBF=90, ZC+ZDAC=90, ZDBFZDAC ACSABFD(2)TtanZABD=1Z

30、ADB=90=1 AD=BD BF=AC=3RDlC变式训练 6:(2016 海南)如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD, CD=4 米，坡角ZDCE=30，小红 在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60,在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45 其中点AC、E 在同一直线上.(1)求斜坡 CD 的高度 DE(2)求大楼 AB 的高度(结果保留根号)23sfT【考点】解直角三角形的应用 -仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【专题】应用题；解直角三角形及其应用.【解析】(1)在直角三角形 DCE 中，利用锐角三角函数定义求出DE 的长即可；(2)过 D 作 D

31、F 垂直于 AB,交 AB 于点 F,可得出三角形 BDF 为等腰直角三角形，设 BF=DF=x 表示出 BC, BD, DC 由题意得到三角形 BCD 为直角三角形，利用勾股定理列出关于 x 的方程， 求出方程的解得到 x 的值，即可确定出 AB 的长.【解答】解：(1)在 Rt DCE 中，DC=4 米，/ DCE=30，/ DEC=90 , DE= DC=2 米；(2)过 D 作 DF 丄 AB 交 AB 于点 F,/ BFD=90，/ BDF=45 ,/ BFD=45，即 BFD 为等腰直角三角形，设 BF=DF=x 米,四边形 DEAF 为矩形，AF=DE=2 米，即 AB= (x+

32、2)米，在 Rt ABC 中，/ ABC=30 ,AB V3 2啤禎(右+4) BC= .： = =琏抚=米，BD= : BF= : x 米, DC=4 米，/ DCE=30，/ ACB=60 ,/ DCB=90 ,24伪+4严在 Rt BCD 中，根据勾股定理得： 2x2=：；+16,解得：x=4+-或 x=4 -,可.25则 AB=( 6+?) 米或(6-)米. r【点评】此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理 是解本题的关键.【能力检测】1.（ 2016 贵州毕节 3 分）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条高的交点 B 三条角平分线的

33、交点C.三条中线的交点 D 三条边的垂直平分线的交点【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质.【解析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可.【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线 的交点，故选：D.2.（2016 广西桂林8分）如图，平行四边形 ABCD 勺对角线 AC BD 相交于点 O, E, F 分别是 OA OC 的中点，连接 BE, DF（1 ）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.【解析】（1）如图所示；（2）由全等三角形的判定定理 SAS 证得厶 BEdADFO

34、 得出全等三角形的对应边相等即【解答】（1 ）解：如图所示:(2)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AG BD 交于点 0,-诗.J* JP* 产泸73260B=0, 0A=0G又 E, F 分别是0A0C 的中点，0E0A 0F0G2 2 0E=0FTdEOF;在 BE0 与厶 DF0 中，尹単心/mF , BE0 DF0( SAS,BE=DF3.（2016 湖北随州10 分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形” 如图（1）、图（2）、图（3）中，AM BN 是 ABC 的中线，ANL BN 于点 卩

35、，像厶 ABC 这样的三角形均为“中 垂三角形”.设 BC=a AC=b AB=c.【特例探究】（1、如图 1,当 tan / PAB=1 c=4 .二时，a= 4 二 ,b= 4 二 ;如图 2,当/PAB=30 ,c=2 时，a= 的 ,b=A_;【归纳证明】（2、请你观察（1）中的计算结果，猜想 a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来， 并利用图 3 证明你的结论.【拓展证明】（3、如图 4, ?ABCC 中，E、F 分别是 AD BC 的三等分点，且 AD=3AE BC=3BF 连接 AF、BE、CE,且 BE! CE 于 E, AF 与 BE 相交点 G AD=3 二,AB=

36、3,求 AF 的长.27【考点】四边形综合题.【解析】（1）首先证明 APB PEF 都是等腰直角三角形，求出PA PB PE、PF,再利用勾股定理即可解决问题.连接 EF，在 RT PAB RT PEF 中，利用 30性质求出PAPB PE PF，再利用勾股 定理即可解决问题.（2） 结论 a2+b2=5c2.设 MP=x NP=y,则 AP=2x, BP=2y,利用勾股定理分别求出a2、b2、2c 即可解决问题.（3） 取 AB 中点 H,连接 FH 并且延长交 DA 的延长线于 P 点，首先证明厶 ABF 是中垂三角 形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题.【解答】（1 ）解：如图 1

37、 中，ICE=AE CF=BF EF/ AB EF= AB=2 二，/tan / PAB=1/ PAB2PBA2PEF=/ PFE=45,PF=PE=2 PB=PA=4AE=BF= =2 匚b=AC=2AE=4, a=BC=4 匚故答案为 4 , 4 匚如图 2 中，连接 EF,CE=AE CF=BFLEF/ AB EF=TAB=1,/ PAB=30 ,PB=1 PA=乙在 RT EFP 中，/ EFP=/ PAB=30 , PE=_ , PF= ,2 2AE=i fl=，BF=m=，28a=BC=2BF=匚,b=AC=2AE=,故答案分别为二，#：(2) 结论 a2+b2=5c2.证明：如图 3 中，连接 EF./ AF、BE 是 中线，EF/ AB EF=AB, FPEAAPB配 _PN=t AP=西=爰，设 FP=x, EP=y,贝 U AP=2x, BP=2y, a2=BC=4BF=4(Fh+BP)=4x2+16y2,b2=AC=4AE=4 (P+AP) =4y2+16x2,c2=ABa=AF2+BF2=4x2+4y2, a2+b2=20 x2+20y2=5(4x2+4y2)=5cl(3) 解：如图 4 中，在 AGE 和厶 FGB 中，ZAGE=ZFGB“ ZAEGZFBG