线性系统理论1数学基础

1、1 线性系统理论线性系统理论2 第一章 数学基础1.11.1线性空间与线性变换线性空间与线性变换1.1.11.1.1线性空间定义线性空间定义在集合上赋予一定的结构或一定的要求在集合上赋予一定的结构或一定的要求, ,这个集合就称为一个特定的空间。这个集合就称为一个特定的空间。定义定义1.1.11.1.1线性空间定义（线性空间定义（1111页）：页）：设设V V是一个非空集合是一个非空集合,P,P是一个数域是一个数域34则则 也是实数域也是实数域 R R上的线性空间。因此不难看上的线性空间。因此不难看出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的运算具有线性性

2、。运算具有线性性。 例例1.1.31.1.3 设设 是线性空间，是线性空间， 则不难验证则不难验证 是是 的子空间。它也称为由的子空间。它也称为由 构成的子空间。构成的子空间。mnR VVv RaavvvV,111Vv5例例1.1.41.1.4 设设 是线性空间是线性空间 是是 的子空间，也称的子空间，也称 是由是由 所所生成的子空间生成的子空间 例例1.1.51.1.5 设设 是线性空间，显然是线性空间，显然 ，那么，那么 是是 的子空间，称为零子空间。的子空间，称为零子空间。 中中 个元个元 或称为或称为 中中 的的 个向量，则个向量，则maaa,21maaa,21mVmV1VVVV 0

3、VV01 miRaaavvVlmm, 2 , 1,2211111 61.1.2 线性空间的基和维数线性空间的基和维数121 122121212,1,2,0,:0(),mimmmmmu uuVa imaua ua uu uuu uuaaa定义1.1.4:设是 中的一组向量 可以重复 如果存在一组不全为0的实数使则称为线性相关 否则称为线性无关,此时必然有:7例例1.1.61.1.6 在欧氏空间在欧氏空间 中选取个无关向量中选取个无关向量它们便构成它们便构成 的一组基。因此，的一组基。因此， 也称为也称为 维欧维欧氏空间。氏空间。 100,010,00121neeenRnRnnR81.1.3 线性

4、变换线性变换121211211212111211,(), (),|Im7:,.,.,V VRTVVTT abTaTb TaTaa bVRTVVTTVTvvVVTVTTTVVVTVV定义1.1.设均为实数域 上的线性空间是由 到 的一个映象 当 满足:时 称 为由 到 的线性变换或线性算子称为的定义域.若令则也是一个线性空间 它被称为 的值域空间记为在时 称 为 上的线性变换9例例1.1.71.1.7 记记 这里这里 表示表示 区间上一次可区间上一次可微函数的全体，微函数的全体， 表示表示 区间区间上连续函数的全体。容易验证上连续函数的全体。容易验证 都是都是实数域实数域 上的线性空间。定义上的

5、线性空间。定义也不难验证也不难验证 是是 到到 的线性变换，的线性变换，有时也称为线性算子或微分算子有时也称为线性算子或微分算子。 baC,1 baC,21, VV ba, ba ,RdtdT T1V2V baCVbaCV,211 10例例1.1.81.1.8 令令则则 为为 上的线性变换，易知上的线性变换，易知是是 的核空间，即的核空间，即 00:, 2 , 1,12121xxxxTRniRxxxxVnninTV niRxxxNin,3,2,02TKerTN 11显然，若向量显然，若向量 构成构成 的一组基，的一组基，则由上述基的定义可知，对所有则由上述基的定义可知，对所有 ，均可以，均可以

6、惟一表成惟一表成我们称我们称 为关于基为关于基 的坐标。若的坐标。若向量向量 构成构成 的另一组基，则有的另一组基，则有 neee,21nRnRu nnnnaaaeeeeaeaeau21212211 TTnTTaaa21neee,21 neee,21nR nnnnRPPeeeeee ,212112而对任意而对任意 ，有，有由此可知由此可知 我们称我们称 为基为基 和基和基 之间的坐标之间的坐标变换。容易验证，坐标变换也是变换。容易验证，坐标变换也是 上的线性变换。上的线性变换。nRv nnnnvvveeevvveeev21212121 nnvvvPvvv2121neee,21 neee,21P

7、V131.2 矩阵代数中的几个结果矩阵代数中的几个结果1.2.1 矩阵必秩的条件矩阵必秩的条件定义定义1.2.11.2.1 矩阵矩阵 列秩列秩: :矩阵中列向量的最大线性无关组的个数；矩阵中列向量的最大线性无关组的个数； 行秩行秩: :矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。 矩阵的行秩与列秩相等。矩阵的行秩与列秩相等。 矩阵矩阵A A的行秩和列秩称为矩阵的行秩和列秩称为矩阵A A的秩。的秩。m nijAaR141.2.2 Vendermonde Vendermonde矩阵与友矩阵矩阵与友矩阵 VendermondeVendermonde矩阵及基性质矩阵及基性质

8、111,1,2,:innninPVendermonde12n12n设为一组复数,定义:111P=矩阵 称为矩阵15友矩阵及其性质友矩阵及其性质1110011,( )det()0101n nnnncnARD ssIAsasa saAaaaA设其特征多项式为定义矩阵 为矩阵 的友矩阵.161.2.3 Cayley-Hamilton定理与化零多项式定理与化零多项式121201212012,1.2.,( )( )0(), ,3.nnnnnnnnmnnD sAD AasasaaAaAa Imn AAAA I n nnnn nAR D(s)=s 凯莱 哈密顿定理 设为矩阵的特征多项式 则记 AA由凯莱 哈

9、密顿定理可得:命题 设则对于一切均可表示为的线性组合R171.2.4 豫解矩阵与豫解矩阵与Leverrier算法算法11()()()(.)( )()sIAAadj sIAsIAD sLeverrierD sadj sIA矩阵称为 的豫解矩阵:算法为求解和的递推算法181.3 1.3 多项式矩阵多项式矩阵( )( )( ) .,ijijm nm nA saassA ssm nRs如果阶矩阵的所有元素均为变量 的实数多项式,则称为一个关于 的阶实数域上的多项式矩阵 其全体记为191.3.1 基本概念基本概念1110( )( ),1,2,0( ),.:,llllm nilm nA sA sAsA s

10、AsAARilAlA s一个阶的多项式矩阵具有下述一般表示其中均为定常的实矩阵 在的条件下 代表了的次数201.3.2 1.3.2 初等变换初等变换多项式的初等行多项式的初等行(列列)变换变换,是指下列三种典是指下列三种典型操作型操作:矩阵的两行矩阵的两行(或两列或两列)互换位置互换位置;矩阵的某一行矩阵的某一行(或某一列或某一列)乘以非零的常数乘以非零的常数C;矩阵的某一行矩阵的某一行(或某一列或某一列)加上另一行加上另一行(或或列列)的的(s)倍倍, (s)为一个多项式。为一个多项式。211.3.3 Smith1.3.3 Smith标准型标准型定义定义1.3.31.3.3 如果可以用一系列

11、初选变换将多项如果可以用一系列初选变换将多项 式方阵式方阵A(s)A(s)化为多项式矩阵化为多项式矩阵B(s),B(s),则称多项式则称多项式A(s)A(s)和和B(s)B(s)互相等价。互相等价。 等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下述三个性质：述三个性质：反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；对称性，对称性， A(s)A(s)等价等价B(s)B(s)， B(s) B(s) 等价等价A(s)A(s)；传递性，传递性，A(s)A(s)等价等价B(s)B(s)， B(s) B(s) 等价等价C(s)C(s)， A(s)A(

12、s)等价等价C(s)C(s) 。221.41.4有理分式矩阵及其互质分解有理分式矩阵及其互质分解11( ),( )( )( )( )( )( )( )( )ijsn rW sw ssW sW sN s DsW sLs H s如果一个与变量 相关的的矩阵其每一元均为变量 的有理分式,则称为一个有理分式矩阵.任何一个有理分式 矩阵总可以表示成:称为右分解 或 称为右分解231.4.1 互质多项式矩阵互质多项式矩阵( ) , ( ) ( ),:1.4. ( )( ) ( )( )( )(1(,)m nm pp nA sRs B sRsC sRsA sB s C sB sA sA sB s设和如果它们

13、三者之间存在关系 则称为的左因子定义为的 右倍式.241.4.2 有理分式矩阵的互质分解有理分式矩阵的互质分解1111( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(,1.4.4,.)sW sN s DsW sLs H sN sD sW sN s DsW sL sH sW sLs H sW sn r设且具有分解式和式当和右互 W(s) R质时 式称为的右互质分解左定。当和互质时 式称为的左互质分解义251.4.3 1()sIAB矩阵的右既约分解111,.1.3.4,.:,( )(),( )( )( )()( )( )n nn rA

14、RBRW ssIABn rsIABnsCW sW sW ssIABN s Ds 设为两数字矩阵 则为一个的有理分式矩阵由命题知 在条件下 上式本身即为的一个左互质分解考虑的右 既约分解(下式的求解 rank )261.5 Jordan1.5 Jordan分解分解1,:,.n nn nJordanARJ VCVAVJVVAJAJordan矩阵的分解是指下述事实设则存在矩阵可逆,满足:其中为矩阵 的特征向量矩阵为矩阵 的标准型,271.5.1 特征值的几何重数与代数重数特征值的几何重数与代数重数1212(,)(,)1,1, 2,1:,;.iujijliiiiqiiijiippiijiiiJorda

15、nJdiag JJJJdiag JJJJjqAJAJordanqA一 个矩 阵 的 一 般 形 式 为其 中为 矩 阵 的 特 征 值为 矩 阵 的 与特 征相 关 联 的块称 为 矩 阵 的 特 征 值的 几 何 重 数28矩阵某特征值的几何重数矩阵某特征值的几何重数: : 矩阵的矩阵的JordanJordan标准型与该特征值标准型与该特征值相关联的相关联的JordanJordan块的个数块的个数. .矩阵某特征值的代数重数矩阵某特征值的代数重数: : 矩阵的矩阵的JordanJordan标准型与该特征值标准型与该特征值相关所有的相关所有的JordanJordan块的阶数之和块的阶数之和.

16、.291.5.2 广义特征向量链广义特征向量链1212(,)(1.5.2)(,)(1.5.3)1,1,2,(1.5.4)1iujijliiiiqiiijiippAJordanJJdiag J JJJdiag JJJJjq 当矩阵 的标 准型 具有式30121212(1.5.9)iijliiiiqpijijijijVVVVVVVVVvvv 我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下分块iiijijVAiVJordanJ矩阵 是与矩阵 的第 个特征值 对应部分,其子块是与块相对应部分.311.5.3 Jordan1.5.3 Jordan分解的求取分解的求取),),)1.5.1,1,2,il 12li分

17、解的求取1.利用初等变换化矩阵为对角型2.将的对角线上的元素分解成互不相同 的一次因式方幂的 Jordan( I-A)(s);乘积;3.列出的对角线上的所有互异一次因子则算法 ( s)即为(s) ( -矩阵A的互异( -( -特征值;321.6 1.6 广义广义SylvesterSylvester矩阵矩阵,;,.,:,;n nn rn nr nAVBWVFARBRVCWCFnJordanWCBWSylvesterAVVFC 其中:为 价的矩阵当取定阵 并令则上 (1.6.1) 式化为常 (1规.的矩阵方程6.2)331.6.1 求解问题与假设条件求解问题与假设条件,n nn rARBRnJor

18、danFVWAVBWVF已知定常以及价矩阵求矩阵 和的解析表达式.,如果一种解析解包含了方程的一切解,便称该解 析解为完全的.341.6.2 完全解析解之一完全解析解之一01,:,1,2( ),0( ),1,2,;1,2,;1,2, 1.6.1( )( )kkijijiijkkijijkijijiiBA AvfQ svwP s vfC kpjq inP sQ sAVBWVF设矩阵 列满秩 且假设成立则方程的一切解可由下式给出:其中为一组任意选取的参数向量和为满足 (1.6.1) 的定理 幺模阵.351.6.3 完全解析解之二完全解析解之二1011,1,2( )1( )( )(1)!,1,2,;1,2,;1,1.6.2, ( )( ):,2kkkiijijkijijkkkiijijkrijijiiBA AN svfdffD swP s vkdsfCkpjq inN sD s设矩阵 满秩 且定假设成立 则矩阵方程的一切解可由下式给出:其中为任意选取的参数理 (1.6.1) 和向量为(1.6.15)满足右既约分解式的多项式模阵.36例例1.6.1 1.6.1